книги из ГПНТБ / Мастаченко, В. Н. Надежность моделирования строительных конструкций монография

пектов подобия. При этом требование (15) носит более конкретный характер, чем условия, сформулированные

в работе [28].

При формулировке условий подобия для какого-либо конкретного явления необходимо найти ограничения для

Л

выбора ХгГ, диктуемые физической сущностью рассмат­ риваемой задачи. Вывод условий подобия в статистичес­ ком смысле может быть дан на базе я-теоремы, как это сделано в статье [21]. Изложенный же здесь метод дает возможность получить несколько более полные условия подобия. Принципиальные результаты остаются одними и теми же.

§ 3. АНАЛИЗ УСЛОВИИ ПОДОБИЯ

Рассмотрим полученные условия с точки зрения прак­ тических выводов для моделирования. Целесообразно начать с рассмотрения простейших случаев.

а) Моделирование при неслучайных величинах

В этом случае имеем соотношения:

Для подобия модели X и оригинала X' в статистичес­ ком аспекте достаточно обеспечить лишь удовлетворение условия (7).

Впредположении, что величины Xt и Х ’{ неслучайные,

внастоящее время и проводится моделирование различ­ ных задач в строительной механике. Это предположение не может быть строго обосновано, поскольку экспери­ ментатор всегда имеет дело со случайными величинами. Учет концепции случая обязателен при исследовании «плохо организованных систем» [29]. Но и в той обла­ сти, в которой применяются методы моделирования, не­ обходимо иметь количественные оценки для погрешно­ стей при использовании в практической деятельности до­ пущений типа (16).

б) Моделирование при случайных, но независимых некоррелированных величинах. Центральные моменты случайных величин образуют матрицу

Pv (* х)

Pv (X J

20

Для обеспечения подобия в статистическом смысле необходимо кроме удовлетворения условия (7) выпол­ нить требование (15). Для данного случая это требова­ ние имеет вид

Записанное выражение отражает, в частности, изве­ стную мысль, что система допусков для геометрических размеров, точности измерительных приборов и пр. дол­ жна изменяться при переходе от натурных объектов к моделям. Действительно, для нормального распределе­ ния N — 2, a [i2 (Хг) есть дисперсия свойства Xi. На осно­ ве формулы (17) дисперсия для каждого свойства вели­ чины модели Xi должна быть равна:

м2[x't)

Здесь важно подчеркнуть необходимость условия (7). Его нарушение при моделировании в области нелиней­ ной работы конструкций может привести к существенным ошибкам в оценке конечных результатов исследования.

в) Моделирование при случайных коррелированных величинах. Предположим, что имеется п величин, опре­ деляющих исследуемое явление. Как и в предыдущем

ЛЛ

случае, X. ф Х {, Х'фХ'{. Допустим, что требуется обеспе­

чить подобие в статистическом смысле до порядка N=2. Корреляционная матрица для величин оригинала X' име­ ет вид:-

величин модели.

Предположим, что на основе анализа матрицы (18)

21

выяснилось, что коррелированными величинами явля­ ются лишь X j и Х'3, а также Х’2 и Х ’п. Тогда вместо мат­

рицы (18) имеем матрицу

И2 (*;)

Если исследователь имеет возможности воздейство­ вать на свойство модели Xi так, чтобы удовлетворить условие (15), то подобие в статистическом смысле до порядка N = 2 будет обеспечено, если ненулевые эле­ менты корреляционной матрицы для модели будут опре­ деляться. следующими соотношениями:

1*2 (*i) = 1*2 (x'l)хт?2> i= l ,2 , .. , ,п;

^ { x ^ x ^ ^ x l x ' ) [xkf, x lr)-\ j ф k, k, j = 1,2........n,

Эти соотношения наглядно иллюстрируют те допол­ нительные ограничения и трудности, которые возника­ ют при моделировании в рамках теории статистическо­ го подобия при необходимости сохранения статистиче­ ского подобия лишь до порядка N = 2. Очевидно, что «статистическая автомодельность» [т. е. естественное выполнение требования (15)] будет лишь в области до­ статочно представительных выборочных испытаний на­ турных объектов.

Следует подчеркнуть и одно весьма важное обстоя­ тельство в концепции подобия в статистическом смысле. Речь идет о переходе от величин модели к величинам оригинала. Если обеспечено подобие в статистическом смысле до порядка v= 2, 3, 4,..., то на основе исследо­ вания достаточно представительной серии моделей мож­ но, изучив статистические свойства моделей, найти мо­ менты плотности распределения измеряемой в опыте величины и затем установить, пользуясь соотношением (15), соответствующие моменты плотности распределе­ ния сходственной величины оригинала. В некоторых случаях обеспечение условий подобия в статистическом

22

смысле до второго порядка [2] позволило рассмотреть ряд практических задач.

Необходимо остановиться еще на одном важном во­ просе. Предположим, что в результате определенных условий подобие в статистическом смысле до некоторо­ го порядка v достигнуто. Практика показывает, что для сложных сооружений возможно изготовить в лучшем случае 2—3 модели (обычно в разных масштабах с различными задачами исследования и на различных материалах). Допустим, что имеются результаты испы­ тания этих моделей. Возникает вопрос, как судить об этих результатах с позиций теории подобия в статисти­ ческом смысле. Относятся ли эти результаты к центру или краю (или другому значению) неизвестной плотно­ сти распределения изучаемой величины? Здесь теория не имеет своего ответа. Возможно лишь применение из­ вестных методов математической статистики [37], а это потребует увеличения числа испытаний, и тем большего, чем точнее должен быть определен интервал для средне­ го значения или дисперсии изучаемого свойства.

Исследовав статистические свойства материалов, геометрии и нагрузок модели и убедившись, что подо­ бие в статистическом смысле не достигнуто, нельзя пол­ ноценно использовать уже полученную информацию.

Глава 2

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

МОДЕЛИРОВАНИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ

§ 4. ПОСТАНОВКА ВОПРОСА

Из анализа основных условий подобия в статистиче­ ском смысле следует, что моделирование строительных конструкций на основе детерминистических принципов не всегда правомерно, а соблюдение всех условий подо­ бия в статистическом смысле весьма затруднительно.

Наиболее простое решение можно получить, если ограничиться лишь минимальной формой подобия в статистическом смысле, а именно подобием первого по­

23

рядка. При этом теряется возможность на основе мо­ дельного эксперимента определять вторые и последую­ щие моменты распределения изучаемой величины для

оригинала.

При сохранении подобия первого порядка с принци­ пиальной точки зрения требуется лишь знать математи­ ческие ожидания тех свойств моделей и оригиналов, ко­ торые определяют их поведение (свойства материалов элементов и соединений, геометрии и нагрузок), не вво­ дится каких-либо ограничений на статистические харак­ теристики свойств моделей, описываемых моментами второго и большого порядка, и совсем не требуется знать последние для свойств оригиналов.

С точки зрения возможности применения предлагае­

ратические отклонения всех этих свойств малы по срав­ нению с их средними значениями, т. е. коэффициенты вариации невелики (не более 0,12—0,15). При учете влияния вариации всех свойств предельные значения коэффициентов будут меньше. Приведенный порядок коэффициентов показывает, что введенное ограничение не будет затрудительным для практического моделиро­ вания строительных конструкций.

В дальнейшем предполагается, что все критерии подо­ бия в отношении математических ожиданий оригинала и модели уже определены. Метод определения этих кри­ териев сохраняется таким же, каким он сформулирован

явлений, а математические ожидания каких-либо явле­ ний неслучайны. Кроме того, предполагается, что кри­ терии подобия представлены в форме индикаторов по­ добия [13]. Эта операция связана с простым приведе­ нием критериального равенства

л гл

К/н = /Г/м. / = 1>2, ..., ш

(где/ — номер критерия)

24

к виду

А

вывода я-теоремы (см., например, [1]) критерии Kj об­ разуют систему независимых произведений («фунда­

ментальная система»). Как известно, любые другие

л

комбинации величин Xi (i= 1, 2,..., I) могут быть выра­ жены через эту фундаментальную систему критериев.

§ 5. ПОНЯТИЕ О ВЕРОЯТНОСТИ ПОДОБИЯ

Предположим, что при составлении программы эк­ сперимента на моделях на основе тех или иных справоч­ ных или проектных данных для всех величин XiYi ориги­

нала, характеризующих материал, геометрию, нагрузки,

л

определены математические ожидания Xuh а для моде­ ли путем статистического исследования конкретной

партии материала и конкретных испытательных уст-

л

ройств установлены значения XiM. На основе этих дан­

ных записаны соотношения типа (21), тем самым опре-

л

делены все множители преобразования XiT.

При проведении эксперимента в условиях, когда фактор случайности не устраняется, нет полной гаран­

то каждой из величин Хш и Х,н могут в реальных ус­ ловиях занять некоторые реализации случайных вели­

25

ных величин вероятность равенства Xi =Xi равна нулю. Поэтому осуществление условия (21) в каждом конк­

Л

(в котором вместо Х{Г оказались в силу случайности некоторые реализации величин Х{Г) возможно прибли­ женное удовлетворение равенства индикатора I j свое­ му математическому ожиданию, а именно, что

ний вероятность подобия по выражению (24) определя­ ет вероятность подобия некоторой реализации поведе­ ния модели и некоторой реализации поведения оригина­ ла, т. е., иными словами, речь идет о подобии поведений одной наугад взятой модели (из некоторого множества

26

ность подобия (24) будет определять вероятность подо­ бия поведения одной наугад взятой модели математи­ ческому ожиданию поведения оригинала. Очевидно, что в этом случае об оригинале не требуется знать никаких

статистических характеристик, кроме математических

. л

ожиданий XiH. В данном случае численное значение ве­ роятности подобия при некоторой погрешности Д будет полностью определяться случайностью свойств модели.

В предельном случае, когда свойства модели также неслучайны, выражение (24) даже при Д-»-0 дает веро­ ятность подобия, равную единице.

Для процессов, протекающих во времени, условия подобия в сходственные моменты времени tk и t'k (k=

i = i

где

x tr 0* ) = х ; ( й / а д * .

Нетрудно видеть, что здесь с изменением индекса k

л

значения Xir(th) должны меняться, если хотя бы одно из Х{Гзависит от времени.

Вероятность подобия в моменты tk и t k’ для модели и оригинала записываются аналогично выражению (24)

где

(S) = |//'(/fc)-//(f*)l < д-

Если необходимо провести оценку подобия для всех моментов времени th(k=0, 1, ..., N), то, представив /Д 4) в виде многомерного распределения, можно записать:

* Среди величин Xt (t) и X( (t) может быть и само время, тогда

константа подобия для времени будет равна: tr= t'Jt. Здесь для крат­ кости использовано общее обозначение для всех величин в виде Xi(t).

27

Р(|//(<*)-//(<*)! < Л, / = 1, 2, ... т\ k =

= 0, 1,2.......JV) = J •••]’/!,2.....« { W - W ........M 'jv).

<S)

' m< g . ' m< g ........^ ( g ) } " i ( g " 1( g - - - " i ( g ) - - d/m><

откуда можно найти вероятность осуществления подо­ бия при заданной погрешности А. Разумеется, в этом случае объем исходной статистической информации су­ щественно увеличится, и усилия, затраченные на ее по­ лучение, возрастут. Знание простого факта, что с ве­ роятностью Р и погрешности) А моделирующий процесс воспроизвел моделируемое воздействие, чрезвычайно ценно в практическом отношении.

Формально нетрудно представить, что X i — случай­ ные функции не одного, а двух, трех, более и вообще п аргументов. В соответствии с этим можно определять вероятность подобия при заданной погрешности в неко­ тором n-мерном пространстве аргументов.

Так же, как и при моделировании явлений, не зави­ сящих от времени, можно да!ъ трактовку для выраже­ ния (27) о моделировании одним наугад взятым процес­ сом другого случайного процесса, о моделировании ма­ тематического ожидания процесса-оригинала и т. п.

Понятие о вероятности подобия имеет определенную ценность, но пока оно не дает возможности установить возможную погрешность конечных результатов, полу­ чаемых на основе моделирования. Этот вопрос обсуж­ дается далее. Но прежде чем перейти к нему, остано­ вимся на методах вычисления вероятности подобия применительно к задачам моделирования строительных конструкций.

§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПОДОБИЯ

Для вычисления вероятности подобия необходимо иметь аналитическое описание функций, стоящих под интегралами в выражениях (24) и (26). Такое описание сейчас отсутствует. Его получение хотя бы на основе математического моделирования с помощью ЭВМ так­ же может оказаться затруднительным ввиду того, что в каждом конкретном случае физического моделирования число и структура индикаторов будут различны, а вхо­

28

дящие в выражение (22) случайные величины Х{ могут иметь различные законы распределения.

При проведении конкретного эксперимента число об­ разцов для определения свойств материала модели вряд ли может быть очень большим, а на малом числе испытаний можно лишь с некоторой доверительной ве­ роятностью найти числовые характеристики — средние значения и дисперсии, а не законы распределения. Поэ­ тому строгое решение задачи об оценке вероятности подобия применительно к рассматриваемым целям пока не требуется, хотя и представляет интерес с точки зре­ ния точности вычислений.

Учитывая эти замечания, целесообразно построить такой аппарат для вычисления вероятности подобия, для применения которого достаточно иметь лишь число­ вые характеристики плотностей распределений случай­ ных величин Xt.

Математические ожидания критериев подобия обра­ зуют систему независимых безразмерных комплексов. При замещении математических ожиданий величин, входящих в критерии, их случайными значениями мож­ но ожидать появления лишь стохастической связи меж­

/=1

Во втором случае требуется вычислять интегралы, кратность которых зависит от числа коррелированных

29