книги из ГПНТБ / Солтан, П. С. Экстремальные задачи на графах и алгоритмы их решения

жество

Х0

есть

некоторый параллелепипед

P t

пространства

ß ? , размерность которого удовлетворяет

неравенству

О^

é , t ^ n ,

а грани

представлені

также

в

виде

параллельных

Iсдвигов

некоторых сжатий множества

оі -

conу

Y n.

З а м е ч а н и е

3 . 3 .

Теорема 3 . 1 .

для случая

п - 1

до­

казана М.Г.Крейном со следующей механической интерпретацией.

Возьмем горизонтальную рейку с

равномерной шкалой и

с от­

верстиями в точках

X j t Хр,

Подведем на т

нитках гру­

зы р { Х 1) , р ( X

?

р ( х т ),

Через

соответствующие

отверстия

проведем эти

нити и

свяжем их концы в узел. Точка

х 0 , в которой

ма функции f ( x )

(эти

точки могут быть целым отрезком,

согласно

лемме).

З а м е ч а н и е

3 . 4 . Теорема 3 .1 понадобится для после­

дующих рассмотрений, хотя она имеет и самостоятельный

интерес.

Например, она может быть применена при решении задачи

размеще­

ния артезианской

скважины для орошения садов, если известно,что

ставляют

интерес

алгоритмы

решения

задачи 3 . 1 .

3 .

Приведем в качестве

первого

алгоритм

Фибоначчи.

1 ° .

Пользуясь

алгоритмом

Неймана

[ і 2 ]

упорядочим

систе­

му чисел

{ x j j

для

каждого

і = 1,2,..., п

и рассмотрим

для

данного

і

последовательность

,

х ^ , . . . , х ^ .

2 ° .

Допустим,

что

m + 1 - F K ,

где

FK

-

одно из

чисел

Фи­

боначчи

[2 0 ]

. Если

m + I F F ^ ,

то

нужно

к первоначальному

множеству точек

x fL,

ХІ>,...,

добавить

нужное число

фик­

тивных точек,

чтобы получить

в результате число Фибоначчи.

За­

метим, хотя

это

и

несущественно, но удобно

взять фиктивные

точ­

ки не между

точками исходного множеотва, а

по

краям.

Фиктивным

точкам припишем вѳоа

p ( x f )

= 0...

3 °. Сокращаем интервал

поиска

оптимальной точки

x f j , поль­

зуясь методом Фибоначчи. В качестве

нулевого

и первого

прибли­

жений берем

точки Хрк1

и

х ^ . р к 1 . Нетрудно заметить,что

ну­

данными точками.

Проверяя в

точках

& рІ(_І

и x

Lm _pK_t

ус­

ловия (2 ) , легко

определить

интервал дальнейшего

поиска.

4 ° . Поскольку длина

интервала

дальнейшего поиска тоже

яв­

ляется числом Фибоначчи,

то

следующее приближение

снова приво­

Теперь изложим алгоритм

последовательного

поиска

,

1 ° . В качеотвѳ

нулевого

приближения берем

точку

л ^ /я ^ г д е

ГШ] -

целая чаоть

т .

12 J

Проверяем

Т

(2 ) .

Легко

2 .•

по отношению к этой точке условия

заметить, что одно из этих условий

обязательно

выполняется„Если

выполняются оба условия (2 ),

то Хр

3 °.

Если же выполняется

только

первое условие (2 ), то

ре­

первого приближения

берем .точку

х 'рл _ß- Продолжаем

процесс

по­

иска

влево, пока

не

выполнится

и второе условие ( 2 ) .

Если

для

этого понадобилось

к

шагов,

то

X p - X ^ ^ ^ j .

Осуществляем

еще

к + 1 шаг. Если

на

к + 1

шаге выполнится первое

условие (2),

то

X,

£ Х , Ы

Х г ,

'№- (к+П]

f f -4

'1°. Если же при нулевом приближении выполняется

только

вто­

рое

условие (2 ) ,

то

решение

нужно искать, двигаясь

последова­

го приближения

берем точку X Lm +1~i. .Если

первое

условие

(2)

вы­

полнится

через

к

тагов,

то

^

JX p - x lpr>

Осуществляем

еще

к + і

шаг. Если на

к+1

шаге выполняете^ второе условие

(2),то

ХСФ+

З-о ^ х [£р + (к +/)]■

Наконец

укажем

и

так иа8ыва-

емыйгалгоритм дихотомии.

1 °.

В качестве нулевого

приближения

берем

точку

Х г т л .

о

Проверяем по отношению к этой

точке

c ' - r J

2U.

выполнение

уоловий

( 2 ) . Если

выполняются оба условия (2 ),

то

х і

= х 1Ш ] .

3 ° .

Боли

выполняется

только

первое

уоловие

(2 ),

то

оптимум

находится

в полуинтервале

[ x rc ,

*

В этом

олучае в

ка-

чеотве первого

приближения берем

точку

х

p n j .

4 °.

Если же выполняется только второе уоловие

(2 ),

то

оп­

тимум находится в полуинтервале

х т] ■

В этом

олучае

в качеотвѳ первого

приближения

берем

точку

х,зт-,

’

5 °.

Через

конечное число итераций

найдем

J

точну оптимума х

Для

нахождения

всех решений

задачи 3.1

необходимо

проверить

вы­

3 .

Пусть

теперь

м

-

некоторое

замкнутое

d

-выпуклое

множество

пространства

А’/ 7. Рассматривается

х %

З а д а ч а

3 . 2 .

Найти множество

всех

тех

элементов

множества

М ,

которые

минимизируют функционал

( I ) .

Это

есть

некоторая

задача

Штейнера,

т . ѳ .

задача

R? MY. По отношению к

ней

справедлива

Т е о р е м а

3 . 2 .

Множество решений Х 0

задачи 3 .2 яв­

ляется

Ü -выпуклым

множеством пространства

.

Д

о

к

а з а т е л ь с т в о .

Если

М = R?

,

то

множе­

ство

решений Хд

задачи

3 .2

является

o '-выпуклым.

Далее,если

Х0 П М ^ 0

,

то

в силу

следствия

2 .1

множество

Х{* = Х0 П М

является

d

-выпуклым

множеством.

Пусть

теперь

Х0 П М= 0

■

Рассмотрим

такие множества

Х'0 ^ X

и

Л /'с

для

которых

выполняется

условие: для

любых

х'0 и х '

,

х'0 € Х'0 , х ' е

м '

вы­

полняется

равенство

Хе М

(7)

Из (7) немедленно подучаем, что множество

Х'0

получается из

М

при

помощи параллельного

с д в и г а в

. Более

того,

из

d

-выпук­

лости множеств Х0 и М

непосредственно

получаем,

что

множе­

ство

Х'о

,

а следовательно и М' ,

являются

d

-выпуклыми

мно­

жествами пространства

R? . Теперь

остается

убедиться,

что

М

совпадает

с

множеством

XQ всех

решений

задачи

3 ,2 .

Для

этого

доотаточно

заметить,

что

I ;

для

любого х & М \ М '

выполнено

неравенство f ( 3 . ) >

>f ( x ' ) , x

'<£ М'

и 2)

для

любых двух

элементов

гг/

и x j

из 4/'

имеем f ( x / ) = / ( c т?) .

п

В силу

соотношения

f l x ) - Y L f ^ ( x L)

и

свойств

мно­

жества

Х0

имеем

f

(

c

c

{

)

))-/(■%'(dz)), что

за­

вершаем доказательство

теоремы.

Далее расомотрим еще одну задачу Штейнера

в

пространстве

п Пусть

1 п

-

единичный

куб

пространства

R?

с

нормой

|/гг)|

- II Іх*І

,

У= {гг, , х 2

, x mj-

-некоторый

набор

вершин

куба

I n, р

•

-

положительная

функция,

N

-

грань

ку­

ба 7 п . Расомотрим функционал

m

g ( x ) = J Z

p(xJ ) \ \ x - x J \\

r

(8)

Д о к

а з а т е л

ь с т

в о

. Представляем

функционал

(8)

в виде

п

9 ( x ) = f e

9 I (X

l) ,

(9)

т

где

Qi ( x L) = ZZ p ( x j ) \ x L- X y \ .

Заметим,

что х 0

удов­

летворяет

равенству

men

Ж * )

(Ю)

когда

будет

удовлетворять

соотношению

п Лг М = ^ і

9 i ( x L ) >

(И )

9с.

о / X t eRt

3

'

где

R L

-

координатная

ооь

пространства

fij1

о индексом

/

, і -

- 1 ,

2 , ,

П

Соотношение

(II)

в

сиду

теоремы

3,1

будет

выполняться

тог­

ющие для олучая эадѳчи

3 .3

( N = R ”

)

следующий вид:

т

.

т

.

J L Р ( X j ) ( l - X j ) * Е P ( x j ) x ; ,

т

т

I Р (Xу)( 1- х ) ) 4 L

р (Ху) х } .

Отовда получаем, чмз число х L = 0 окажетоя удовлетворяющим ра­

венству (II)

тогда и только тогда,

когда

верно

неравенство

p ( X y ) ( i ~ 2 x j ) 4 О .

Точно,

так

же

число x

L = 1

окажется

удовлетворяющим равенству

(II)

тогда

и только

тогда,когда вер­

но неравенство

р (Xj ) ( 1 - 2 x j ) t

о

Отсюда и

подучаем,

что множество

X

всех

элементов х & R ”.

грани /* , что завершает доказательство теоремы.

Далее для

нахождения множества

Хд

всех решений

задачи

3,3

достаточно, в

силу свойотв

d -выпуклости пространства

R?

с

нормой ЦхЦ = L I x L

найти

вершины грани

N , дающие

ре­

шения этой задачи. Последние

же,

в

силу

рассуждений,

приведен­

ных при доказательстве теоремы 3 . 2 ,

могут быть

найдены

провер­

кой, выполнения

соотношения

а -

х - х

cvil= mm

(12)

Т е N '

x - x j l .

Т е о р е м а

3 . 4 . Вершина

x N грани N

являетоя решени­

ем

задачи

3 .3,

если

выполнено

соотношение

(12).

§

4.

Описание класоа графов, для которых

задача

Штейнера

решается эффективно

Укажем класс плоских метрических графов

[ I ]

оо

специаль­

ной функцией

I

(см.§ I ) ,

для которых

задача

Штейнера.решается

сравнительно просто. Особенностью этого класса графов

являетоя

то,

что

рэшѳние задачи Штейнера в этом случае не использует мет

рику, определенную при помощи функции

(см.§ I ) .

Пусть

рассматриваемый граф

G = ( X , U )

является

плоским,

более того, реализован на аффинной плоскости

[ I J

,

[іо ]. Тогда

граф

G

определяет на плоскости одну замкнутую

неограниченную

область

F0

и

Ѵ= |£/'|-|Х\+ /

замкнутых ограниченных

областей

Ff,F2 , . . . , F1 , гомеоморфных

[з]

кругу. Совокупность областей

Ff,

,

называемых гранями, обозначим через

Ф.

На граф

G

и функцию

і - U - ^ B ,

накладываются

следующие

условия:

1 ° . Для

любых двух

граней

F i , F j e- 0 ,

пересече­

ние

Fi П Ff

либо

пуото,

либо

является некоторой

вершиной или

не

которым

ребром

графа

G ,

т . е .

'0 ,

Fi Л Fj

ДГеХ,

и * 1/.

2° .

Любая грань

F ^ 0

представляет собой

некоторый

че­

тырехугольник

(вообще

говоря,

криволинейный),

т.е.граница

^ с о ­

стоит из

четырех ребер и четырех вершин.

3 ° .

Если

вершина

X

графа

G

не

принадлежит грани

F0 , то

вершине

X

инцидентны более

трех ребер

графа

G.

4 °.

Если ребра

и,,и2 е

U

принадлежат

границе

некоторой

области

F^ecp

и не

переоекаютоя,

то

полагаем

{(цг) = і(цг ).

Класс

графов

G

о функцией

I

, удовлетворяющих

условиям

1° -

4°,

и есть искомый. Обозначим его через

К

,

Заметим,

что

для

некоторого

графа

G—( X, U) t реализован­

Зак.665

25

ного на плоскости, тройку ( X,U,<X>)

можно рассматривать, как

клеточный комплекс размерности не выше двух, для которого X,U,

Ф означает соответственно множество

нульмерных, одномерных и

Ке , где

Х,и,Ф -

ооотвѳтотвенно

множество

вершин,

ребер,

ко­

нечных граней

графа

G

,

реализованного на

плоекости.Пусть

граф

G ~ ( X , U )

принадлежит

классу К

,

т . е .

G

удовлетворяет

ус­

ловиям 1°

-

4 °.

О п р е д е л е н и е

4 . 1 .

Ребра и,и'€. U

называем

эк­

вивалентными,

если

существует

такая

последовательность

ребер

и=

иі ,иг ,...,ик = и ‘

,

что

при

любом

і

= 1 , 2 , . . . ,

л

-

I

ребра

uL>

uLt1

либо

совпадают,

либо

являютоя

несмежными

ребрами

некото­

рой грани

из

Ф . Обозначим

это отношение

через

L .

Очевидно, что это отношение является рефлексивным, симмет­

ричным и

транзитивным,

а

оледовательно, оно

разбивает

все

мно­

жество

ребер

U

графа

G

на

классы

эквивалентности,

которые

обозначим

через

U1, 1)г

Un

,

Множество

1

,

т . е . множество индексов,указываю­

щих классы

Uf ,

иг

Uj

,

обозначим через1?/. Нетрудно

за­

метить,

что

класс

,

соответствующий индексу / ,

является

раз­

резом

графа

G.

Поэтому

наряду о выражением "класо эквивалент­

ности

Uj

"

будем

пользоваться

и

выражением

"разрез

Uj

".

Заметим

также,

что

каждый класс

эквивалентности

определяет

тройку

(Ху,

Vj , Ф у ) ,

где

Ху - множество воех вершин, инцидентных ребрам из Uj .

Vj - множество всех таких ребер, что

оба

конца каждого

из

них принадлежат множеству Ху (очевидно, Uj ^ Vj

) .

Ф -

множество граней,

вое

ребра которых принадлежат

мно­

жеству

Vj .

( Xj , Ѵ /,Ф /

Ку.

Клеточный комплеко

)

обозначим

через

О п р е д е л е н и е

4 . 2 . Змейкой назовем

такой

связный

одномерный комплеко

без

циклов

3

,

что каждой

его

вершине

ин­

цидентны

не более двух одномерных клеток.

§

5 . Топологические

свойотва

графов

класса

К

Приведем ряд свойотв графов из

класоа

К

,

характеризующих

некоторые

топологические.особенности графов^исследуемого класса.

Т е о р е м а

5 .1 . Каждый полиэдр

Kj

, j Z -ЧІ

явля­

ется

односвязным.

^

Д о к а

з

а т

е

л

ь

с

т

в

о .

Пусть полиэдр

Kj

не

является

односвязным. Тогда

для

некоторого элемента х

е X П K j , Х&Х/

существует

такой простой замкнутый путь /?, начинающийся и

ко&-

чающийоя в

X

» что непрерывной деформацией в

пространстве Kj не

стягивается

[3J

в х .

Рассмотрим все двухмерные клетки

комп­

лекса Kj, которые пересекаются путем h более

чем по одной

точ­

гомеоморфно (т.е.взаимно однозначно

и взаимно

непрерывно) в по­

лиэдры, изображенные

на ри с . 5,

а )—

»-а),б)— —^ в ) -----»- 8) .

а'

5'

6'

г'

Т^ДСВ,

Т3

= ДВС, Tj, = ЯСВ±

Т5 = ПВС,

Г6 = ДСВ

Т7 = ДСВ,

т8= ДСВ, где

А

ш А , 8 я 8 ,

С

я С

обозначают диаметраль­

но противоположные пары точек.

Для

треугольника 7/

определим ■

некоторый

комплекс,

изоморфный комплексу К 1,

полиэдр

которого

совпадает

о Т(

.

Это,

очевидно,можно

осуществить

при

помощи

некоторого

гомеоморфизма

,

для

которого

9(:хп)=

= Д,

д ( х ) = В ,

9 ( х п-і)~

С-

%nn

треугольника

Т

построим

такой

же комплекс,

т . е . изоморфный

К ’ ,

при

помощи

гомеомор­

физма

9 ‘

Tf-~- Т2 ,

отображающий

Tf

на

7? оимметрично

от­

носительно

плоскости

пространства

R e

,

определенной

дугой

х п х п_г Указанными

"симметричными" гомеоморфизмами

образуем

для каждого треугольника

Т;

, і = 1 , 2 , . . . , 8

свой

комплеко

Кі,

изоморфный К1 , причем, очевидно, получим комплекс

K = U /Q

,

имеющий своим

полиэдром сферу

S 2 .

Заметим,что произвольная

вер-

шина комплекса

К

инцидентна

не менее

четырем ребрам

этого

ком­

лучим, что и

случаи

б ),

в)

и г)

тоже приводят к противоречию с

теоремой 2 ,4 ,

а

это

завершает доказательство

теоремы 5 . 1 .

Используя теорему 5 . 1 ,

докажем ряд свойств, которыми обла­

дает

каждый граф

G~ ( X , U)

клаоса

А .

Ив теоремы 5.1

непоо-

редотвенно вытекает

С л е д с т в и е

5 . 1 . Д л я

к а ж д о г о , /

eCtl

граф

G 1-

( X , U \

(Jj)

состоит

ровно

из двух

компонент

связности.

Т е о р е м а

5 . 2 .

Пусть Jf

и j 2

-

два произвольных ин­

декса множества

U , j f ^ j 2 .

Тогда имеем:

0 ’

у

Kji n Kj2

х ^ Х ,

3 ^ 6 ,

Р е ф .

Д о к а з а т е л ь с т

в о .

Предварительно покажем,

что

если

комплекс

Кд1ПКд2

не

совпадает с

пустым множеством,

то,

его

полиэдр

является

односвязным. Действительно,

из следствия

5 .1

непосредственно следует, что для

любого j ^ U

комплекс

Кд

не имеет самопересечений,

"состоящих из элементов

множества" Ф.

Тогда,

очевидно,

комплеко

Xj1 (\Kj2

будет

односвязным,

если

только не будет ситуации, изображенной на рис .6, По этого

быть

не может по

следующем соображениям.

Если бы указанная ситуация имела

место,

то

рассматривая

подкомплекс

Q

комплекса

К д , получим

следующее

противоречие.

Так как граф

G

удовлетворяет условию 3° §

4^ то

каждой верши­

не

X

, принадлежащей

внутренности полиэдра

Q,

инцидентны

не

менее

четырех ребер,

а каждой граничной вершине

а: полиэдра

Q ,