книги из ГПНТБ / Мастаченко, В. Н. Надежность моделирования строительных конструкций монография

На основе формул (58), (59) с учетом результатов, получаемых по формулам (129) — (131), можноопределить коэффициенты корреляции индикаторов. I\, h, h-

коэффициентов вариации принимается на основе прак­ тических соображений (в рассматриваемом опыте они не определялись). Коэффициент вариации испытатель­ ной нагрузки принимается равным w (Р) =0,03 исходя из условия, что при использовании обычных маномет­ ров, но в^лабораторных условиях, возможна погреш­ ность порядка ± (9 —10) %.

Коэффициент вариации модуля упругости стали марки СтЗ принят равным w (£) = 0,015. Коэффициент вариации геометрических размеров принимается рав­ ным: w(L) =0,02.

Коэффициент вариации модуля деформаций каната

вательности, как и в предыдущем примере при а*=0,95

Коэффициент вариации начального натяжения опре­ деляется возможной погрешностью при натяжении за­ тяжки. Эта погрешность может быть порядка ±10%. Учитывая, что в данном случае усилия натяжения кон­ тролировались по манометру и по относительным удли­ нениям затяжки, можно считать, что предельная погреш­ ность не превышала ± (4—5) %; это дает основание при­ нять небольшой коэффициент вариации ш(ао) =0,015. Предполагается, что законы распределения всех рас­ смотренных величин нормальны.

Численные значения Sj, / = 1, 2, 3 при учете получен­ ных и принятых значений коэффициентов вариации оп­ ределяются по формулам (129) —(131):

70

Коэффициент корреляции определяется по формуле

(132):

ведется как для некоррелированных индикаторов. При значении г>0,10-1-0,20 учет корреляции индикаторов обязателен. В. этом случае расчеты следует выполнять по формуле (67).

Заданному значению Н = 0,95 отвечает погрешность подобия А, определяемая из уравнения (49)

Подбором находим А «0,15.

Погрешность в оценке напряжений для оригинала оп­ ределяется по формулам (103). Для напряжений полу­ чаем возможные относительные погрешности в диапазо­ не от +13 до —17,5%; для перемёщений (см. формулу

(125) — от + 7 до —8,5%.

Результаты оценки точности, приведенные в § 13 и 14, хотя и базируются на ряде условных статистических характеристик свойств материалов, геометрии и нагру­ зок, дают возможность сказать, что моделирование в уп­ ругой области при надлежащем контроле параметров эксперимента может проводиться с использованием од­ ной модели при условии, что погрешность результатов порядка 10—20% является приемлемой.

Анализируя числовые данные, использованные в при­ мерах, нетрудно заключить, что в области неупругих де­ формаций, когда коэффициенты вариации механических характеристик резко возрастают, погрешность конечных результатов будет существенно выше. Из-за недостатка места примеры по оценке точности результатов модели­ рования в неупругой области работы конструкций не рассматриваются, но дается иллюстрация планирования испытаний.

§15. ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛА МОДЕЛЕЙ

ИОБЪЕМА ВЫБОРОК ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ

МОДЕЛИ СТРУКТУРЫ

Проведем планирование эксперимента для случая моделирования структуры, рассмотренной в § 13.

71

Пусть требуемый уровень вероятности подобия задан равным Н = 0,95, а предельная относительная погреш­ ность результатов оценки напряжений (для оригинала) равна ± 15%- Предварительная информация о свойст­ вах материала и прочих характеристиках по § 13.

Планирование проводится в соответствии с указани­

ями §11.

На основе формул (103) находим при а/*.,= 1 (см. структуру индикаторов в § 13)

откуда Д=0,13.

Предположим, что коэффициент вариации известен лишь по результатам испытания семи образцов и равен 0,067. При этом значении найдем s(I) =0,078.

По формуле (109) при Л=0,13 и s(/) =0,078 можно найти, что при р—2 Н = 0,981 >0,95. Принимается р = 2.

Далее по указаниям § 13 находим: А!н =0,0327; Н '= =0,95; 6= 2,34; 6 '= 1,96; Л.б =0,162; X- =0,194.

По формуле (115) при |а*| = 1 получим Х ^ ^ =0,195, а по формуле (116) при р = 2 найдем Х^р(е| ) =0,277.

Пользуясь графиком (см. рис. 9), определяем, что

§ 16. ПРИМЕР ПЛАНИРОВАНИЯ ИСПЫТАНИЯ БЕТОННОЙ КОНСТРУКЦИИ НА ДЕЙСТВИЕ СОБСТВЕННОГО ВЕСА

В ЦЕНТРОБЕЖНОМ ПОЛЕ

Некоторая бетонная конструкция должна быть иссле­ дована на действие собственного веса с помощью моде­ лирования в центробежном поле. Требуемые параметры моделирования: [Н*] =0,90; [А] =0,08; а* = 0,90. Нуж­ но определить число моделей и объемы выборок для образцов материала моделей .

Система индикаторов, обеспечивающих подобие мо­ дели и оригинала, имеет структуру:

<у,

72

свободного падения, плотности мате­ риалов и геометрических размеров.

В первом предположении принимается, что все вели­ чины, входящие в индикаторы (133), некоррелированы

между собой. Генеральные средние для всех величин А Л Л

оригинала известны и равны gH, рн, Гн. Предполагается, что q-*-оо, поэтому коэффициенты вариации для указан­ ных средних равны нулю.

На основе предварительных исследований ускорений центрифуги, материала модели и точности изготовления моделей было установлено, что щ(£м)=0,03; ю(рм) — =0,02; w(LM) =0,01; w(oM) = w (E м) =0,08; ш(ем) =0,08.

Определены также средние выборочные для модели: gm

рм, Гм, 0 М, ем. Объем каждой выборки п =\0 . Все числа условны.

Планирование эксперимента. Прежде всего на основе уравнения (109) необходимо установить число моделей, а для этого требуется вначале определить средние квад­ ратические отклонения величин индикаторов 1\ и /2. По формуле (77) при р = 1 и q^-oo имеем:

торые оценки надежности, которые будут действительно обеспечены, если коэффициенты вариации не случайны. Если необходимо обеспечить Н ^0,90 при а* = 0,90, то при р = 6 абсолютная погрешность может быть допуще­ на до 0,96—0,90=0,06, при этом относительная погреш­ ность будет равна: Лн =0,06:0,96=0,0625. Распреде­

лим эту погрешность между Hi и Н2 следующим обра­ зом: 7,Hi =0,0325, ЯНг =0,0290. Условие (ПО) при этом

удовлетворяется,

Далее рассмотрим планирование по каждому Hj, / = = 1,2 отдельно:

до (а), поскольку именно величина о обладает наиболь­

ir„

По табл. 12.2 из работы [41] при а*=0,90 и —гг —

Vn

=0,453 находим п = 15. Если А^ =0,0363, то Аа =0,369.

Представим выражение (120) в виде условия

1 %1—а*

(1+А0)2> — •

Подставив сюда полученное значение А0, по табл. 5 из

Если принять такое значение А^, чтобы получить п = 15

(как в предыдущем случае), то можно найти, что для обеспечения соответствующего значения Ас необходимо

иметь п=10. Разумеется, результат п = 15 удовлетворит всем требованиям, но целесообразно выяснить, нет ли возможности уменьшить число образцов. Для этого пе­ рераспределим погрешности: Ан =0,0345, Ан =0,0270,

74

Повторяя все выкладки, можно найти: / = 1, n^=V2, па = 13; /= 2 , = 12, и0 = 12. Следовательно, число об­

разцов можно сократить, по крайней мере, до 13.

В* начале примера было указано, что_ выборки для

предварительного определения значений 1 и s были при­ няты по п=10. Как показал расчет, это число образцов для определения механических характеристик бетона моделей недостаточно, поэтому объем выборок следует довести до 13 образцов и затем уточнить расчет. Общее

моделей при любом сколько угодно большом п не обес­ печивает удовлетворения условия Н^0,90. Поскольку число образцов и число моделей связаны между собой с точки зрения оценки Н при заданном а*, то в преды­ дущем случае, видимо, можно оставить прежний объем выборок, но увеличить число моделей до 7, если такое увеличение не представит больших трудностей, чем уве­ личение числа образцов.

§ 17. ПРИМЕР ПЛАНИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ НА МОДЕЛЯХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Железобетонные балки, предназначаемые, для серий­ ного изготовления, предполагается исследовать на моде­ лях. Оригинал запроектирован из бетона марки 300 с ра­

с внешними нагрузками мал. В соответствии с табл. 29*

Путем подбора состава бетона на образцах 2X2X8 см3

ки X и s (А) взяты выборки; для бетона моделей /г=50,

ш(/?а.м) =йУ(еа.м) ==0,03. Коэффициент вариации для геометрических размеров моделей, определенный на до­ статочно большой выборке, равен w (L) =0,206 (все цифры условные).

Структура индикаторов подобия для данных условий:

нагрузок; Р§г—Rupm/Rupm—^рн/^рм — масштаб сопро-

лл л

тивлений бетона; Rar=RanlRaM — масштаб сопротивле-

лл

ния арматуры; г&г, г^г— масштабы предельных дефор­ маций арматуры бетона.

Анализируя структуру индикаторов подобия, прини­ маем, что коррелированы лишь индикаторы / 1 и /2 (при наличии опытных данных следует учитывать корреля­ цию с третьим индикатором).

Требуется определить число моделей для испытаний и проверить достаточность числа образцов в выборках для определения механических свойств бетона и армату­

76

По данным табл. 2 по формуле (67) с использовани­ ем таблиц [38] получены оценки надежности: р = 1, Н = = 0,1185; р = 9, Н = 0,885; р = 16, Н = 0,974> [0,90]. Ме­ тодика подсчета проводится для последнего случая. Число индикаторов т — 3, из них два коррелированы, по­ этому

Функции Т(Ae; b j определяются в соответствии с ука­ заниями к таблицам, приведенным в [38].

77

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты, представленные в этой работе, позволя­ ют высказать суждение о том, что теория моделирования, построенная на идее сохранения подобия лишь по пер­ вым начальным моментам с оценкой вероятности подо­ бия в каждом отдельном случае, дает практическую воз­ можность рассмотреть ряд задач, для которых ранее не было удовлетворительного решения. Среди них можно назвать задачи по оценке точности и надежности резуль­ татов исследования на моделях и задачи по планирова­ нию эксперимента, строящегося на принципах подобия. Последняя группа задач решается на основе обеспечения заданных значений точности и надежности результатов. Как следствие из этих решений появляется возможность ставить и решать-задачи по оптимальному планированию эксперимента на моделях исходя из экономических пос­ ледствий решений, принимаемых на основе результатов исследований, содержащих погрешности. Все эти задачи рассмотрены применительно к случаю моделирования математического ожидания поведения натурного объек­ та и в определенной степени проиллюстрированы на при­ мерах.

Приведенный в работе формульный аппарат дает воз­ можность решать и ряд других задач, например прово­ дить сопоставление осредненных результатов испытаний ряда моделей и оригиналов при любом их числе с уче­ том случайных свойств; давать оценку точности резуль­ татов испытаний натурных конструкций; оценивать адек­ ватность расчетных моделей конструкций их реальной работе и устанавливать систематическую погрешность расчетных моделей [24, 25]. Хотя эта группа задач и не иллюстрирована на примерах из-за ограниченности ме­ ста, их решение не должно представлять больших труд­ ностей.

Вопросы моделирования явлений, случайность кото­ рых описывается случайными функциями, в книге только лишь затронуты. Анализ точности и надежности резуль­ татов исследования таких явлений на моделях и плани­ рование испытаний потребуют дальнейшей разработки

79