книги из ГПНТБ / Мастаченко, В. Н. Надежность моделирования строительных конструкций монография
.pdfиндикаторов подобия. Корреляция индикаторов появля ется как следствие стохастической связи между ними, обусловленной, например, тем, что разные индикаторы могут содержать одну и ту же случайную величину.
В обоих случаях приходится вводить |
допущения о |
||
характере распределения |
подынтегральных |
функций, |
|
но и для этого нужно знать числовые |
характеристики |
||
плотности распределения |
индикатора I j ( j = 1, |
2, ..., т). |
|
Числовые характеристики плотности распределения.
Для вычисления числовых характеристик разложим I, в ряд Тэйлора и ограничимся первым нелинейным чле
ном |
[8]. |
Предварительно |
выражение (22) запишем в |
||||||
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , = П х 1‘ 1, |
/ = |
1 ,2 ......... т, |
|
(32) |
|||
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
|
|
где |
Х ( (i = 1, 2,..., ()—величины, |
относящиеся к |
мо |
||||||
|
|
|
|
дели; |
|
относящиеся |
к |
||
|
X l (i = l -f 1, ..., 2/) — величины, |
||||||||
при a ij= —ai+['i i= 1, |
|
оригиналу; |
|
|
|
||||
2, ..., 1. |
|
|
|
|
|
||||
Тогда вместо (32) |
получим |
|
|
|
|
|
|||
|
V |
'/+ ! $ < * + т |
s ^ |
**+х /Ль.* |
** |
(33) |
|||
|
|
||||||||
|
|
1=1 |
|
1=1 |
|
|
i<k |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
Х = |
Х - Х , |
|
|
|
|
|
А |
/ Л |
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
/?п и / " . — первая и вторые производные от /3- по |
||||||||
|
|
математическим |
ожиданиям |
величин |
|||||
|
|
£ и А |
((, k = l , |
2, |
..., 2 /). |
|
|
||
Учитывая выражение (32), можно найти, что:
л
А |
а / , |
аи |
Л |
'/■ t _ Л |
“ А |
7/ : |
|
|
а х . |
х . |
|
|
t |
1 |
|
Л |
а2/, |
а . ; (а., — 1) Л |
|
!1 ,и |
1 |
i i \ i i |
>г |
Л |
Л |
г |
|
|
ах? |
х? |
|
(34)
(35)
30
Для случая, когда все Xi некоррелированы, имеем |
|||
21 |
2/ |
|
|
|
aU |
^ i i - X) k 2 |
■ (36) |
|
|
|
|
1=1 A i |
i =i |
'ч |
|
Применяя операцию |
математического ожидания к |
||
выражению (36), найдем |
|
|
|
|
21 |
|
|
м ['/] = Ч [‘ + Y s aii (*ii ~ 1) |
(*•)]. |
(37) |
|
|
i = l |
|
|
y D ( X . ) |
|
вариации величи- |
|
где w ( Xi ) =--------— — коэффициент |
|||
Xt |
ны Х{-, |
|
|
D (XC)— дисперсия величины Х{. |
равна: |
||
Можно найти также, |
что дисперсия /3- по (36) |
||
21 |
21 |
|
|
D<'<>='/{Ц4 "гл)+т 2“«(“«-')’X |
|
||
£=1 |
£=1 |
|
|
где р з ^ О и р Д Х ,)— третий |
и четвертый централь |
||
|
ный |
моменты |
распределения |
Линеаризация |
случайной величины Xt. |
||
представления Д- позволяет сущест |
|||
венно уменьшить |
объем статистической |
информации о |
|
свойствах модели. Действительно, если отбросить нели
нейный член в разложении |
|
(36), |
то получатся |
следую |
щие выражения: |
|
|
|
|
для математического ожидания |
|
|||
л |
= |
1; |
|
(39) |
'/ |
|
|||
|
|
|
|
|
для дисперсии |
|
|
|
|
Dili) I |
|
а ^ |
( Х { ) . |
(40) |
1 = 1 |
|
|
|
|
31
Выражение (39) точно соответствует выражению (21), а при вычислении дисперсии по формуле (40) не требуется знать центральные моменты рз (Xi) и рц(Xi).
Если сопоставить результаты вычислений по форму лам (39) и (40) с соответствующими результатами, по лучаемыми по формулам (37) и (38), то можно найти, что при коэффициентах вариации свойств модели и ори гинала, равных по прочности материала 0,10—0,13, по нагрузкам 0,03—0,10, по геометрическим размерам 0,03, различие в результатах составит не более 0,5—4% [24]. Если же учесть лишь вариацию свойств модели (при моделировании математического ожидания поведения оригинала), то погрешность еще меньше. Сопоставление оценок вероятности Н показывает, что различие в них
составляет в худших случаях |
1 —2 %; это говорит о том, |
|
что в первом приближении |
линеаризация |
выражения |
для / j допустима*. |
|
представле |
При использовании линеаризированного |
||
ния для Ij можно учесть и корреляцию величин X, меж ду собой. В этом случае дисперсия Ij равна:
|
D (7/) = 2 а], и? (X.) + |
2 a.j akj г ,ftw (X .) w (Xft) , |
(41) |
|
|
i=I |
i<k |
|
|
где |
— коэффициент корреляции величин X{ и Xu. |
|
||
|
В дальнейшем могут потребоваться |
коэффициенты |
||
асимметрии и эксцесса Sk |
(Ij) и Ex(Ij) для распределе |
|||
ния fj (Ij). |
что для случая |
независимых |
||
|
Можно показать [8 ], |
|||
величин Xi и с учетом структуры индикатора (32) |
фор |
|||
мула для коэффициента асимметрии имеет вид: |
|
|||
|
[О (41 |
|
|
(42) |
|
|
|
|
|
|
Е х ( ! j ) |
М 7/) |
|
(43) |
|
[°(7/)]s |
|
||
|
|
|
||
при |
|
|
||
•и |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Н (Ч) = S v * W + 6 И / « 2 (*х) 2 |
“£(*<)+ |
|
|
* См. также В. Н. Мастаченко «К вопросу вычисления вероятно сти подобия при моделировании строительных конструкций». Труды МИИТ, вып. 427, 1973.
32
|
|
|
•и |
|
|
|
+ 4 |
а)2( ^ |
) 2 |
^ да2(х ‘) + |
|
|
|
|
1=3 |
|
|
|
+ |
...........................+ |
|
||
+ 4 |
_2i/tw2(X2/_2) |
•и |
|
||
V a]jW2(Х.)+ |
|
||||
|
|
|
|
1=4,1- 1 |
|
+ |
a2i—l, / ® 2 (-^2/—l) а2//ш^(Лг/)| • |
(44) |
|||
Формулы (42) — (44) |
справедливы лишь для некор |
||||
релированных и независимых величин Л,-.
Вычисление вероятности подобия при некоррелиро ванных индикаторах. В этом случае можно ограничить ся вычислением вероятности подобия для одного инди катора. Вычисления могут производиться различными способами. Рассмотрим два приближенных метода: ме тод, основанный на разложении неизвестной плотности распределения f(I) в ряд Грама — Шарлье (типа А), и метод, базирующийся на допущении о логарифмически нормальном распределении f(I).
Метод вычисления с использованием разложения f(I) в ряд Грама — Шарлье. Вводится допущение, что неизвестная плотность распределения fj(Ij) может быть
с достаточной точностью представлена конечным |
чис |
лом членов ряда Грама — Шарлье типа А [33]. |
Этот |
ряд менее, чем ряды других типов, чувствителен к асим метрии распределения при учете конечного числа чле нов распределения. Чувствительность к асимметрии за ключается в появлении неунимодальных функций, на пример, при коэффициенте асимметрии S&(/j) >0,84 появляется неунимодальность [ 1 2 ].
Ряд Грама — Шарлье не свободен от некоторых дру гих недостатков, в частности сумма конечного числа членов ряда может привести к отрицательным значени ям частот, в особенности «на хвостах» распределений; далее, сумма k членов может давать худшее приближе ние, чем сумма (k—1) членов. Так как в дальнейшем
нас будут интересовать лишь частоты в зоне математи-
л
ческого ожидания / j, то можно не опасаться появления отрицательных частот «на хвостах» распределения.
3—72 |
33 |
Вероятность подобия по /-му индикатору определя ется формулой (30), которую перепишем в виде
1+д
Н/ = Р ( | / / - И < A )= [ f U j W i .
1 -Д
Вводя новую переменную'
О' = (// — !)/<*/.
где су- — среднее квадратическое отклонение величи ны Ij, и учитывая, что введенное линейное преобразова ние не приводит к изменению характера плотности рас пределения f(Ij), а лишь смещает центр распределения по оси абсцисс на единицу и изменяет масштабы на осях координат обратно пропорционально друг другу, можно записать
Hj = P(\ij\ |
<6j ) |
= j f{ii)dii, |
(45) |
|
|
—6У |
|
где |
6/ = |
(^®) |
|
Примем аналитическое |
представление |
функции f(i) |
|
в виде ряда Грама — Шарлье [33] |
|
||
1 |
2 |
Спн п (0 |
|
/ ( 0 = —тгг е |
|
|
|
~V2 я
п=з
где Сп— коэффициенты, которые при п— 3, 4 характе ризуют соответственно асимметрию и экс цесс плотности распределения /(7);
Нп(г)— полиномы Эрмита.
Здесь и далее индекс / при соответствующих величи нах будет опущен для краткости записи, если это не бу дет вызывать недоразумений.
Коэффициенты Сп и полиномы для случая, когда п = 3, 4, имеют вид:
С |
с - 1 |
(м /) |
с 1 - £*(/) |
|
] / з Г 03 |
V 4\ ' 04 |
' |
V 4 \ |
|
Я3(() = |
J3 —3i; Я4(!) = |
t* — 6/2 + |
3. |
|
Подставляя f(i) в (45), можно получить |
||||
|
•50 |
б |
i2 |
|
Н = 2Ф (б) + |
1 |
|
2 |
Hn (i)di, |
|
|
е |
||
V 2л
я=3
34
где
б
|
Л г Г е |
2 |
(47) |
|
|
d i . |
|||
Ф(8) = V 2п J |
|
|
||
Подставляя разложение |
|
|
|
|
£* |
оо |
i2(fc_1) (_ l) ^ - 1 |
|
|
2 |
_ ^ |
|
||
|
Z j |
2k~~l(k — 1 )! |
|
|
во второе слагаемое |
выражения для Н и замечая, |
что |
||
члены суммы, содержащие интегралы с нечетными по линомами Эрмита, при интегрировании в пределах от
—б до + 6 |
равны нулю, выражение (49) можно записать |
||
в виде |
|
+е |
t2 |
|
_ 1 __ |
||
Н = |
|
2 Hn(i)di. |
|
2Ф (б) + |
|
||
|
V 2л =Л R |
-б |
|
|
гi |
|
|
Если ограничиться одним |
членом |
суммы при п = 4, |
|
то окончательная формула для вычисления вероятности подобия Hj при учете моментов /(/3-) до четвертого по рядка включительно имеет вид
|
Hi = 2 / ф (б/) + |
Щ |
& |
г V (6,)1 , |
(48) |
|
|
i\ |
|
V48л |
j |
|
|
где Ex(Ij) |
определяется в соответствии с формулой (43), |
|||||
а введенная функция Чг(б) равна: |
|
|
||||
X I |
(—l)*-1 |
/ |
62ft+3 |
62fe+1 |
б2*-1 |
|
¥ (б) = > |
----------------- ------------ 6----------+ |
3 --------- |
||||
jLJ |
2k - \(k — \ )! |
\ |
2fe + |
3 |
2 А + 1 |
2k — 1 |
k = i |
|
|
|
|
|
|
С учетом выражения |
(48) |
вероятность |
подобия по |
|||
всей системе т индикаторов определяется в соответствии
с (31). Причем в частном, но важном |
случае, |
когда |
|
Ех(1}) = О, |
т |
|
|
|
|
|
|
Н = 2 т П ф (е0- |
|
(49) |
|
/= 1 |
|
|
|
Эксцесс Ех(1])= 0 всегда, |
когда при использовании ли- |
||
неаризации принимается, |
л |
o(Xj)}, |
i = l , |
что Xi £ M{Xi, |
|||
2 , ..., 21. |
|
|
|
3* |
35 |
Метод вычисления при использовании допущения о
логнормальном распределении f(I). Случайная величина
л
типа Ij учитывает отклонения Х{ от X, в виде произведе ния (32), поэтому для распределения fj(Ij) может ока заться подходящим логарифмически нормальный закон распределения.
Действительно,
•и и
« = lg / / = lg П X afU = £ olt lg X , . |
(50) |
<=i i=l
Если плотности распределений lgX ,(i'= 1,2, ...,2/) име ют более или менее одинаковый характер, то при доста точно большом числе 21 величина и будет распределена по нормальному закону, a I j — по логнормальному.
Допустим, что числовые характеристики плотности распределения fj(Ij) известны. При этих условиях ста новится возможным оценить вероятность Hj, используя формулы и таблицы, приведенные в работе [41]. В са мом деле, по [41] можно найти, что
//(//)= |
0,4343 |
_}___ |
i g / f - l g / o |
(51) |
а«/1] |
ехр |
K j |
||
|
У2л |
|
||
где при /j = l |
(см. [41]) |
|
|
|
lg/0 = -1.1513о^ .
Величина ouj может быть определена на основе ре шения уравнения
w2 (Ij) = ехр |
И/ |
1 |
, |
(52) |
|
0,1886 |
|||||
|
|
|
|
где
w2(Ij) = D(lj)
или найдено по табл. 5.4 в [41]. Следовательно, все па раметры, входящие в (58), определены.
Учитывая (51), можно окончательно получить
Н /- Ф * Щ Ц : А > Т * М _ ф . |
/ |
41(1 - A ) - jg M |
, (53) |
||
\ |
auj |
I |
\ |
Ои/ |
/ |
функции Ф* (...) табулированы и даны, например, в [8 , 41, 44]; Ф*(...) =Ф (...) +0,5.
36
Приведенный способ оценки Hj обладает некоторыми преимуществами по сравнению с предыдущим, посколь ку логнормальное распределение всегда унимодально и вопрос об асимметрии здесь не играет роли. Допущение о логарифмически нормальном законе может быть лег ко оправдано, если число 21 велико; при малом 21 до пущение будет оправдано, если все fj(lgXj) будут близки к нормальному закону. В необходимых случаях это долж но проверяться.
Вычисление вероятности подобия при попарно кор релированных индикаторах. Рассматривается случай,
когда каждый из индикаторов подобия коррелирован не более чем с одним другим индикатором. Следовательно, подынтегральное выражение в (24) может быть пред ставлено в виде
I1,2......т( A , 4 ...... |
, т) — 4 , 2 ( 4 , 4 ^ 3 , 4 ( 4 , U )-fh -l,k ( 4 - 1 , ^k> ~fd-1т)' |
|
(54) |
Таким образом, совместная плотность распределения представляется как произведение нескольких двумерных и, возможно, одномерных плотностей распределения. Случай одномерной плотности был рассмотрен в преды дущем параграфе. Здесь будет рассмотрено вычисление интеграла
и/* = р < 1 ) = Я tlbVbWjdlk- (55)
А
1 / - / К Д
Для решения этой задачи вводятся допущения:
1 ) совместная плотность распределения величин 4 и Ik подчинена двумерному нормальному закону
4*('/Л> = |
ехр — |
1 |
X |
2 ( 1 — г2) |
|||
2 n V D j D k(l - |
г2) |
|
|
х {1) ~ 2гЧ 4 + ' |
|
(56) |
|
где i определяются в соответствии с формулами:
. / / - 1 . |
4 - 1 |
(57) |
Ч = ------ ; ik = ------- ; |
||
Oi |
ok |
|
г = к (ii,ik)/opk; |
(58) |
|
K/fc = *(//,/*) = м [//,/*]; |
|
|
37
л
1 = 1— /;
2 ) функции Ij и /й могут быть линеаризованы в ок рестности их математических ожиданий.
Учитывая лишь два члена в разложении (36) и при нимая во внимание равенство (39), можно записать
Kh |
|
|
Q-ik о |
- [ Ш |
М Ё |
— Xi |
|
|
X i |
||
|
f=l |
*=1 |
|
Далее поступим следующим образом. Каждую сум му в фигурных скобках полученного выражения можно представить как трехчлен из первого и второго слагае мых суммы плюс сумма оставшихся членов. Перемно жив оба трехчлена и проведя операцию определения ма тематического ожидания при условии, что все величины Xi с разными индексами i не коррелированы, можно найти
Кп, = м |
Xt |
|
и окончательно |
и |
|
Kjk = |
|
|
S a..aikw2(Xi) |
(59) |
Подставив (59) в формулу (58) и определив по фор муле (41) Oj и Ok(о— yrD(/)), можно вычислить г&.
Вычисление вероятности (55) можно осуществить по таблицам [38] как вычисление вероятности попадания в четырехугольник на плоскости, т. е.
н = 1— 2 [T(ha ,ba ) - T ( h a ,aa )Y,
а=1
в данном случае можно учесть фактор симметрии значе ний интегралов Т при а —3,4 интегралам Т при а=1,2, поэтому
2 |
|
Н = 1 — 2 1 lT(ha ,ba ) - T ( h a .aa )], |
(60) |
а= 1
в этих выражениях Т (ha, ba) и Т (ha, йа ) — табулиро
38
ванные в [38] функции, определяемые в зависимости от аргументов ha и Ьа (ай) .
Применительно к данным условиям эти аргументы записываются в виде:
— D<xК‘/,ос+ 1 |
|
*'/я)8~Ь (‘*,0 + 1 |
‘to)2] |
; |
(61) |
|||
аа ~ |
а + 1 — |
‘/а ) |
‘t o ( ‘ft,a-)-l |
‘to )] |
^а |
> |
(62) |
|
[ ‘/,а + 1 (‘/,а + 1 |
‘/а ) -)- ‘ft,a + l(lA ,a+l |
‘t o )] |
> |
(63) |
||||
|
Ах = 1‘/сс ‘й.а+ 1 |
‘/,а+ 1 *tol* |
|
|
(64) |
|||
‘/а ' |
1 |
|
V - |
1 |
^ а - 1 |
|
|
(65) |
2 У 1 Hr/* |
ст/ |
|
ок |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
■•to • |
— 1 |
|
V - |
1 |
Ika - l |
|
(66) |
|
2 / l - r / fe |
Oi |
|
Ok |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
При принятых условиях число коррелированных ин дикаторов всегда четное, обозначим его k. Тогда из об щего числа индикаторов может оказаться m—k некор релированных индикаторов. Учитывая это и проводя интегрирование выражения (24), можно найти, что окон чательное значение вероятности подобия при заданном значении А будет определяться выражением
fe/2 |
2 |
m—k |
Н = П {1 - |
2 2 [Т (ha , Ьа ) - Т (А* , |
)] } П 2т - * Ф (6 ,) . (67) |
k=1 . |
<х= 1 |
/= 1 |
Здесь индекс k, стоящий у фигурной скобки, должен пониматься как относящийся к каждому символу внут ри скобок. При использовании выражений (60) —(67) необходимо учитывать рекомендации, приведенные в [38]. В частности, нумерация а точек (цЛъ) должна вы бираться таким образом, чтобы при возрастании а на правление обхода относительно начала координат осей ij, ik было по часовой стрелке. Этому удовлетворяет выбор значений //,а и ha следующего вида: a = l ; / 3i= l+A;
7fti = 1+ А ; а = 2 ;./з2= 1— А; / й2==1+ А .
Вопросы вычисления вероятности подобия в случае трехмерных и более плотностей распределения здесь не рассматриваются из-за недостатка места.
39