Поиск в б-дереве
Поиск осуществляется с помощью рекурсивной операции B_Tree_Search, параметрами которой является указатель x на корень поддерева и ключ k искомого элемента. Операция вызывается первоначально для корня дерева B_Tree_Search(root[T], k). При нахождении элемента с заданным ключом операция возвращает пару (y, i), где y – узел Б-дерева, i – порядковый номер указателя, для которого keyi[y]=k. Иначе операция возвращает nill. При проходе по Б-дереву число обращений к диску O(h). Цикл while занимает основное время вычислений и занимает время O(th).
На рисунке 4 рассмотрим поиск ключа 27. Пояснения:
Проходим по ключам корня, пока меньше необходимого. В данном случае дошли до 31.
Спускаемся к ребенку, который находится левее этого ключа.
Идем по ключам нового узла, пока меньше 27. В данном случае – нашли 27 и остановились.
Рисунок 4
Операция поиска выполняется за время O(t logt n), где t – минимальная степень. Для дисковых операция совершается всего лишь O(logt n).
Вставка ключа в б-дерево
Вставка ключа в Б-дерево существенно сложнее вставки в бинарное дерево поиска. Как и в случае бинарных деревьев поиска, ищем позицию листа, в который будет вставлен новый ключ. Однако при работе с Б-деревом нельзя просто создать новый лист и вставить в него ключ, поскольку будут нарушаться свойства Б-дерева. Вместо этого вставляем новый ключ в уже существующий лист. Поскольку вставить новый ключ в заполненный лист невозможно, вводим новую операцию – разбиение заполненного (т.е. содержащего 2t-1 ключей) узла на два, каждый из которых содержит по t-1 ключей (разбиваем на 2 по t-1). Средний элемент (для которого t-1 первых ключей меньше его, а t-1 последних больше) перемещается в родительский узел, где становится родительской точкой для двух вновь образовавшихся поддеревьев. Соответственно, если родительский узел также был заполнен – то опять приходится разбивать. И так далее до корня( если разбивается корень – то появляется новый корень и глубина дерева увеличивается).
Как и в случае бинарного дерева поиска, в Б-дереве вполне можно осуществить вставку за один нисходящий проход от корня к листу. Для этого не нужно выяснять, требуется ли разбить узел, в который должен вставляться новый ключ. Вместо этого при проходе от корня к листьям в поисках позиции для нового ключа разбиваем все заполненные узлы, через которые проходим( включая лист). Тем самым гарантируется, что если необходимо разбить какой-то узел, то его родительский узел не будет заполнен.
Пример. Возьмем нарисованное ниже дерево и добавим в него элемент 13.
Двигаясь от корня, найдем узел, в который следует добавить искомый элемент. Таким узлом в нашем случае окажется узел, содержащий элементы 11 и 12. Добавим
Получили переполнение. При его обработке узел, содержащий элементы 11, 12 и 13 разделится на две части: узел с элементом 11 и узел с элементом 13, – а средний элемент 12 будет вынесен на верхний уровень.
Опять получили переполнение, при обработке которого узел, содержащий элементы 8, 10 и 12 разделится на два узла: узел с элементом 8 и узел с элементом 12, – а средний элемент 10 будет вынесен на верхний уровень.
Теперь получили переполнение в корне дерева. Как оговаривали ранее этот случай надо обработать отдельно. Это связано с тем, что здесь необходимо будет создать новый корень, в который во время деления будет вынесен средний элемент:
Теперь полученное дерево не имеет переполнения.
В этом случае, как и при поиске, время обработки страницы поиска есть величина постоянная, пропорциональная размеру страницы, а значит, сложность алгоритма добавления в Б-дерево будет также T(h), где h – глубина дерева.