4. Принципы и теоремы теории цепей

4.1. Принцип наложения

Процессы в линейных цепях (системах) удовлетворяют принципу наложения (суперпозиции), согласно которому «реакция линейной цепи на совокупность воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности». Этот принцип лежит в основе ряда эффективных расчетных методов теории электрических цепей. В частности, задачи анализа цепей, содержащих несколько источников сигналов, сводятся к совокупности результатов, полученных для каждого из источников (что, например, иллюстрируют выражения (33) и (36)), а анализ процессов при сложных воздействиях сводятся к анализу процессов при простых воздействиях.

4.2. Принцип дуальности

Симметрия исходных соотношений (аксиоматики) теории цепей и сходство контурных и узловых уравнений, описывающих процессы в цепях, свидетельствуют о принципиальной возможности существования таких цепей, у которых напряжения и токи одной цепи формально удовлетворяют той же системе уравнений, которой удовлетворяют токи и напряжения в другой цепи. Уравнения подобных цепей отличаются лишь обозначениями переменных и коэффициентов уравнений. Эти цепи называют дуальными(двойственными). Сходные величины в уравнениях дуальных цепей также называют дуальными. Дуальные величины и понятия приведены в таблице 4.4.

Таблица 4

u	i	e	j	R	G	L	C	контур	узел	…..
i	u	j	e	G	R	C	L	узел	контур	…..

Принцип дуальности утверждает, что «если какие-либо положения, теоремы, зависимости, решения верны для некоторой цепи, то они верны и для дуальных величин в дуальной цепи». Применение этого принципа позволяет уменьшить количество выкладок и формулировок при решении задач теории цепей. Принцип дуальности выполняется не для всех цепей, а только для таких, схемы которых являются планарными, т.е. не имеют пересечений ветвей.

4.3. Эквивалентность цепей

«Цепи называют эквивалентными, если они описываются одинаковыми уравнениями». Например, при решении задач, связанных с расчетом широко используется эквивалентное представление активных двухполюсников (генераторов), приведенное на рис. 7.

Рис. 7. Эквивалентные цепи:

а) активный двухполюсник с источником напряжения;

б) активный двухполюсник с источником тока

Условия эквивалентности этих цепей в комплексной форме имеют вид: ;;.

4.4. Теорема компенсации(замещения)

Эта теорема утверждает, что: «токи и напряжения в произвольной электрической цепи не изменятся, если какую-нибудь его ветвь заменить либо источником напряжения с задающим напряжением, равным напряжению на этой ветви до замены, либо источником тока с задающим током, равным току в этой ветви до замены». Замена ветви источниками представлена на рис. 8.

Рис. 8. Эквивалентные представления цепей посредством теоремы компенсации:

а) исходная цепь;

б) замена двухполюсника источником напряжения;

в) замена двухполюсника источником тока

4.5.Теорема об эквивалентном генераторе

Для упрощения анализа сложной цепи ее можно представить состоящей из двух частей, взаимодействующих посредством двух зажимов (клемм), т.е. являющихся двухполюсниками. Первый из них – линейный активный (т.е. содержащий наряду с пассивными элементами источники напряжений и токов), второй – произвольный.

Теорема об эквивалентном генераторе утверждает: «Линейный активный двухполюсник, взаимодействующий с внешним двухполюсником, можно заменить эквивалентной цепью (эквивалентным генератором) из последовательно соединенных источника напряжения и линейного пассивного двухполюсника. Задающее напряжение этого источника e_Г представляет собой напряжение на разомкнутых внешних зажимах заменяемого двухполюсника u_ХХ («холостой ход»), а пассивный двухполюсник образуется из него же, если в нем значения всех задающих напряжений и задающих токов положить равными нулю». В комплексной форме параметрами эквивалентного генератора являются и комплексное сопротивлениеZ_Г =Z_ВХ, гдеZ_ВХ – входное комплексное сопротивление соответствующего пассивного двухполюсника со стороны его внешних зажимов.

Дуальная формулировка этой теоремы: «Линейный активный двухполюсник, взаимодействующий с внешним двухполюсником, можно заменить эквивалентной цепью (эквивалентным генератором) из параллельно соединенных источника тока и линейного пассивного двухполюсника. Задающий ток этого источника j_Г представляет собой ток, протекающий через замкнутые внешние зажимы заменяемого двухполюсника i_КЗ («короткое замыкание»), а пассивный двухполюсник образуется из него же, если в нем значения всех задающих напряжений и задающих токов положить равными нулю». В комплексной форме параметрами эквивалентного генератора являются и комплексная проводимостьY_Г =Y_ВХ, гдеY_ВХ– входная комплексная проводимость соответствующего пассивного двухполюсника со стороны его внешних зажимов (Y_ВХ = 1/Z_ВХ). Замена активного двухполюсника эквивалентным генератором представлена на рис. 9.

Рис. 8. Замена активного двухполюсника:

а) эквивалентным генератором с источником напряжения;

б) эквивалентным генератором с источником тока

16