книги из ГПНТБ / Мастаченко, В. Н. Надежность моделирования строительных конструкций монография

ным, либо по средним выборочным данным, т. е. на осно* ве исследования какой-то выборки образцов материала, замеров геометрических параметров и пр. В идеальном случае можно предположить, что известны не просто средние значения, а математические ожидания соответ­ ствующих величин оригинала и модели, которые являют­ ся, как правило, непрерывными случайными величинами.

К сожалению, вероятность того, что в некоторой моде­ ли количественные значения величин, характеризующих ее свойства, будут в точности равны принятым средним или другим значениям, равна нулю. Поэтому в вероят­ ностном смысле подобие всегда имеет приближенный ха­ рактер, и применение правил перехода от измеренных величин к величинам оригинала в форме (6) не совсем правомерно. Однако неопределенность, вносимая при­ ближенным характером подобия, может быть в извест­ ной степени устранена, как это показано ниже.

Пусть для рассматриваемой модели результаты иссле­ дования в линейной области работы для каждого суще­ ственно важного элемента конструкции представлены в виде графиков типа, показанного слева в верхней части рис. \,а. В нижнем левом и верхнем правом квадрантах в виде лучей графически изображены некоторые значе­ ния констант Рг, Р'г и Р"г. Появление этих трех констант

можно проиллюстрировать на следующем примере. При­ нимая для упругой области работы первый индикатор подобия из системы (5) и выбирая, например, Ьг= 1,5; Er= 1, найдем, что для обеспечения подобия можно взять Рт= 2,25. Если же учесть возможные отклонения

Еш от среднего значения Ем, например на ±6% , можно найти Е'т— 0,94 и Е'г =1,06 и соответственно РГ’=2,МЬ\

Р'г =2,385. В общем случае имеют место отклонения от

средних значений и геометрических размеров и нагру­ зок, причем заранее эти отклонения неизвестны. В силу этого значения Р'г и Р"г также заранее неизвестны и слу­

чайны. Отметив факт существования некоторого множе­ ства значений Рг, поставим задачу определить на основе исследования модели усилие в каком-то элементе ориги­ нала Nm от нагрузки jPhi. Для решения этой задачи сна­ чала нужно найти нагрузку на модель PMU для чего ис­ пользуется константа Рт>затем по результатам испытания находится значение усилия в соответствующем элементе модели NMь Переход от этого усилия к усилию в оригина-

11

Рис. 1. Определение интервальной оценки усилия

а — для линейной области работы; б — для не­ линейной области работы и для оценки разру­ шающих усилий

ле Не может быть произведен с помощью константы Nr— = РТ, поскольку в силу случайности Ег (для данного при­ мера) в момент приложения нагрузки Рмi было неизвест­ но, находилось ли это значение в соотношении подобия к нагрузке PHi или к нагрузкам P'hVP"hV Поэтому при пере­

ходе от NMl к Nn1 следует воспользоваться константами N ’r я N"r и с их помощью определить некоторые гранич­

ные значения интервала N’Hl—N’Bl, накрывающего искомое

значение усилия в интересующем элементе. Предположим теперь, что требуется исследовать ра­

боту покрытия в нелинейной области. Допустим, что по результатам эксперимента уже построен график Рм—NM (см. рис. 1,6). Используя те же рассуждения, что и в предыдущем случае, можно построить в соответствии со значениями Рг, Рг’ и Р"г семейство точек сн, с'н, с”, нахо­

дящихся в соотношении подобия точке см — некоторому пределу пропорциональности на диаграмме Рм—NM. Выбрав на этой диаграмме ряд точек, например dMи можно, применяя последовательно константы Рг, Р'г и Р”,

найти положение точек dH, d’a, d’Hи ен, е'л, е". Совокупно­ сти точек О- c H— drH— en, 0 —c'H—d's—e’Hи О—c’K—d'B— e'a

определяют положения трех диаграмм нагрузка — усилие для интересующего элемента оригинала. Существенно важно, что построение этих диаграмм проведено с ис­ пользованием лишь линейных множителей. Из рис. 1,6 следует, что каждому значению Рм2 может быть постав­ лен в линейное соответствие ряд значений Nu2, заключен­ ных в интервале Ы'я2— а значению N u пр— ряд значе­

ний ^н,пРв интервале ЛГпр- Л Г пр. .

Аналогичные построения могут быть проведены и для диаграмм нагрузка — перемещение.

Приведенный пример достаточно наглядно иллюстри­ рует те особенности и возможности, которые появляются при учете случайности констант подобия в анализе ре­ зультатов испытаний моделей на всех стадиях их работы, Нужно лишь подчеркнуть, что применение изложенной методики возможно тогда, когда диаграммы типа Рм— NMимеют качественно устойчивый характер. Выше ука­ зывалось, что случайные отклонения свойств моделей и оригиналов предполагаются малыми в среднем квадра­ тичном. Полагая, что при этом допущении качественный характер поведения конструкций и сооружений будет не­

13

изменным, т. е. будет сохраняться устойчивость поведе­ ния их в смысле последовательности образования и раз­ мещения зон неупругой работы, трещин, пластических шарниров и пр., использование предполагаемых в книге методов позволит с определенной надежностью оценивать

Рис. 2. Последовательность операций при исследованиях на моде­ лях без учета случайности их свойств

количественные характеристики исследуемых механичес­

ких систем.

Определим хотя бы в первом приближении главные особенности, вносимые предлагаемой теорией в практику моделирования. Эти особенности лучше проиллюстриро­ вать на схемах. Обычная последовательность и содержа­ ние операций при моделировании строительных конст­ рукций примерно определяются в соответствии со схемой на рис. 2. Случайность свойств моделей (и оригина­ лов) налагает дополнительные требования к последова-

14

тельности и содержанию операций при постановке экс­ перимента на моделях и позволяет весьма существенно формализовать требования к планированию эксперимен­ та. Все эти особенности иллюстрируются схемой на рис. 3. Часть операций, заключенная в штриховой контур, мо­ жет моделироваться на ЭВМ, что упростит практическое использование формульного аппарата, громоздкого в не­ которых случаях, и облегчит достижение оптимального плана эксперимента на моделях.

Помимо указанных возможностей излагаемая теория позволяет решать ряд задач, которые, вообще говоря; не решаются в рамках детерминистической теории модели­ рования. Эти задачи следующие:

оценка точности результатов, получаемых на моде­

лях; планирование испытаний на моделях при заданной

погрешности и надежности результатов; определение области применимости детерминистичес­

кого моделирования; оценка адекватности расчетных и реальных моделей

строительных конструкций; обоснование требований к надежности и точности ис­

следований на моделях на основе технико-экономических показателей.

Большая часть этих задач в той или иной степени рассматривается в книге.

Глава 1

ПОДОБИЕ ЯВЛЕНИЙ В СТАТИСТИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ

§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Принципы подобия в статистическом смысле, разра­ ботанные А. Г. Назаровым [28], в качестве основных условий подобия требуют:

1)формирования константы подобия как отношения средних арифметических значений соответствующих ве­ личин для моделей и оригиналов, определенных в необ­ ходимых случаях на образцах, взятых в масштабе мо­ дели;

2)тождественности плотностей распределения вели­

16

чин, описывающих свойства модели и оригинала, приве­ денных к безразмерному виду.

Подчеркивая исключительную важность этих положе­ ний, следует отметить чрезвычайную жесткость второго требования. Для того чтобы раскрыть в полной мере суть и характер требований, выдвигаемых условиями подобия в статистическом смысле, целесообразно полу­ чить их в виде определенных количественных соотноше­ ний. Вывод этих соотношений и их анализ с точки зре­ ния теории и практики моделирования даны в следую­ щем параграфе.

При рассмотрении задач будем предполагать, что за­ даны все величины, определяющие рассматриваемое яв­ ление. Все эти величины случайны в силу собственной случайности или погрешностей измерений. Предполага­ ется также, что для каждой из величин существуют (в математическом смысле) все начальные, центральные и смешанные моменты до любого порядка.

§ 2. ВЫВОД УСЛОВИЙ ПОДОБИЯ

Предположим, что состояния модели X и оригинала X' полностью определяются набором величин Х\, Х2, ...,

Хп и Xi, Х2, являющихся случайными. Плотности распределения случайных векторов X и X' обозначим f(X) в f(X').

В теории подобия переход от величин модели к вели­ чинам оригинала осуществляется путем введения кон­ стант подобия, которые в данном случае введем как отно­ шения

где знак Д над символом случайной величины означает, что берется ее математическое ожидание. Знак над сим­ волом константы подобия означает лишь то, что она фор­ мируется как отношение математических ожиданий соот­ ветствующих величин оригинала и модели.

В общем случае на константы подобия накладывают­ ся определенные ограничения, вытекающие из физичес­ кой сущности той или иной задачи. Вопрос об ограниче­ ниях этого вида рассматривается, например, в книге [13]. Здесь же нужно лишь установить те условия, при кото­ рых плотности распределения-):^) и f(X') будут "Нодоб-

ны между собой в статистическом смысле при наличии соотношений (7). Это можно сделать различными путя­ ми, в частности путем перехода к безразмерным коорди­ натам по формулам:

Л ,

=| t'= l . При этом переходе получаются новые векторы

n-мерные плотности распределения которых будут тож­ дественны между собой, т. е.

Отсюда вытекает тождественность соответствующих цен­ тральных моментов

Каждая из величин hi — целое число, которое может из­ меняться от нуля до некоторого фиксированного значе­ ния, но так, чтобы было v ^ 2 .

Соотношение (7) выражает подобие в статистическом смысле между начальными моментами первого порядка для плотностей распределения f(X ) и f{X'). Условимся называть этот вид подобия подобием в статистическом смысле первого порядка.

По аналогии можно ввести понятие о подобии в ста­ тистическом смысле порядка v (v=2, 3, ...). Условия по­ добия второго и более высоких порядков можно выра­ зить через центральные моменты.

По определению центрального . момента вектора | имеем

18

Учитывая преобразование (8) и Соотношение (7), на основе выражения (12) можно записать:

Подставляя выражения (13) и (14) в равенство (10), можно найти, что между центральными моментами слу­ чайных составляющих векторов X и X' должны быть справедливы соотношения

Из этого равенства непосредственно вытекает, что для обеспечения подобия в статистическом смысле каждый

причем сумма показателей hi должна быть всегда равна: hi-\-h2-\-...-{-hn= v, v= 2, 3, ..., N. Здесь v характеризует порядок центрального смешанного момента, а число N определяет набор центральных моментов, при котором обеспечивается подобие в статистическом смысле. В ча­ стном случае для нормального распределения, которое полностью определяется математическими ожиданиями

Ш \ и корреляционной матрицей ||/С*3-||, имеем v = N = 2 . Это означает, что полное подобие в статистическом смыс­ ле в данном случае требует удержания моментов лишь двух видов — первых начальных и вторых центральных (в том числе и смешанных). Требование, определяемое выражением (15), вытекает лишь из статистических ас­