3. Методы составления уравнений состояния цепей

3.1.Метод узловых напряжений

В исследуемой линейной цепи сторонние источники представляются посредством источников тока. Один из N_Уузлов этой цепи выбирают в качествеотсчетного (базового), остальныеmузлов (m=N_У –1) нумеруют. Напряжения этих узлов, отсчитываемые от базового –узловые напряжения, являются системой функций, подлежащих первоначальному определению. Для них записывают систему узловых уравнений, которая в матричной форме имеет вид:

.

(31)

Здесь: – матрица, элементы которой в общем случаеRLC-цепи – интегро-дифференциальные операторы вида;

– матрица-столбец искомых узловых напряжений;

– матрица-столбец узловых токов, в состав которых входят задающие токи источников и начальные токи индуктивностей.

При использовании метода комплексных амплитуд система узловых уравнений является алгебраической и для mнезависимых узлов имеет вид:

;k=1;2...m,

(32а)

или в матричной форме

.

(32б)

Здесь – матрица узловых комплексных проводимостей,– матрица-столбец искомых комплексных амплитуд узловых напряжений,– матрица-столбец известных комплексных амплитуд узловых токов. Элементами этих матриц являются:

Y_kk–собственная комплексная проводимостьk-го узла, равная сумме комплексных проводимостей ветвей, присоединенных к данному узлу;

Y_kn–взаимная комплексная проводимость k-го иn-го узлов, равная сумме взятых с противоположными знаками комплексных проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы;

–комплексная амплитуда узлового напряженияk-го узла искомая величина;

–комплексная амплитуда узлового тока, равная алгебраической сумме комплексных амплитуд задающих токов всех источников тока, присоединенных кk-му узла, (в этой сумме со знаком плюс учитываются токи источников, направленных к узлу, и со знаком минус – токи источников, направленных от узла).

Решение системы узловых уравнений каким-либо способом дает искомые комплексные амплитуды узловых напряжений. Например, по формулам Крамера решение для комплексной амплитуды узлового напряженияk-го узла имеет вид:

,

(33)

где – определитель системы уравнений;– алгебраическое дополнение к элементу.

3.2.Метод контурных токов

В исследуемой линейной цепи сторонние источники представляются посредством источников напряжения. Выбирается и нумеруется совокупность N_Кнезависимых контуров. Произвольно выбираются направления отсчетовконтурных токов– замкнутых токов, протекающих в каждом независимом контуре. Контурные токи являются системой функций, подлежащих первоначальному определению. Для них записывают систему контурных уравнений, которая в матричной форме имеет вид:

(34)

Здесь: – матрица, элементы которой в общем случаеRLC-цепи – интегро-дифференциальные операторы вида;

– матрица-столбец искомых контурных токов;

– матрица-столбец, элементы которой определяются задающими напряжениями источников и начальными напряжениями емкостей.

При использовании метода комплексных амплитуд система контурных уравнений является алгебраической и для N_Кнезависимых узлов имеет вид:

;k=1;2...m, m= NК,

(35а)

или в матричной форме

.

(35б)

Здесь – матрица комплексных контурных сопротивлений,– матрица-столбец искомых комплексных амплитуд контурных токов,– матрица-столбец известных комплексных амплитуд контурных напряжений. Элементами этих матриц являются:

Z_kk–собственное комплексное сопротивлениеk-го контура, равное сумме комплексных сопротивлений ветвей, входящих в данный контур;

Z_kn–взаимное комплексное сопротивление k-го иn-го контуров, равное сумме комплексных сопротивлений ветвей, входящих в составk-го иn-го контуров (учитывается со знаком плюс, если направления отсчетов контурных токов совпадают, и со знаком минус – если они противоположны);

–комплексная амплитуда контурного токаk-го контура искомая величина;

–комплексная амплитуда контурного напряжения, равная алгебраической сумме комплексных амплитуд задающих напряжений всех источников, входящих вk-й контур, (в этой сумме со знаком плюс учитываются напряжения, направление действия которых совпадает с направления отсчетов контурных токов, и со знаком минус – если не совпадают).

Решение системы контурных уравнений каким-либо способом дает искомые комплексные амплитуды контурных токов. Например, по формулам Крамера решение для комплексной амплитуды узлового напряженияk-го узла имеет вид:

,

(36)

где – определитель системы уравнений;– алгебраическое дополнение к элементу.