книги из ГПНТБ / Мастаченко, В. Н. Надежность моделирования строительных конструкций монография

Измерение же в опыте некоторого значения Хи на одной модели или осреднение результатов испытания р

моделей и получение значения X& не позволяет выска­ зать суждение об экстремальности этого значения. По­ этому, принимая это значение последовательно равным

Xk, мин и Xh, макс, неизбежно получим по крайней мере од-

но граничное значение из (101) преувеличенным. По ме­ ре снижения фактора случайности (за счет уменьшения коэффициентов вариации или увеличения числа испы-

ТЗНИЙ) Xhr~^~Xhr, Xh-^-Xk И Xh, макс, Xh, мин будут стремить­ ся к истинным границам значений Х'к.

Графическая интерпретация и иллюстрация введен­ ных правил перехода приведены на рис. 4 и 5 .

50

л

На рис. 4,а линия 0Хкг отображает множитель пре-

л

образования Xkr при p = q = 1; f(Xk) и f(X'k) показыва­ ют некоторые предполагаемые плотности распределения

(1 0 2 ) для некоторых максимальных и минимальных при заданной вероятности значений Хъ и По мере увели­

чения числа моделей плотности распределения выбороч­ ного среднего Хк вырождаются в луч. Угол между ли­

ниями OXhr, макс и OXhr, мин уменьшается (рис. 4,б,в). Но если учитывается случайность оригинала, то этот угол никогда не будет равен нулю. В пределе, при р->-оо, можно лишь добиться того, чтобы значения, определяе­ мые по формулам (1 0 1 ), совпали с «истинными» макси­ мальными и минимальными значениями величины X'k .

Случай моделирования математического ожидания поведения оригинала, т. е. моделирование при <7->-°о, представлен на рис. 5. Использование формул (101) да-

ет интервал, накрывающий Х'к с вероятностью Н. По ме­

ре увеличения числа моделей (рис. 5,6) интервал су­

жается и в пределе (рис. 5, в) определяется точечное

л

значение Хк.

§ 9. ОБ ОЦЕНКЕ ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ

При моделировании математического ожидания по­ ведения оригинала практически можно говорить о таких условиях моделирования, при которых возможна лишь интервальная оценка конечных результатов, как показа­ но на рис. 5, а, б. Поэтому необходима оценка точности результатов. Легко видеть, что, приняв эксперименталь­

но найденное значение Хк в качестве «истинного» значе-

л

ния (т. е. в качестве математического ожидания Хк), можно получить относительную ошибку в оценке мате-

Л /

матического ожидания X ’k оригинала в интервале

51

Выход погрешностей за эти границы связан с ве­

роятностью 1—Н.

При исследовании моделей реальных конструкций и сооружений знание того фактора, что лишь интервал

Х'к мин —Х к’ макс накрывает искомое значение Х к’, при­ водит к заключению, что в зависимости от рода задачи

Знание относительной погрешности результатов мо­ делирования и относительной оценки возможного запа­ са представляется весьма важным и имеет практическую ценность. Кроме того, эти сведения могут оказаться весь­ ма полезными с точки зрения решения задачи о плани­ ровании эксперимента на моделях, которая рассматри­ вается в следующей главе.

Глава 3

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА НА МОДЕЛЯХ

§10. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

ОТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКОМ ОБОСНОВАНИИ ТРЕБУЕМОЙ ТОЧНОСТИ

РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ

Под планированием эксперимента на моделях в даль­ нейшем понимаются выбор и обоснование требуемой точности и надежности результатов эксперимента и, ис­

52

ходя из этого, определение необходимого числа моде­ лей и образцов материала. Наиболее сложным вопро­ сом является обоснование предельной погрешности, которую можно допустить в конечных результатах иссле­ дования. Такое обоснование может быть дано лишь на основе технико-экономического анализа возможного влияния ошибок эксперимента на затраты средств и вре­ мени при проектировании, изготовлении, строительстве и эксплуатации конструкций, поведение которых предпо­ лагается изучить на моделях. В некоторых случаях вы­ бор предельной погрешности конечных результатов мо­ жет обосновываться другими соображениями. В общем случае оценка влияния ошибок эксперимента, по-види­ мому, невозможна без привлечения вероятностных обо­ снований. Однако, учитывая, что в данном случае рас­ сматривается лишь возможная ошибка в оценке мате­ матического ожидания конструкции, и, следовательно, вероятность превышения предельной погрешности не яв­ ляется характеристикой отказа конструкции, можно ог­ раничиться требованием, чтобы предельная погрешность определялась при некотором заданном значении вероят­ ности подобия. Например, для не слишком ответствен­ ных заключений можно было бы ограничиться пока на­ значением вероятности Н= 0,95—0,99. Для более ответ­ ственных решений эти значения, видимо, следует повы­ сить.

При рассмотрении вопроса об экономическом обосно­ вании предельной погрешности предполагается, что цель исследования сформулирована, требуемое значение ве­ роятности подобия задано, индикаторы подобия для ис­ следуемого явления определены, математические ожи­ дания (или их оценки в виде средних выборочных) для тех величин оригинала и модели, которые*определяют математические ожидания (или их оценки) множителей преобразования, входящих в заданную систему индика­ торов подобия, известны. Кроме того, предполагается, что имеется возможность теми или иными способами оп­ ределить стоимость моделируемой конструкции.

Как было указано в § 9, при выборе одной оценки из интервала значений для математического ожидания ис­ следуемой величины возможно относительное завышение или занижение ее, определяемое по формулам (104) и (105) (по модулю).

Обозначим далее поправку к измеренному на одной

53

модели значению исследуемой величины символом А '.

Введение этой поправки означает возможное увеличение стоимости конструкции на аА\ 1 0 0 %, где a — коэффици­

ент, связывающий принятый запас со стоимостью. Этот коэффициент устанавливается на основе подсчета стои­ мости конструкции при учете и без учета запаса, т. е.

зультатам исследования с учетом поправок; С — то же, но без учета поправок.

В общем случае коэффициент а является функцией величины Aj.

Предположим, что стоимость исследования одной мо­ дели (стоимость изготовления и испытания) может быть подсчитана и выражена через стоимость самой конст­ рукции как |3-100%, где р — доля стоимости конструк­ ции. Можно принять, что стоимость испытания р моделей равна рр -1 0 0 %.

При увеличении числа испытываемых моделей от 1 до р происходит снижение предельной погрешности ко­ нечных результатов в некоторое число у раз, равное:

К

где Ар— погрешность конечных результатов исследова­ ния при условии, что испытано р моделей.

Можно поставить задачу определения такого числа моделей р, при котором стоимость их изготовления, ис­ пытания и стоимость запаса с учетом поправки А'р будет

меньше, например, на (1 —£) 1 0 0 %, 0 < | < 1 , чем стои­ мость изготовления, испытания одной модели и запаса с

р|,+Т - 7 = Нр+~ " "

нетрудно найти указанное число моделей

54

Для определения коэффициента у Нужно провести вы­ числения по формулам, приведенным в § 7. При задан­ ном значении Н с увеличением числа моделей р погреш­ ность подобия А, от которой зависит А'р (см. формулы

(104) и (105), будет уменьшаться. Определение А в боль­ шинстве случаев производится путем подбора.

Очевидно, что формула (106) не дает оптимального числа моделей. Проф. А. Р. Ржаницын предложил опре­ делять оптимальное число моделей исходя из минимума суммарных затрат на исследование р моделей и стоимо­ сти запаса А ’. Применительно к введенным обозначени­

ям указанная стоимость будет определяться выражением

(107)

Для определения минимума суммарной стоимости требуется выразить в явной форме зависимость а и у от числа испытаний р. В общем случае это весьма затрудни­ тельно, но при использовании численных методов реше­ ния экстремальных задач вполне возможно определить р исходя из минимума выражения (107).

При некоторых простейших предположениях о виде функций а и у в зависимости от аргумента р можно по­ лучить формулу для вычисления р на основе минимиза­ ции выражения (107). Предположим, что стоимость кон­ струкции с учетом запаса может быть выражена зависи­ мостью

где АС— приращение стоимости за счет запаса при испытании лишь одной модели.

Далее, пусть коэффициент

здесь показатель степени v должен быть подобран так, чтобы можно было аппроксимировать график функции y=A[jA'p , получаемый на основе подсчетов.

Учитывая принятое выражение для С', легко найти,

что

ДС 1 С ' р»

55

Подставляя найденные значения а и у в выражение (107) и беря производную по аргументу р, можно найти

Возможность применения формулы (108) для прак­ тических расчетов оптимального числа моделей сущест­

которого частного случая вид зависимости между р и лк, определенных по формуле (108), показан на рйс. 6 .

Изложенные соображения иллюстрируют главным образом принципиальную возможность решения задачи о выборе оптимального числа моделей на основе техни­ ко-экономических факторов.

§11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА МОДЕЛЕЙ

ИЧИСЛА ОБРАЗЦОВ ПРИ НЕКОРРЕЛИРОВАННЫХ

ИНДИКАТОРАХ ПОДОБИЯ

В случаях, когда подсчеты по формулам (106) или (108) почему-либо затруднительны или невозможны, приходится на основе практических соображений решать вопрос и о величине А. Наиболее простой путь — задать предельную относительную ошибку для интересующей величины и затем на основе формул (103) установить погрешность подобия Д.

Если требуемый уровень вероятности Н и погрешно­ сти А заданы, то определение числа моделей при моде­ лировании математического ожидания оригинала можно выполнить следующим образом.

56

Обозначим требуемую вероятность подобия [Н*], а предельную погрешность подобия [А]. Для случая не­ коррелированных индикаторов подобия, пользуясь фор­

подобия в каждом конкретном случае определена, по­ этому известны все a,j. Приравнивая выражение (109) величине [Н*] и полагая Д =[Д ], подбором можно ре­ шить это уравнение относительно р. При этом становит­ ся известной и требуемая надежность моделирования Hj по каждому /-му индикатору.

Число моделей р определено из уравнения (109) в предположении известных и неслучайных коэффициен­ тов вариаций для величин модели w (Хш). Но эти ко­ эффициенты определяются на основе некоторых выбо­ рок и в силу этого случайны. Очевидно, что нужно уста­ новить объем выборок для определения w (Х,м) так, чтобы гарантировать с определенной точностью и дове­ рительной вероятностью принятые значения [Н*] и [А].

До сих пор все рассуждения о вероятности подобия базировались на предположении, что статистические ха­ рактеристики материалов, геометрии и нагрузок модели не случайны. Ввиду того что объем выборок при прове­ дении конкретного исследования вряд ли может быть ве­ лик, оценки статистических свойств модели будут также случайными. В силу этого и оценка вероятности подобия будет в определенной степени случайной.

Значения средних квадратических отклонений инди­ каторов подобия, определенные на основе выборочных коэффициентов вариации величин, входящих в эти ин­ дикаторы, будут далее обозначаться символом Sj вместо символа Oj. Формулы для вычислений значений Sj оста­ ются такими же, как и для oj. Это дает возможность не переписывать заново все выражения для определения вероятности подобия, а пользоваться уже имеющимися выражениями, в которых символ в] будет заменяться по

СМЫСЛУ СИМВОЛОМ Sj ИЛИ Sj.

Учитывая возможность снижения надежности моде­ лирования вследствие случайности значений w (Хгм), целесообразно сразу принять для расчетов несколько за­

в оценке значения [Н*], которая не будет превзойдена

свероятностью а*. Предположим, что эта погрешность выбрана или задана. Если общая надежность моделиро­ вания определяется как произведение

т

н = П н7,

/■ =1

то нетрудно установить допускаемую относительную по­ грешность

. Л !Н1

А[Н] - [H*J

и затем по известным формулам для оценки относитель­ ной погрешности произведения связать погрешность ^н] с погрешностями Я[Н.| . Например, при т = 2 имеем

ит.д.

В этих формулах и далее квадратные скобки у индек­ сов опущены для упрощения записи.

Уравнения (ПО) и (111) не дают возможности одно­ значно определить каждую из относительных погрешно­

вия. Распределение погрешностей целесообразно произ­ водить 'с учетом величины дисперсии индикатора: чем

формуле Лн;-=ЯнуН; и затем по таблицам для Ф(6 у) определить значение 8 '- при нижней оценке надежности н;=н. ( 1 —Ян,-)- Таким образом становятся известны­ ми два значения 6 у : одно соответствует величине Н у , а

58

второе — б'- — значению Н'.. Следовательно, приемлемая

относительная погрешность величины 6j может' быть равна:

Учитывая выражение (80) и принимая во внимание, что Д= const, можно найти предельное значение относи­ тельной погрешности выборочного среднего квадратичес­

кого отклонения s(lj), обозначаемое далее символом Я- [для краткости принято s=s(T)]:

всех Xi.

С учетом теорем о предельных погрешностях из форму­ лы (114) можно получить

При числе моделей р > 1 предельная погрешность для оценки коэффициента вариации w (Xi) равна:

( 116)

Точное значение коэффициента вариации для величи­ ны Х{ можно найти по формуле