книги из ГПНТБ / Мастаченко, В. Н. Надежность моделирования строительных конструкций монография

сти для оценки а требуется значительно больше образ­ цов. Оптимальное решение будет таким, при котором число образцов будет одним и тем же как для оценки генерального среднего р, так и генерального среднего квадратического отклонения а. Чтобы обеспечить это ус-

Рис. 7. Номограмма для решения уравнения %= \'-\-'к"+'к'Х"

Приходится решать эту задачу методом подбора; при не­ котором навыке этот подбор занимает не очень много

времени.

Наибольшее значение коэффициента вариации изу­ чаемого свойства Xi может быть приближенно опреде­ лено по формуле

61

где ‘kw(Xi) определяется по формуле (117), a ifl(A'j)

выборочное значение.

С целью уменьшения несколько утомительной рабо­ ты по подбору Ян. построена номограмма (рис. 7) для

решения этой задачи.

Рис. 8. Графики для определения объема выбор­ ки гс <35 в зависимости от относительной погреш­ ности %Ю(х) при известном выборочном значении w(X) и заданном значении а*

62

Во многих практических случаях число испытывае­ мых образцов можно сразу определять по графикам, представленным на рис. 8 и 9. Для использования графи­ ка необходимо найти значение относительной погрешно­ сти Kw(x) по формуле (116) и, приняв а*, найти число об­ разцов п.

Изложенный путь решения задачи может оказаться удобным лишь для случая некоррелированных индикато­ ров и при отсутствии информации о коэффициентах ва­ риации свойств материала и геометрии модели, а также испытательных нагрузок.

§ 12. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИИ ПРИ КОРРЕЛИРОВАННЫХ ИНДИКАТОРАХ ПОДОБИЯ

В общем случае, когда индикаторы коррелированы и когда предварительная статистическая информация о свойствах модели должна быть получена на основе экс­ перимента, можно рекомендовать следующий путь.

Прежде всего, исходя из вероятности подобия Н, нуж­ но выбрать доверительную вероятность а*« Н. Затем, используя таблицы [41] в зависимости от предполагае­ мого типа распределения исследуемого свойства Х{, нуж-

63

но найти число испытаний п для каждой из величин мо­ дели, входящей в индикаторы подобия, используя хотя бы априорные сведения о коэффициенте вариации w(X). В частности, при допущении о нормальности распреде­ ления изучаемого свойства для оценки объема предвари­ тельных испытаний образцов материалов, замеров гео­ метрических размеров и пр. может быть использована формула

значения не должна быть больше предельной погрешно­ сти конечного результата и не более 0,05. Определив от­ ношение в левой части равенства (122), по табл. 12.2 из книги [41] при заданной доверительной вероятности а* устанавливается объем предварительных испытаний п.

Если найдено и проведено п испытаний и при этом выборочное значение коэффициента вариации окажет­ ся большим, чем принятое при использовании формулы (122), то необходимо найти новое число испытаний и продолжить испытания. Этот процесс повторяется до тех пор, пока выборочные значения коэффициентов ва­ риации и фактически испытанное число образцов не совпадут с определяемыми по формуле (122).

Если же на основе первого подсчета числа п прове­ дены испытания и w(X) оказались меньше принятого, то испытания заканчиваются.

Далее операции выполняются в такой последователь­ ности:

1) в соответствии с формулами (121), (116), (118) и

(119) определяются при доверительной вероятности а * « Н коэффициенты вариации w'(X) с учетом принято­ го для предварительной оценки числа испытаний для наиболее изменчивой величины X (или двух-трех наибо­ лее изменчивых величин). Однако в любом случае эти коэффициенты не должны превышать коэффициента вариации соответствующей величины определенного для генеральной совокупности (если он известен);

2) с использованием коэффициентов вариации w'(X) для всех величин модели, входящих в индикаторы подобия, определяются при р = 1 средние квадратиче­ ские отклонения индикаторов и коэффициенты корреля­ ции [см. формулы (77) (при q-^-oо), (91), (58)];

64

Глава 4

ПРИМЕРЫ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ

ИПЛАНИРОВАНИЯ ИСПЫТАНИЙ НА МОДЕЛЯХ

§13. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ, ПОЛУЧЕННЫХ НА УПРУГОЙ МОДЕЛИ СТРУКТУРЫ, ИЗГОТОВЛЕННОЙ ИЗ ОДНОГО МАТЕРИАЛА

определялся на семи образцах^ по результатам испыта­

в предположении линейного напряженного состояния в упругой области. Условие подобия в этом случае выра­ жается одним индикатором подобия [32].

венно множители преобразования для сосредоточенных нагрузок, модуля упругости, геометрических размеров, напряжений и перемещений.

лл л л

Учитывая, что ат= Е г и ur— Lr, индикатор подобия

А л

(123) можно записать, используя значения аг и ur. Интервальная оценка для напряжений и перемеще­

ний в оригинале, подобном данной модели, будет иметь вид:

В индикатор (123) входят значения нагрузок, моду­ ля упругости, геометрических размеров. Ввиду отсутст-

* Здесь и далее сделан приближенный перевод единиц измерения системы МКГСС в единицы системы СИ: 1 кгс=9,81 Н » 1 0 Н = =0,01 кН; 1 кгс/см2=9,81 Н/см2=9,81 П а » 10 Па,

66

Вия Данных полагаем, что при условиях эксперимента w(P) = 0, w(L) = 0,02.

Модуль упругости определен на семи образцах, его

(121) находим w'(E) = 0,136.

Среднее квадратическое отклонение индикаторов по

Н = 2Ф (б) = 2Ф

или

^(■ fb

Здесь Ф-1 (....) —обратная функция Лапласа.

0,78схг (JM< стн < 1,39 ar aM,

л

а по формуле (125) найдем интервал для ии:

0,885 ul™Lr < и и < 1,18 < ам£ г.

Приняв найденные значения ам и им в качестве ма­ тематических ожиданий, по формулам (103) можно

67

найти с риском ошибки 5%, что погрешность в оценке напряжений не превышает +22% и —39%, а в оценке

перемещений +11,5% и —48%.

Более высокий уровень вероятности Н здесь не был бы оправдан, учитывая, что моделирование в данном случае проводилось с целью проверки метода расчета.

§ 14. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ УПРУГОЙ РАБОТЫ

МОДЕЛИ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО-НАПРЯЖЕННОЙ ФЕРМЫ, ИЗГОТОВЛЕННОЙ ИЗ ДВУХ МАТЕРИАЛОВ

Схема фермы показана на рис. 10 [46]. Все элемен­ ты модели изготовлены из стали марки СтЗкп, а затяж-

Рис. 10. Схема опытной фермы

/ — стержневая конструкция; 2 — затяжка

ка — одна прядь каната типа ТК 7X37, диаметр пря­ ди — 17 мм (модель Ф-2)„ Соединения сварные (элект­ роды типа Э-42).

Задачей исследования модели была проверка допу­ стимости расчета стальной предварительно-напряжен­ ной фермы с затяжкой из стального каната как упругой статически неопределимой системы по методу сил с од­ ним лишним неизвестным — усилием в затяжке. Модель испытывалась как в упругой, так и пластической об­ ластях работы. В данном примере будет рассмотрена оценка погрешности результатов лишь в области упру­ гих деформаций без учета влияния работы соединений на поведение фермы. Оценка точности результатов по­ зволяет обоснованно найти зону возможных значений

для математического ожидания определяемых в экспе­ рименте величин.

При испытании модели фермы использовались два монтажных толкающих домкрата : грузоподъемностью по 25 т. Для синхронной работы рабочие цилиндры обо­ их домкратов были объединены в общую маслосистему

68

трубками, присоединенными к общему манометру. Дав­ ление домкратов на ферму передавалось в виде сосре­ доточенных сил в узлах фермы. Натяжение затяжки контролировалось по манометру и по относительным удлинениям. В процессе испытаний регистрировались прогибы и относительные деформации.

При испытании определялись механические свойства стали марки СтЗкп: предел текучести, временное сопро­ тивление, относительное удлинение. Данных по моду­ лям упругости нет. Приведены данные о модуле дефор­ маций каната-затяжки в области рабочих напряжений. Для определения его статистических характеристик ис­ пользованы результаты испытаний по образцам АЗ, А4, Б1—Б5, В5, Вб, В8—В10. Образец В7 не принимается во внимание, поскольку для этого образца значение мо­ дуля деформации выходит за пределы случайного от­ клонения. Общее число образцов для каната-затяж­ ки — 12.

Индикаторы подобия для данного случая записыва-

ются в виде:

при исследовании линейного напряженного состояния

69