книги из ГПНТБ / Мастаченко, В. Н. Надежность моделирования строительных конструкций монография

§ 7. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСРЕДНЕННОГО ПОВЕДЕНИЯ q

ОРИГИНАЛОВ ОСРЕДНЕННЫМ ПОВЕДЕНИЕМ Р МОДЕЛЕЙ

В рамках детерминистической теории подобия воп­ рос о влиянии осреднения поведения некоторого счетного числа оригиналов и моделей не может ставиться. В дан­ ном же случае эта задача решается относительно просто. Покажем это на примере явления, подобие которому обеспечивается по некоторому /-му индикатору. При воз­ можности линеаризации индикатор может быть пред­ ставлен выражением (36) без учета нелинейного члена. Учитывая это замечание, а также условие (39), запишем вместо (36) выражение

где второй индекс 6 около Xi обозначает величину Xi в

40

Суммируя почленно все уравнения (70) и деля ре­ зультат на число опытов, можно получить выражение для среднего арифметического значения индикатора подобия

где черта над символом Ij означает среднее арифмети­ ческое значение. Это обозначение будет применяться да­ лее ко всем другим величинам.

Последнее выражение можно переписать в виде

21

ские ожидания Хг и ковариации K(Xih, Хгт), равные

ны между собой в одном опыте, но в разных опытах ве­ личина Xi может иметь ковариацию К (Xih, Xim). Кро­ ме того, в различных опытах математическое ожидание

этой величины может быть различным. При этих Пред­ ал _

положениях далее определяются I) и дисперсия D (Ij).

или

Учитывая замечания, высказанные в отношении ве­ личин для оригинала, можно найти, что

i = l + 1

Если сопоставить результаты испытания одной моде­ ли с результатами, осредненными по q оригиналам, то на основе аналогичных рассуждений можно найти вы­ ражение для дисперсии

(74)

i < m

Из сравнения выражений (73) и (74) следует, что лишь для тех объектов, которые испытываются в количе­ стве р и q экземпляров, характерно снижение дисперсий тех или иных свойств. Поэтому есть основание, не про­ водя громоздких выкладок, принять, что при сопостав­ лении средних результатов, полученных на р моделях, со средними результатами, полученными на q оригина­ лах, дисперсия среднего арифметического значения ин­

дикатора Ij равна:

i р

1=1 k = l i < m

42

(75)

В практических задачах большой интерес могут пред­ ставлять случаи, когда корреляционная связь величин модели и оригиналов в- различных опытах отсутствует, тогда дисперсия равна:

d‘7'> = 2 j 4 ' w ?m +

f=i fc=i

21 q

(76)

Ы - ш у

Еще более простое выражение получается, если в каж­ дом из опытов величины Хщ распределены одинаково,

ЛЛ

т. е. Xik=Xi, Xik=Xi, D(Xik)=D(Xi), ...; тогда из фор­ мулы (76) можно получить

В тех случаях, когда моделируется математическое ожидание поведения оригинала, т. е. поведение оригина­ лов осредняется по q-+°°, вторая сумма в выражении

(77)равна нулю. Оценки дисперсии по формулам

(75)—(77) являются смещенными при малых значениях

ри q, поэтому целесообразно исправить их, заменив р

иq соответственно на р— 1 и q—1 .

Как показано в § 6 , знание дисперсии индикатора по­ зволяет оценить надежность моделирования Н исходя из выражения (24). Вероятность подобия осредненного поведения q оригиналов с помощью осредненного пове­ дения р моделей определяется выражением, аналогич­ ным выражению (24), но с заменой в нем всех 1$ на сред­

ние арифметические значения 7,- [21], т. е.

Н = Р ( | / / - 1 | < Д, / = 1 , 2 , . . . , т ) =

(S)

где (5) обозначает область | /j—11<А .

Но из аналогии выражений (24) и (76) вытекает пол­ ная аналогия методов вычислений вероятности подобия Н. Следовательно, весь вычислительный аппарат, приве­ денный в § 6 , остается справедливым и для случая моде­ лирования осредненного поведения q оригиналов путем осреднения поведения р моделей. При этом во всех фор­

мулах § 6 нужно лишь заменить X i на X i, I j на I j . Вви­ ду важности этих формул приведем их здесь с учетом того, что в дальнейшем будет представлять интерес лишь

сы определяется по формуле (77) при q -+ -00 (o — V D ) . Коэффициент асимметрии среднего арифметического

значения индикатора равен:

Эксцесс распределения среднего арифметического значения индикатора определяется выражением

44

Можно записать

где Н; определяются либо выражением (79), либо (87), а величины ка, Ьа и аа по-прежнему определяются фор­

a Oj и Ok подсчитываются по формуле (77).

Доказательство справедливости выражений (90), (91) и формул (61) —(64) для данного случая приведе­ но в работе [24],

45

§8. ПЕРЕХОД ОТ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ

кп а р а м е т р а м о р и г и н а л а

Переход от измеренных на модели величин к вели­ чинам оригинала в детерминистической теории подобия выполняется однозначно с помощью константы подобия. При подобии в статистическом смысле определение ма­ тематических ожиданий величин оригинала также вы­ полняется однозначно, если на моделях определено ма­ тематическое ожидание измеряемой величины ( см. гл. 2 ). Поскольку в детерминистической теории рассматрива­ ются неслучайные величины, то оба правила перехода можно обобщенно записать в виде условия

лл

где X'., Х с— математические ожидания величин ориги­

нала Х\ и величин модели Х.\

л

X ir — константа подобия.

При сохранении подобия первого порядка, рассма­ триваемого в этой главе, однозначный переход от изме­ ренных величин модели к соответствующим величинам оригинала в общем случае уже не правомерен. Неодно­ значность оценки интересующих величин оригинала вы­ текает как следствие того, что условие

|/у.—1| < Д, j = 1,2, ..., т

предполагает многозначность значений индикатора по­ добия в незамкнутом интервале 1—Л; 1+Д (см. Вве­ дение) .

Задача, решаемая здесь приближенно, заключается в определении возможного интервала значений величи­ ны X'k при условии, что значение Хк измерено на модели

и известен интервал возможных значений множителя преобразования Хпг при заданной вероятности подобия Н и погрешности А. Решение этой задачи для случая, когда сопоставляются одна реализация-модель и одна реализация-оригинал, было дано в статье [2 0 ] и в даль­ нейшем использовалось в других работах автора. Вывод формул в работе [2 0 ] был сделан при предпосылках, за­ ведомо увеличивавших интервал значений для Xhr. Изла­ гаемый вывод свободен от этих предпосылок.

46

Рассмотрим j-й индикатор подобия:

i= 1

в котором отношение для k-й величины

содержит величину Xk, осредненную_ по результатам из­ мерений на р моделях, и величину X'k, осредненную для q оригиналов, т. е.:

ний для множителя преобразования Хиг- Эта задача не может быть решёна с чисто статистических позиций, по­ скольку в общем случае плотности распределений для величин X'k и Хк неизвестны. Эта задача решается далее

на основе положений, вытекающих из теории подобия. Как было показано в § 5, при заданной погрешности Д в осуществлении условий подобия можно вычислить

некоторую вероятность подобия Н. Это означает, что для каждого индикатора, составленного из случайных зна­ чений Xir, имеется ограничение

Среди множителей преобразования Xir находится и мно­

житель Хкг, с помощью которого найдется величина Xk * ради изучения которой и проводится исследование на модели. Предположим пока, что случайность величины

Xhr, выявляемая в опытах,_ определяется влиянием слу­

47

При моделировании выбор множителя преобразова-

деляется из условия (2 1 ), которое перепишем в виде

(97)

при этом будем предполагать, что индикатор уже пре­ образован так, что показатель степени ащ есть положи­

тельное число.

Построив модели из материалов со случайными свой­ ствами и используя нагрузочно-измерительный комплекс, свойства которого также случайны, вместо произведения

можно получить произведение

в котором ki — некоторые коэффициенты, в общем слу­

чае не равные единице, характеризующие погрешность,

л

с которой реализуются значения Xir в опытах.

В силу этого подобие нарушается и использование кон­

А

станты Xkr для пересчета величин модели в величины оригинала становится неправомерным. Очевидно, что по­ добие между полученной моделью и заданным оригина­ лом может быть установлено лишь при другом множи­ теле преобразования, численное значение которого сле­ дует найти из условия равенства индикатора, составлен­

ного из множителей Хг>, i— 1 , ..., I, т. е. потребовав, чтобы

(98)

i+k

Суммарный эффект всех погрешностей ki при веро­ ятности подобия Н можно найти, поскольку по условию

само Xkr не случайно и лишь произведение'

i+k

приводит к появлению Д= ^ 0 в выражении (96).

48

Учитывая, что из выражения (97) следует

i + k

после несложных преобразований из условия (98) мож­ но найти

i + k

Но при заданной вероятности подобия Н предельные зна­ чения произведения коэффициентов ki в соответствую­ щих степенях не выходят за границы интервала

Следовательно, для множителя преобразования Хкт можно найти также интервальную оценку в виде выра­ жения

(99)

Если подобие, определяемое условием (98), имеет ме­ сто, то, зная измеренное в данном опыте значение Xh, можно найти

случайность и это как-либо может быть учтено при вы­

49