2. Гармонические колебания в линейных цепях.

2.1. Основы метода комплексных амплитуд

Гармоническому колебаниюкакой-либо физической величины

(18)

сопоставляется комплексное представление

.

(19)

Здесь: – сомножитель, описывающий временную зависимость; ;– комплексная величина, называемаякомплексной амплитудойсоответствующей физической величины. Модуль комплексной амплитуды определяет амплитуду исходного колебания, а аргумент – начальную фазу.

Замечательным свойством такого представления является то, что операциям дифференцирования и интегрирования соответствуют умножение и деление на , что существенно упрощает получение результатов при анализе гармонических колебаний в линейных физических системах. Такой подход составляет сутьметода комплексных амплитуд. Его положительным качеством также является наглядность представления гармонических процессов посредством векторных диаграмм на комплексной плоскости.

В теории цепей гармоническим колебаниям напряжения и тока сопоставляются комплексы:

;

(20)

где и– комплексные амплитуды напряжения и тока. В конкретных цепяхиявляются искомыми переменными в уравнениях электрического равновесия. Решение этих уравнений в комплексной форме определяет амплитуды и начальные фазы изначально искомых напряжений и токов:,;,. Формально переход от комплексных амплитуд к мгновенным значениям напряжений и токов вида (17) осуществляется посредством формулы:

(21)

Представленные выше исходные понятия теории цепей в комплексной форме принимают вид, приведенный в таблице 2.

Таблица 2

Напряжение
Ток
Источник напряжения			(22)
Источник тока			(23)
Резистивность			(24)
Емкость			(25)
Индуктивность			(26)
Связанные индуктивности			(27)
Первый закон Кирхгофа			(28)
Второй закон Кирхгофа			(29)
Средняя мощность			(30)

2.2. Комплексные параметрыдвухполюсников

Линейная зависимость комплексных амплитуд ив формулах (24) – (27) является основанием для введения понятийкомплексное сопротивлениеZикомплексная проводимостьY = 1/Zкак для идеальных элементов цепейR,CиL, так и для различных их соединений. Правила, определяющие результирующие значенияZи Yсоединений элементов, подобны правилам для аналогичного соединения резистивностей: при последовательном соединении двухполюсников складываются их комплексные сопротивления, при параллельном соединении двухполюсников складываются их комплексные проводимости.

В общем случае комплексное сопротивление и комплексная проводимость содержат вещественную и мнимую части, называемые активнойиреактивнойсоставляющими.

Приведем формулы различного представления Zи Y:

;;

;;

Комплексные сопротивления и проводимости идеальных элементов цепей и некоторых соединений из них приведены в таблице 3.

Таблица 3

	Z	Y
	ZR=R	YR=G