книги из ГПНТБ / Солтан, П. С. Экстремальные задачи на графах и алгоритмы их решения

~ ( Y , V , 4 у/ )

удовлетворяют

следующим равенствам: / / / =

VÂ- (QJf ),

Н І = Ъ ( 6 І ) .

.

у

принадлежат двум параллельным ( n - f )

Докажем,

что //,

и Н2

-мерным граням

параллелепипеда

Р*1. Рассмотрим

гиперплоскости

П ~ { ( * ? ■ / } <

&/у - •>

и

Г2

-

, х 2

,■■■, &>■■■;

yj’

пространства

R * . Пусть

Р^~г- Г { ( ) Р п

и Р ^ ' —Г2

Г\ Р п.

Бев потери общности можно предположить, что вершина

яг*, о

помо­

щью которой

определяется

отображение Ѵк » принадлежит

компонен­

те св я зн ости .#/

графа G .

Тогда

/

-тая

координата

каждой

вер­

шины

У е У / ~

YK ( K tJ)

графа

Н

равна

нулю,

т . е . у & Г2 ,

а следовательно,

у

принадлежит

грани

Р / } 1 ;

Аналогично,

/ -

тая

координата

каждой

вершины

у £

У£ = <Рк (Х2 )

графа

//р ав ­

на Ofj, т . е .

у ^ Г і

,

а оледовательно,

у

принадлежит

грани

р п -

1

*

'

следствия

3 .1

непосредственно

имеем,

что

,

равен

В силу

і

числу

тех индексов

J } j

~

nf

для которых выполнено

ра­

венство

Г

/7 -Г

р ' ( у ) -

У*Р,

Но это равенство есть на самом

деле

равенство

р ' ( Р / ) = Р'{У2 ).

В силу

определения функции

р ‘( у )

имеем

р ‘( HfJ) = p ' f ^ (Gl))=P(ßj)

Но равенство

p(G^)=p(G2 )

в

силу

леммы 7 .4

имеет

место

не

более

чем для двух индексов

/ £

V.

У0

Таким образом,

в

силу

теоремы

7 .1

множество

вершин гра­

фа H = (Y ,Y ),

являющихоя решением задачи У У У,

исчерпыва­

Покажем далее,

что

эта

клетка совпадает с гранью

Р /

паралле­

лепипеда

Р п.

Для

этого рассмотрим множество индексов 1 / \ И 0 .

Как

было отмечено,

каждому /

£ V

соответствует

некоторый раз­

р ез

V’[* в

графе

Н

, причем компоненты связности H j

и Н2

гра­

фа

Hj = ( Y, V \ Ѵу)

принадлежат двум параллельным ( п - 1 ) -мерным

граням параллелепипеда

Р п • Тогда

в силу леммы 7 .2

для каждо­

го

j ^ t r ^ V o

рассматриваемая клетка комплекса

Кң

будет

це­

ликом содержаться

в

одной из

этих граней.

f

Для каждого

/

е

Р п ,

обозначим через

Ру'_

ту

грань параллелепипеда

которая

содержит '"интересующую

нас

клетку. Согласно лемме 7 . 2 ,

для каждого /<= У. NѴ0

выполня­

ется

неравенство

У~рП-, P ' l y ' l ' J m . - i P ' W -

Из последнего

неравенства 'и "теоремы 3 .2 вытекает,что грань

§ 8.

Решение

задачи

X X X

В сиду теоремы 7 . 2 .

легко

пслронть

алгоритмы решения

за-

дача

XXX;

основные моменты которого

оледующие.

I)

Фиксируется

некоторая

вершина графа G<=K,

напри

х і , и

при помощи произвольной

цепи

С ( x /f x L),

соединяющей

вер­

шин

Xf

и

X

вершине х 4-; L = 1 Zr ..,m = /Х|

ставится в соответ­

ствие

вершина

z-L=o((Xi)

единичного

куба

І п

л-м ерного

про­

странства

R n по правилу:

j

f l ,

если

\ C ( x f , ^ ) n < 7 / l s

i ( m o d 2 ) ,

Z l ~

i 0 ,

если

\ C ( x ,, X i)

П U j\ = 0

( m o d 2).

Это соответствие

удобно представить матрицей

OC(Xf ) \

l Z *

z ?

<Х(Хг )

_

2 І

2 | .

Z”

!'

..

« Ы т ) 1

V

■■ Zm

2)

Составляем

числа

s J = Ë ,

' ( х * )( / ~ 2

г і )

>

j = ( >2>

п .

3)

При помощи чиселS 1 отроится

вершина

куба

Z * I n по

правилу:

О,

еоли5 J< О

с

I ,

еоли

s j > o ,

0.

или I

(безразлично), если

S J= 0

,

Как

следует

из

теоремы 7 .2

z ~

( z l: z !, , . . , z n)

есть отрока

матрицы

R ■2 с Тсы ( X ) - R .

4)

Находитоя

вершина Cca =o<~f( z )

графа G <= К ,

к

рая в силу упомянутой теоремы 7 .2

яіляётоя"решением

задачи

XXX:—

« ' f( z ) c c £ - f ( T ) = X 0 -

§

9 . Решение задачи XXУ

I .

Пусть

К0

-

множество

всех вершин

х 0 графа

G,

мин

зирующих функционал

F ( x ) , a t i x ^ V

- множество всех клас-

сов эквивалентности, определенных ребрами, инцидентными

верши­

не

х < ^ Х .

Через

Gf = (Xf/ Uf)

и

обозначим компоненты

связности графа

G * = ( X ,U ^ U j) ,

о ус­

ловием, что

верно включение X<=XJf .

Далее, если G'~ (X', U') -

некоторый

подграф графа

6 , то как и раньше

через

P(G')

обоз

начѳется чиоло

И tp ( x ) .

Справедлива

«2Г£ X

Л е м м а

9 .1 . Вершина х

графа

G = ( X, ( J )

принад­

лежит

множеству

Х0

тогда и

только

тогда, когда

выполне­

ны неравенства:

p ( G > ) > p ( G { ) , j * y x .

Д о к

а з а т е л ь с т в о

. Необходимость

получается почт

ти дословным повторением доказательства леммы 7 . 2 .

Докажем достаточность. Пусть для каждого

/

е

Ух

имеем

р ( 6

{)'?'p ( G J2 )

.

Покажем, что

верно включение х &Х0 .

Пред­

положим противное, т . е .

предположим,

что

справедливо

соотноше­

ние

Х0

.

Тогда

найдется хотя

бы одна

вершина х 1, для ко­

торой

имеем

неравенство

F(cc')<F( х ) .

Пусть

х ,

-

ближай­

шая от X

вершина с указанным свойством. Рассмотрим

некоторую

цепь

С —[ х —Хц t X i g ,. • •, х^„

1 и Lg!" ■>u L/c-i))'

по которой

реализуется

расстояние

d ( x , x t ) .

П у с т ь -

ин­

декс,

соответствующий разрезу Uj^ ,

определенному ребром uLl .

зуется

число

d

( х ,

Х2*'г) .

В самом деле, из того,что

х ,

яв­

ляется

ближайшей вершиной.для

х

о

выполнением

соотношения

F ( X f ) ^ F ( x )

,

_

очевидным

образом

вытекает

неравенство

р (GJK~>) < р (Gz*~0

•

и

d ( x )x 2 ) = d ( x 1 X Jz K4 ) ^ d ( x Jx f ).

Пусть

Учитывая

О

~~

~

1

і-2

—

Ч 1

неравенство

p (G J1K~

p ( G

,

непосредственным под­

РйССМОТрИМ

ЦбПЬ

' ) <т''"/

? * " *

//*

счетом

получаем,

что

F

> F (хг ) ,

откуда

имеем

соот­

ношение

F ( х ) > F (х2).

Полученное

неравенство

противоречит

тому,

что

X,

является

ближайшей вершиной

для X , по

отношению

к которой

верно

соотношение

F(x)>F(pcf ).

Далее,

так

как

для

вершины

x f

реализуется

расстояние

d ( x , X J£ 4 )

то

на

основе, теоремы 6 .2

немедленно

получаем

включение

и . X2 *~f

с XJ[ .

Отсюда,

учитывая"

не­

равенство-

p ( G J*~') <p(G2'fK~!)

и неотрицате.льность

функции р ■

•X —

получаем

соотношения

р ( G/')^ p(G'K~’) ^ р (G^*'') G

G p ( G ^ ) t

а

следовательно,

имеем

Р (G/f ) ^ P(G£')>

ч т о

противоречит условию леммы. Полученное противоречие

завершает

доказательство

леммы.

2 . Приступим к формулировке

одного

из основных результатов

этого

параграфа.

Пусть

-

множество

всех тех

индексов

j

е

V

,

для

ко­

торых верно

соотношение

p ( G j ) = p ( G Jz ) .

Определим чиоло £ > 0 ,

удовлетворяющее

неравенству

£ < ^ М Ѵ \ 1 1

•

и рассмотрим

задачу

XXX

с новой весовой функцией p^X-^-J),

определенной

равенством

р !( х ) ~ р

( х ) + £

.

Пусть

Х'0

-

мно­

жество

всех

решений

задачи

XXX

с функцией р'.

Справедлива

|Т

© о

р

е м

а

9 . 1 ,

Множества

Х0

и

Х‘0

удовлетворяют

со-

I

отношению

Хд с Х0 .

х '0 является решением

Д о к а з а т е л ь с т в о

. Пусть

задачи

XXX

о функцией р 1. Рассмотрим множество индексов ‘Ux’f '

с 2/,

определенное,

как

указано в

пункте

I . Тогда,

в

силу леммы

9 .1 , для

любого

j

& ZLx0'

верно неравенство р ' ( 6

Если

покажем'при

этом,

что для любого J e t l x 0'

верно

и соотно­

шение

p(GJi) Ъß ( G £ ) ’

т0

тем самым, в силу той же леммы 9 . 1 , ,

теорема

9 .1 .

окажется

доказанной.

Предположим,

что

для

некоторого

/ е

^ х 0'

имеет место

нера­

венство

p ( G Jt )< p (G £ ) .

Тогда индекс

j

не

принадлежит мно­

жеству

а

следовательно, множество

индекоов

t l ^ t l 0

не

пусто и можно определить чиоло е.

Далее, в

силу условия

теоремы

9 .1

и выбора .числа

£

немедленно получаем неравенство P (G ]) +

■f-jX\ \ £ < р

'G^)>

.

а

следовательно,

и

тем

более

неравенство

Р ( б І } + \ Х \ \ е - \ХІ\

£ < p{G p ).

Отсюда имеем

P(Gj)+)X\\x

* € < Р ( в / ) + \ х £ Ы Г,"

*шж%х ' (Р(Х)* 6

)<Л

хІ ( р ( Х ) + е ) '

что означает,

по

определению, неравенство

Р ' С Ф < P ’ ( G ZJ ),

Последнее

неравенство

находится

в

противоречии

с

леммой

9 . 1 ,

примененной к

задаче

X X X

о функцией р'.

Полученное про­

тиворечие является следствием ложного предположения. Таким

об­

разом, теорема

доказана.

3 . Далее, на

основе

алгоритма

решения

задачи

X X X

и

тео­

1)

Определяем число

s > o ,

удовлетворяющее

неравенству

Чиоло

£ > 0

может быть

определено

непосредственно

по фор­

муле или проще: можно воспользоваться тем обстоятельством, что

m i n

\ p ( ß j )~Р (Gg )\

не превосходит

числа

ІО- * где число

j e V \ U 0

отметить,

К определяется точностью вычислений. Следует также

что

если

Ъ1\110 = & ,

то

решением

задачи

X X У

является

любая

вершина

графа

<?6 К.

2)

Вводим в рассмотрение новую веоовую функцию о

помощью

равенства

р ' ( х ) -

р ( х ) + е . .

3)

При помощи алгоритма решения

задачи

X X X

находим

не­

которую вершину

x = dT'(z.)

графа

G = ( X , U ) £ К ,

являющуюся

решением

задачи

X X X

с

весовой

функцией

р ' ( Х ). В оилу

утверж­

дения

теоремы

9 .1

верно

соотношение

Х & Х 0

, т . е .

вершина

х 0~

= Х

есть

некоторое

решение

задачи X X У.

§ 10. Решение задачи XMY

I .

Перейдем теперь к изложению решения задачи

XMY . Для

этого

существенно будет

использована

|Л е

м м а

1 0 .1 . Для

каждой

вершины

Х&ХХМ

существу­

е т

единственная

вершина

Z&M,

для которой

реализлатоя

ічисло d ( x , M ) .

Д

о к а з а т е л ь с

т

в о

. Предположим

противное,

т . е .

предположим, что для некоторой вершины

х ^ Х ^ М

число

d(x,M )

реализуется для двух различных вершин

z f

и

zz , принадлежащих М.

Рассмотрим некоторые кратчайшие цепи, соединяющие пары

вершин

X

и z 1}

X

и Zz ,Z, и Zz . Пусть

это

будут,соответственно, цепи

C ( x !z f ) = [ x = x „ x 2

, . . . , x 9 ~ z /], C(x,zz ) = t x = x l ,x l > , .. . , x p = z 2] ,

C l z t , z z ) = {zl = y f, y z ........У г - г г ]■

Так как множество

М

является

d

-выпуклым,то

вершина y s

принадлежит множеству

М, s

= f,2,-.., г

ірис.

12) .

Пусть

Up

-

разр ез,

определяемый ребром

( y r - i i z 2

)-

^ак как

и

C ( x , z 2 )

являются

кратчайшими цепями,

то,в силу

теоремы 6 .1,

разрез

Up не

пересекает

цепь С

(

х

точно

так

же

разрез

Uj2

не

пересекает

цепь

C(x,Zz ).

Следовательно,комплексы,оп­

ределяемые

разрезами

Ujt

и

Ujz

пересекаются по некоторой

гра­

ни

F £ Ф .

Обозначим

через

z ' вершину этой

грани.('как

указа­

но

на

р и с.1 2 ).Докажем,

что

вершина z '

принадлежит

множеству

М .

Для

этого

заметим,

что

каждый разрез,

пересекающий

крат­

чайшие цепи

C ( z ' , z f )

и

C ( z ' , z 2 ),

обязан

пересекать

и

цепь

C ( z n

z z )

иначе придем к противоречию с теоремой 5 . 3,

Отсюда получаем, что каждому ребру

цепи

С (z/ z ,) ü C ( z ' 1

Z2 )

можно

поставить

во взаимное соответствие (с помощью соответст­

вующих разрезов)

ребро цепи

C ( z f,Z2 ),

реализующей

расстояние

d ( Z , ,Z 2).

А это

приводит

к равенству

d ( z , , z ' ) + d (z ',z z ) =

= d ( z f , z 2) ,

что

равносильно,

по

определению,

включению

z ' & M .

Теперь,пусть

х'к

- вершина

цепи

C(Xj Z2 ) , выбранная, как ука­

зано

на р и с.12. Тогда между

множествами разрезов,

определенных

соответственно кратчайшими

цепями (х'к

z*>

. ,

. ,

z 2 )

и

(х'к

, ■.

г 2 ) ^

С ( х , Х 2 ),

устанавливается

теми

же

рассуж­

дениями, как

это

сделано выше,

взаимно

однозначное

соответст­

вие.

Отсюда,

как

легко заметить, вытекает неравенство d ( x , z ' ) z

< d ( х , z z ) ,

что

противоречит выбору вершины

z z . Таким образом,

лемма

доказана.

О п р е д е л е н и е

1 0 .1 . Вершину Z множества N a X

назовем граничной

для

N,

если

z

является

смежной для

некоторой

Вершины множества

X ^ N .

Множество всех

граничных

вершин

из

/V

обозначим через

b d N ,

а множество

N ^ b d N

-

через

i n t

N.

г

точка d

Пуоть теперь

-

некоторая

-выпуклого множества

М

,

а X ( z )

-

множество

всех

таких вершин х ^ Х

,

для

кото­

рых верно соотношение

d ( x , M ) = d ( x , z ) .

Далее,пусть

у

-

также

некоторая

вершина множества

М , C ( x , z ) ,

C f z . y j

кратчайшие цепи,

соединяющие соответственно

х

а

z

и z

с

у ,

а С

- объединение

цепей C ( x , z )

и C ( z , y ) -

Имеет место

|Л е м м а

1 0 .2 . Для

любых

x & X ( z ) ,

у ^ М

и у<= £/

ІІсправедливо

соотношение

| С П Ujl 4 / .

Д о к а з а т е л ь с т в

о .

Неравенство

\С

П U j \ ^ 2

непосредственно следует из теоремы 6 .1 ,

так

как

С

соотоит

не

более чем из двух кратчайших цепей. Кроме

того,

из

этих же

со­

ображений

следует,

что,

если верно

соотношение

\С

Uj\ —2

для

некоторого

/ е

II,

одно

ребро

пересечения принадлежит крат­

чайшей цепи

C ( x , z ) ,

а

другое

-

кратчайшей цепи

C ( z , y ) .

Пусть

Uj'f

-

раэрез,

определяемый

ребром

(Z, yf ) ,

как

это указа­

но на ри с.13,

и

пусть j \

-

такой

индеко множества

V ,

что

вер­

но равенство

\ СПУ/ 2 \ - 2 .

Тогда из доказательства теоремы 6.1

легко

следует,что

ком­

плексы,

определяемые разрезами

Ujf

и ^ .п ер есек аю тся

по грани

Р<=ф

(рис.1 3) .

Рассмотрим вершину

X' ,

принадлежащую грани F

и выбранную, как показано на рис.13. Точно теми же расоуждения-

ми,

как

при доказательстве

леммы 1 0 . 1,

получаем

соотношение ОС'е

е-М

и

d ( х ^ х 1 )*- d ( x , z )

. Но

это

противоречит

включению Х&.

<£ X ( z )

,

что

завершает

доказательство

леммы.

Из

леммы 10.2.. очевидным образом

вытекает

X <= X (z)

С л е д с т в и е

1 0 . 1.

Для

любых двух вершин

ъ у е . М

имеет место

равенство

d ( x , y ) :zd(x,z)-/- d ( z Jy ) :

2 .

Теперь ,пуоть Gz

- подграф графа G

■,

порожденный мн

жеством

X (z) ;

GM

-

подграф,

порожденный

множеством

М.

Для множестваI

М

определим весовую функцию

y - ' M —

D

по

пра­

вилу

_

£

(и ) = I

если

y * w t M ,

\.P(G^),eom

y & 6

d M .

Далее,

обозначим

через

У

множество

тех

вершин графа

GM,

для

которых верно

соотношение

£ ( у ) 9* О.

Сейчас

рассмотрим

задачу

ММ У,

Т

е

о р

ѳ

м а

1 0 . I .

Пуоть

Х0

и

У0

-

множества

воех

ре­

шений,соотвѳтотвенно.для

задач XMY и

ММУ'Лотт

верно

соотношение

Х0

=Уо .

F '(y) —

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

функционал

для

задачи

MMY. Теперь, для доказательства

теореш

достаточно

показать, что для любых у ,

и

у2

as

М

одновременно

выполня­

ются

либо

неравенства

F ( y t ) 4 F ( t k ) ,

(І)

либо неравенства

Р ( У і ) >

Р (У г),

F'iy,) >/

Р'(Уг).

(2)

том. Действительно, для

F( y f ) и F(yz )

имеем;

Р ( у 1) =

- ZL р ( ц )

У ( и , , ц ) = И

p ( ü ) ä ( y , , у ) + И

<Р(у)с((Уі,У)=

чеч

у/

і/еУПН ^

и<вYn(X\M) у

* * < * • * > * * Ä a Р Ш Н а і у ’ ’г ) * а ( г >

Р ( у ) '

'

0 ’(у' ^ 1 г и ы р Ш Р ( У ' ^

ш , Ь ( / ‘У ) а ( г , У У '

аналогично

п

й>)=с, Р(у)4(уг ,У) =

р (y)d(уг

^ ,х

у е У

% , 9 ( і 1 а (УІ, У ) ^ , _ , иЯ(У>у(Ѵ,,У)-Т.м 9<ЧУ(У,,Ч,

уьУТОлШ

zeta tМ ‘

П у г ) = J - 9 (У) < *(у„ у) ^

м 9 (у > * < У г , У) ' Д = , № ) *

x d ( y e , z ) .

например,

F (yt ) é; F (уг ) .

Подставляя

в это

неравенство

по­

лученные

значения

для F(yf)

и

F(y2 ) ,

получим

,

2 1 . _

Р(У)<ПУ„У)d

Y

p(Gz ) d ( y ( , z ) +

Z_

JZ

p(y)ä(z,y).

y e YOmtM

t-&bdM

zebdM yeX(z)

4

5 1

ß ( y ) d ( y , , y ) + Y -

p(Gz ) d ( y 2

, z ) + Y -

YL

p ( y ) d ( z , y ) ,

yeY(\mtM

*

zebdM

1

7

ZebdM y&X(z)

В результате

надлежащих сокращений будем иметь

5 1

P ( y ) d ( a , u ) +

5 1

P(Gz ) a,(y, , z ) 4

zebdM

4

2 _

Р (У ) с/(У2,У'!+'£-м P(Gz )cf(y2 ,z ) .

УеУПіліМ

z&bdM

С другой стороны, из определения функции

$ ( у )

непосред­

ственно

получаем равенство

УП LntM -Y'ftLn tM ,

откуда

о

уче­

том последнего неравенства

имеем

соотношение

F'(yt)F F'(у 2 ) .

Далее, если предположим,

что имеет

место

неравенство

F '(yt)~

4 F '(у2 ),

т о ,

подставляя

полученные

значения для

F ( yf)

и

F’(y2)

и добавляя к обеим сторонам указанного неравенства одно и то же

положительное

число

5Z

5 Z

р ( y ) d ( z , u ),немедленно

получим

неравенство

_

z e b d M y e X ( z )

, 3 / ’

J

F (у ,) 4 Р(уг ).

Для доказательства

одновременного выполнения

неравенств

(2) нужно

поступить точно так

же. Итак,

нами доказано

одновре­

менное выполнение

неравенств

(I)

либо (2 ),

что завершает

дока­

зательство

теоремы.

3 .

Теперь

на

основе алгоритмов

решения

задач XXX и ХХ

используя теорему 10 .I ,

построим

алгоритм решения

задачи

ХЛ/У.

1)

Выделяем множество

b d М.

2)

Выделяем множества

Л' (z)

для каждого

z ^ b d M ,

Это

можно сдела

ь без

использования

информации о

функции

і ( и ) ,

например,

следующим образом. Пусть

b d М ={z,,.-.,zK\ .

Для того

чтобы найти

X(z^), рассмотрим

смежные

о

Z[

вершины,

принадлежащие

6 dM. Пусть,

например, это

будут

и z i +1.

Рассмотрим множество

ребер,

эквивалентных ребру

(Zi4

, Z i ) , об^

разующее

разрез Ujf ,

и

множество

ребер,

эквивалентных

ребру

( z i , z i+t) >образующее

разрез

и / 2

. В силу теоремы 5,2 .

граф Ѳ'~

=(X , U \ ( Uj, U Uj2 )

состоит

не

более чем из четырех компонент

связности. Выделим ту

компоненту

связности,

которая

содержит

Зак.665

49