книги из ГПНТБ / Солтан, П. С. Экстремальные задачи на графах и алгоритмы их решения

вершину

2 L. Обозначим

ее

Gz i ~ ( X Z i ,Uz i ) .

Множеотво

вершин

этой компоненты

связности

и будет

искомое

множество

X(z^).

3)

Вычисляем непосредственно

p(G z ).

М-*~В

4)

Вводим в рассмотрение

новую весовую функцию

£•'

по

следующему

правилу:

Г

Р ( у ) ,

если

y & i n t M ,

9-(У)=

y P ( G z ) ,

если у ^ ѣ с /М .

5)

При помощи алгоритма

решения

задачи

X X У

(§

9)

дим

некоторую

вершину

х 0

графа

G <£ К ,

являющуюся

решением

задачи/УА/У

с

вѳоовой

функцией

у (у). В силу

утверждения

тео­

ремы l Q . l , x g &X0 ,

т . е .

х 0

есть

некоторое

решение

задачи

т у .

4 . Приведенный алгоритм решения задачи

XMY в общем

слу­

чае

находит только

некоторые

решения

рассматриваемой

задачи.

В случае, когда нужно найти все решения задачи XMY, могут быть

полезны

следующие следствия.

І С л е д с т в и е

. 1 0 . 2 .

Множество воех

решений Х„зада-

чи

XXX

является

Of

-выпуклым

множеством

пространства

І(Х,£Х).

Утверждение получается непосредственно

из

доказательства

леммы 7-.5.

С л е д с т в и е

10 . 3 .

Множество всех

решений задачи

XMY

является

Р

-выпуклым

множеством

пространства

(x,ä).

Действительно,

заметим, что утверждение

леммы 7 .5

сохраня­

ет силу и г случае, когда

У ^ Х .

Из

этого

и

оледствия

10 .2

лег­

ко доказывается

утверждение следствия

1 0 .3 ,

5 . Пусть

G ~ ( X , U )

- конечный, неориентированный и связ­

ный граф. Положим

і-(и)-1

для

любого ребра

u & U.

Влэтом

слу­

чае

соотношение

из

теоремы

6.1

имеет вид

Of'(zr ,oQ=-IIl1

'.

О п р е д е л е н и е

1 0 . 2 .

Кодом Хэмминга

j = l

[ 2 ] графа в -

- ( X 7 U)

называется

такое

отображение <*-Х—■—1% ,

где

Іо

множество всех вершин единичного куба І п

пространства

А5/ 7,

что

для

любых двух

вершин

x r ,x s имеем

d ' ( x r , х 5

) =

\\ы(х^)-ы(х5 )\\.

'Не всякий граф обладает кодом Хэмминга. Нахождение условий,

при

которых граф

G

допускает

код Хэмминга, являетоя важной задачей,

решение которой пока неизвестно. Поэтому

представляет

'интерес

следствие, вытекающее из теоремы

7 . 2 ,

С л е д с т в и е

10 .4 . Если

граф

G

принадлежит

класоу

К, то

он

обладает кодом

Хэмминга.

§

I I .

Решение

задачи

Штейнера для

деревьев

I . Пусть

метрический

граф

G=(X,U)

не

содержит

циклов

(т.е.является деревом). Как было замечено выше,деревья

принад­

лежат классу

К.

Каждый класс

эквивалентности

оостоит

из

одно­

го ребра. Поэтому к решению задачи

Штейнера

для

дерева

можно

привлечь

результаты предыдущих параграфов, а вышеописанные

ал­

горитмы в этом случае

приобретают

некоторые

особенности.

Для

краткости ограничимся изложением алгоритма решения задачи

X X X

для

дерева.

G ~ ( X t U),

1) Фиксируется некоторая вершина дерева

напри­

мер

x f f и строится

матрица

R

размерности

п

( п - 1

),

л = |Х|

следующим обрезом:

z j = f,

если

цепь

( х п х^)

содержит

ребро

U j ^ U ,

z [ = Ol

если цепь

( х , , Х і ) не содержит

ребро Uj ^U.

Заметим,

что

цепь

С( х , х ^) единственна.

2)

Составляем

числа

S-'= 2

2 1

р (х ^ )( f

~

2

z

j )

,

J

=

/.

3)

При помощи чисел SJ строится

строка

z

по

правилу

О,

если

S J< о,

z ^

<

1,

если

SJ>0,

О, или

I

(безразлично), если s J

= 0

Оказывается,

строка

z

совпадает

о некоторой

строкой

мат­

рицы R , причем таких строк не более двух. Это следует непосред­

ственно из теоремы 7 . 2 .

4)

Находим вершину

х а

,

имеющую номер

той строки

матрицы

R, которая совпадает со

строкой

z

. Это и есть в силу

теоремы

7 .2 решение задачи

Штейнера (задачи X X X

) для дерева

G.

В

[ I I ]

имеется модификация

указанного алгоритма,

позвот-

ляющая уменьшить количество вычислений для нахождения

решения.

Приведем еще один алгоритм решения задачи Штейнера для гра­

фов,

позволяющий

еще больше уменьшить количество

необходимых вы­

числений. Обозначим через

Х 0

множество вершин дерева

G - (X ,U ),

для

которых функционал

/-^ д о с т и г а е т

минимума. Справедлива

ЦТ е о р е м а

I I . I .

Подграф

G0

- (X o ,U0 )

графа

G,

по­

рожденный множеством

Х0 ,

является связным.

Д о к а з а

т е л ь с т в о .

Пуоть

G /~ ( X ' , U ' ) -

минималь­

ный по включению связный подграф графа G,

содержащий

множество

ларшин

Х^.Для

доказательства

теоремы, достаточно

доказать

ра­

венство

G ' ~ ß 0 ,

или, что то же самое,

Х ' - Х о . Пусть

Ф.

Рассмотрим

вершину

ДГ/е Х /ѵ>Х0 ,

Заметим,

что для

вершины

X'

найдутся

такие две

вершины

х п х 2 е

Х0 ,

что х '

лежит

на

цепи, соединяющей вершины х і и х г . Действительно,

вершина Л 7

не

может быть висячей вершиной дерева

G,- ( X lf U')>

так

как

пооле

ее удаления

полученное дерево будет по-прежнему содержать

мно­

жество

X.

,

а

количество вершин у

полученного

дерева

будет

мень­

ше, чем у G', что

противоречит

минимальности 6

'- Для

завершения

доказательства

покажем,

что

F ( х , ) = F ( x )

.

Во избежание

слож­

ных индексов,

в

дальнейшем, там, где это не будет

вызывать

не­

доразумений,

ребра

некоторой

цепи

будем обозначать одним

ин­

дексом. Без ограничения общности можно считать,

ч т о # ' -

ближай­

шая

к

x f

вершина,

принадлежащая

множеотву

(Х'^Х0 )Г\C (x t ,

X g ) \

ПустГ С ( х 1

, х ' ) = ( и 0

иг , . . . , и к )

,

где

ребро

щ

■инцидентно

X , ,

а

ребро

ик

инцидентно

х \

-

цепь,

соеди­

няющая

вершины

Х і

и

х ' .

Тогда

для

вершины

Хк , являющейся

концом ребра

ик ~ ( х к , х'),

имеет место

равенство

F [ x f ) - F ( x K),

так как в X ,

достигается минимум

F(x). Далее , будем

обозначать

через G L- ( X ) U ' ^ U i )

суграф,

полученный из

G - ( X , U )

уда­

лением ребра.

,

а

через

Gf = ( X . t , (/{)

и .

Gg~(Kg f U £)

,

ооответственно,

компоненту

связности

суграфа G lt

t содержащую вершину

а г ^ и компоненту

связности

оуграфа

G 1,

со­

держащую вершину

Х і г .

Теперь

вычислим

F (X * )

й

F ( x ' )

j

р (°ск ) ~

' H -

p ( x ) d ( x K , x ) * Z Z

p (X) d ( x K , X) + Z Z

P(x)*

* [ t ( u K) + d ( x \ x } ] = ^ p ( x ) d ( x K, x ) + t ( u A) ^ p ( x ) + I I l X

x p ( x ) d ( x ' , x ) ,

f f r O

P ( x ) d ( x f x ) = Z Z p ( x ) d ( x \ x ) + I Z p ( x ) d ( x f, x l

л

* **A^

^

" S * p ( x ) [ t ( u ^ ) + d ( x K, x j ] + I Z K P ( x ) d ( x /, x ) = i (u K) H Z X

'V

г е л2

X&Xf

* р ( х ) + E Z

o'Car*, х ) + Ш

p ( x ) d ( x ' ,

x ) .

x<=xf

* £X%

Сравнивая значения

для

F ( x K)

и

F (x ')

, в силу предпо­

ложения,

что

х ' ф Х 0 ,

получим

неравенство

Щ р ( х ) > H Z . р ( х ) .

m

XeXf

х Щ

( І ;

Далее,пусть C(x',xz ) = { u K+, , uKj-2 .i•■•>и()г

где

ребро

и>(+)

инцидентно х ' , а ребро й ( инцидентно

х2 ,

-

цепь,

соединяющая

вершины

х ' и

х г. Тогда,

так

как

в вершине

х г

достигается

ми­

нимум F(x),

найдется

ребро

u j -

( x j 1, сд2 ) ,

к+34 ;у Ч

і ,

для

которого

Xj f ¥- Х0 ,

а

Х]г & Х 0 .

Пользуясь

ранее

введенными

обозначениями,

вычислим

F(xjt ) и

F(xy2 ) :

F ( X j , )

=S

K J P(*w *

j , , * )

+

p ( x ) + ] ^ j P ( x >

x d ( X j 2 , x ) ,

F ( X J 2

) = Я *У P ( x ) ä (XJ2

+ І

P

( X

) +

^ 1

P ( x ) *

* c ( ( x j t

,JC).

Сравнивая

значения

для

F ( x j )

и

F ( x j z ),

в силу

пред­

положения

Ху1

ФХ0 1

а

хуг &Х0 ,

получим неравенство

Так как

граф

G = ( X , U )

-

дерево, легко

заметить,

что

и X * C C X J .

Из этих включений и из

того,

что

p ( x ) > O f

полу-

чаютоя следующие неравенства:

Р (х ) F

Р ( Х ) ,

(3)

X e X f

XeXJt

X e X J2

Р(х)^ 211* Р(*)-

(4)

X G XS

H Z

р ( х ) ^

H Z

р ( х ) < H Z

р ( х ) 4

Р (

Х

) .

(5)

х е Ц '

Из неравенства

(5)

вытекает

неравенство

Х&Х*

р ( х ) < 2— р ( х ) ,

которое

противоречит

неравенству

(I)

Полученное

противоречие

являетоя оледствием

ложного предположения,

что

X Z X O ? 0 .

Следовательно,

Х ^ Х П

0 ,

т . е , Х / = Х 0 , Теорема доказана.

С л е д с т в и е

I I . I .

Для любых двух

вершин

х

д, , Х

20

Iе Х 0

имеет

меото

равенство

F ( x % ) = F ( x % ) ,

ло-

Другими

словами,

функционал

F ( х ) на

дереве

не имеет

кальных минимумов.

Т е о р е м а

I I . 2. Для любого ребра

и 0=

( х '0 , х

г0 )

гра-

фа

G0 ~ ( X 0 ,

U'o)

имеет место равенотво

2—

Р(х:)

____р ( х )

где

множества X f0

и

Хг0

определяются

суграфом

х

е Х 2

G ,= ( X 1 U'-U0).

Д о к а з а т е л ь с т в о

. Для доказательства

теоремы

достаточно подсчитать

(как это оделано в доказательстве теоремы

I I . I )

значения

F ( x f0 )

и

F ( x $ )

и приравнять

их

(в

силу

следствия II .]).

После

очевидных упрощений

получим

требуемое

ра­

венство.

Из

теорем

I I . I .

и

I I . 2 .

легко получаются

следующие

следст­

вия

р ( х ) > 0

,

^ ^ ( Х 0 ,ио)

С л е д с

т в и

е

II .2 . Если

то граф

имеет не более двух вершин.

в а= ( Х 0

,Ц>)

C л е д с

т в и

е

I I . 3.

Еоли

граф

состоит

из

одной вершины,

то для

любого ребра

и

U *

,

инцидентного

!х * ,и м е е т

место

неравенство

1

Z Z

> H Z

р ( х ) ,

где

Х а *

- х ; .

дгеХ;

P ( X ) х ^ х г

2 . На основе

доказанных утверждений

ниже

будет

построен

весьма эффективный алгоритм решения задачи

Штейнера для

случая,

когда

граф G

являетоя

деревом. Предварительно приведем один оно

соб кодирования

деревьев

словами из

нулей

и

единиц

[ 14].

Пусть дано

дерево

G ~

( X 7 l / ) ,

U ^

0 .

Процедура

кодиро­

вания дерева

G

состоит

в следующем.

1)

Каждому

висячему ребру дерева

в

сопоставляется

олово

01 .

2)

Удаляем

поочередно

висячие

ребра,

соблвдая

правила:

а)

Если удаленному ребру было

сопоставлено слово

й и

то со­

поставляем слово

Й1

неудаленному

концу этого ребра.

б)

Если при

этом

неудаленному

концу удаленного ребра

уже

было сопоставлено слово й2і то сопоставляем ему слово

Я1 Лг .

3)

Если вновь

образовавшейся

виоячей

вершине

сопоставлено

олово й3 , то вновь

образовавшемуся висячему ребру

сопоставляем

олово

О Й3 1 .

4)

Процѳос удаления виоячих ребер продолжаем до полного ис­

черпывания множества

U.

С помощью указанной процедуры каждому дереву можно

сопо-

отавить

(вообще говоря, неоднозначно) некоторое слово й

из ну­

лей и единиц длины

2 \ U \ .

Например,

дереву на рио.І4

можно со­

поставить олово

0 0

0 1

0 1 1 О 1 1 0 0 1 0

И 0

1

О 0 1

0 1 0 1

1 0 1

0 0

0 1

И 0 1 .

Используя

приведенный вы­

ше способ

кодирования

дерева

G;

О 0 1 о і О і I 0 1

о о 0 / I I о і

поотроим

алгоритм

решения

ш ь

1 Т

00

1 1

ставленной

задачи

для

случая,

когда

граф

G

-

дерево.

Алгоритм

1) Построим олово й (код),

ооответотвующѳѳ дереву

G .

2) Каждой букве

слова

Я -

-(oi1

1

d2

d 2 \C/\)

сопоста­

вим некоторое

значение

функции

Р ( х )

по

правилу:

а) Если

біі

-

О ,

то Ыі

сопоставим

значение

р ( х у ) ,

где

Ху -

висячая

вершина

т о г о '

ребра дерева,

которому

в

процесоѳ

кодирования

сопоставлялось

слово, начинающееся буквой Ыі .

б) Если

<*і ~ 1,

то ыі

сопоставим

значение

P ( x j ) ,

где

- невисячая вершина того

ребра

дерева,

которому в

процессе

кодирования оопоотавлялось

слово,

заканчивающееся буквой

orL.

Заметим,

что

соответ­

ствие,

проведенное по

опи­

санному правилу,

является

сюръективным и однозначным.

Это

соответствие

практиче­

ски

легче

всего провести

в

процесоѳ

кодирования.

Для

объяснения

вышесказанного

рассмотрим

пример

(рис.1 6),

Р и с . 16.

С О О О 1

1 О t О і 1 0 1 0 0 1 0

1

1

1

0

1 0 1 0 1

3) Вычислим суммы H p ( X j )

по нижеследующей процедуре.

Пусть У:{ыі} - ~

р ( Х і к ) ,

где

Ыі

- буква

слова

/7,

1= /,

2 , . . . , 2 І С Г І , к * f,

2 IC/I, LK =

i r2 , . . ' , - \ U \

+ f ,

есть соответствие,

сопоставляющее

каждой

букве

некоторое зна-

чение функции р (х) по изложенному в пункте 2)

правилу. Процесс

вычисления

1— P (r j )

начинаем с

любой пары букв

Ыі Ыі

+ 1,

где

Ы-с ~ 0 ,

1.

Для

опрѳделенности,можно считать,что

это

п е р - _

di +t -

Если

ѴЫі ) ~ Р(Хік

) > 2

Р

то процесс

суммирования

окончен*. Вершина х±к

минимизирует функционал

F ( х ) . В против­

ном

случае

вычисляем оумму

P’( d i )

-f- <f(o4+r). Если

< f ( ^ i ) +

* ¥>(ыі +і ) >

2 Р ( G ) ,

то процесс

суммирования окончен, ьѳршина

Я-і+і к

минимизирует функционал

F(x). Если

Ц> (<*і) *

Ыі +,) <

< t

р

( 0

) ,

то строим

новый

(укороченный) код

и новое

соответ­

ствие

i f'

по

правилам:

а)

Новое

слово Р

получается

из слова Р

удалением пары

букв

с

f

if '

<р,

б)

Новое

соответствие

получаем с помощью

соответствия

полагая

Если

и I

- ребро

сочленения

графа

£ ,

а зс-і

и х [

-

вер­

шины

этого

ребра,

то через G^

и

G[ будем

обозначать компонен­

ты связности

графа G-L} полученные

в результате удаления

ребра

причем

е

,

а

е

G[

. Соответственно, как и

раньше,

через

P ( G i )

и

p ( G [ )

будем обозначать

сумму весов

вершин

этих

подграфов.

G ~ ( X , U )

Покажем,

что

е с т

граф

имеет хотя

бы одно

реб­

ро сочленения,то

задача

XXX

решается

без

использования

метри­

Пусть

Ѵ= {ѵ ,,ѵ г , . . ѵ

ѵт }

-

множество

ребер

оочлеиения

данного

графа

G.

Граф G ' = ( X yl / \ V ) , как легко

заметить,

со­

стоит из

т +

1

подграфов— компоненты

овязности

Гі5j .

Обозначим

ѳти подграфы

через

y f , у „ , . . . ,

Ут+ 1

•

Эти подграфы

называются

листами

в графе

G

[ І 5 ] . Все ребра

в подграфе

Уі(і-~

т + 1 ) циклические.

Образуем при помощи множества

Y - { y f уУгг-^У т+г} и

~ { ѵі , ѵ

ѵт \

граф

H = ( Y , Y ) ,

где

Ѵ;&Ѵ

связыва­

ет те элементы множества У, которые

содержат

вершины ребра

V;

графа G . По построению граф

Н

связен. Но связный

граф,

у

которого

количество

вершин

ьа единицу больше,

чем

количество

ребер, есть

дерево.

Граф H - ( Y , V )

называется листовой ком-

позициёй для'графа

G = ( X , U ) .

Итак, е с т

связный граф

G

бражающий граф G

в свою листовую композицию Н. Каждой верши­

не

Уі

дерева

Н

приписывается вео

Р(Уі )

равный сумме

весов

всех вершин графа

G

,

которые принадлежат подграфу

y L( i

= f/ 2

r ..,

m + f ) .

Теперь

по отношению к графу

U = ( Y ,

V )

поставим

задачу

Y Y Y .

Пусть

Уо~{у<>У

-

множество решений этой

за­

дачи.

Т е о р е м а

.12.1 . Множество решений Хд

задачи

XXX

принадлежит

объединению тех

подграфов

у о

графа G,

которым

соответствуют

решения

задачи

У Y Y

на

его

листовой

компо­

зиции.

Д о к а

з а

т

е

л ь с т в о .

Рассмотрим

сначала “ случай,

когда

у 0

-

единственное

решение

задачи YYY .

Предположим,

что

ни

одно решение задачи

XXX не принадлежит

подграфу

у 0

графа

G

и

пусть Хд е у і к

7* у а

- некоторое’“ решение' задачи X X X .

В графе

H ~ ( Y j

V)

рассмотрим кратчайшую цепь ( Vif ,

Vt-

) ,

соединяющую вершины y Q и ^ .О бозначим

через

Xi

, х'ік

вершины соответствующих ребер

Уу

t ^i- 2 r'">

Уi-K

в графе

G

в

порядке их

следования

на указанной

цеди.ТогДа

принадлежит

подграфу

у 0

1

в х [ к

-

подграфу у с

Рассмотрим крат­

чайший путь

JK

,

связывающий в

графе

G

вершины

и

Х0. Оче­

видно,

что

вершины

Х у , XL?,

,

Х ік 7 ос ск

принадлежат

это­

му пути. Рассматривая подграфы, на которые распадается граф G

при

удалении

ребра

^i5

( S - 1 , 2 ,..

получим,

что

(I)

Но

тогда ...

..........

. . .

, .

.д /

. „

>

> P ( G L f ) > £ P ( G ) .

Значит,

F ( X i 1

) < F ( X i z ) ^ . . . < F ( x c K),

Но

так

как

х 0

принадлежит

подграфу

Уік

,

то

F ( x i K)^~

C F ( x 0)

следовательно,

F ( x i 1

) < F ( x 0).

А

это

проти­

воречит

предположению,

чтоЛ'д

есть

решение

задачи

X XX . Та­

ким образом,

если.

у 0

-

единственное

решение

задачи

Y Y Y

на

графе И , то

любое

решение задачи

XXX

принадлежит

подграфу

у 0

графа

G.

Y Y Y

Аналогично можно показать, что если решение задачи

для

листовой

композиции

Н

графа

G

представляет

собой

две

смежные вершины у J

и у £ ?то

любое решение

задача

XXX

принад­

лежит подграфу

y j

U y z ^ G .

Таким образ ом, те орема доказана.

Отметим , как следствие, что если

задача

Y Y Y

имеет

два

решения

у'0

и у% , то множество решений задачи XXX суть верши­

ны ребра

сочленения

V0 ~ ( y â

7 y j

)

графа

£ ,

и в

этом случае

задача

XXX

полностью решена.

Оказывается, что в случае, когда

задача YYY

имеет

един­

ственное решение

у 0 , то

решение

задачи

XXX

сводится

к реше­

нию такой же задачи для подграфа

у 0

графа G ,

вершинам

кото­

рого приписываются некоторые новые веса.

Пусть

ѴЧ ’ ѴІ2

Ѵі>

-

ребра

графа

И

,

инцидентные

вершине

у 0 .

Рассматривая

у 0

уже как

подграф графа

G,

отметим1

те

вершины подграфа

у 0і которые

инцидентны ребрам

Уі п Ѵі2 ,---,

Уіт

в графе

G .

Обозначим

эти

вершины соответственно

че­

рез

{ х

'і,

,

х'іг } = у '

а

через

Х у ,

Х у

х у

- с о о т ­

ветственно вторые вершины указанных ребер. Каждой вершине

Х у

подграфа

у 0

поставим в соответств"е_ новый вес

с ( х ' у ) - р ( х 'у)+

+ р ( G y ) .

Любой

другой

вершине

подграфа

у 0

припишем

вѳо

с ( Х і )

—р

(Xi ).

12.2. Множество

решений Х а задачи XXX

ЦТ

ѳ о

р е

м а