§. Равномерная непрерывность функции на множестве.

Def:Величинаназывается колебанием функциина множествеМ.

Def:Функцияназывается равномерно непрерывной на множествеМ, если

.

Теорема Кантора:Функциянепрерывная в ограниченной замкнутой областиDравномерно непрерывна наD.

Δ. От противного. Возьмем числовую последовательность , такую что:

и ни одно из этихне годится для равномерной непрерывности.

Тогда , такая что, но. (*)

Получаем последовательность . Из этой последовательности выделим сходящуюся подпоследовательность. Для нее, в силу замкнутости области. Так как, то при.

Значит, в силу непрерывности, , значит, что противоречит (*). ▲

Следствие: Еслиравномерно непрерывна в ограниченной замкнутой областиD, то, таких, что– замкнуты,ивыполнено:.

Δ В качестве достаточно взять это число из равномерной непрерывности.

Тогда . ▲

§. Компактные множества в Еn.

Def: Пусть и имеется система множеств=такая, что

. Тогда система множеств =называется покрытием множестваМ.

Тº. (Бореля).«Если ограниченное замкнутое множествоDпокрыто системой =открытых множеств, то из этого покрытия всегда можно выделить конечное.

Δ. От противного. Для наглядности иллюстрации и не ограничивая общности доказательство проведем в двухмерном пространстве. Пусть из существующего бесконечного покрытия нельзя выделить конечное. Проведем процедуру разбиения множества Dна прямоугольники с последующим выбором из 4^хпрямоугольников одного, который не покрывается конечным покрытием…. Продолжая эту процедуру достаточно долго можно получить сколь угодно маленькие прямоугольники.

На некотором, к^-омшаге, мы придем к прямоугольникуМ_ккоторый содержит ту частьD, которая не покрыта конечным покрытием. Данная последовательность прямоугольников стягивается в точку. Эта точка, т.к. областьD– замкнута. Тогда точкавходит в одно измножеств покрытия. Так как- открытое множество, товходит ввместе с некоторой своей окрестностью.

В эту окрестность, при достаточно большом k,попадет и прямоугольникМ_к, который нельзя покрыть конечным покрытием с одной стороны, а с другой стороны.▲

Def:Множествоназывается компактом, если из любого его бесконечного покрытия открытыми множествами можно выделить конечное покрытие.

Лемма Бореля показывает, что в Е_n любое ограниченное замкнутое множество является компактом.

Раздел 9. Дифференцирование функций многих переменных.

§. Частные производные и частные дифференциалы.

Задана функция переменных. Частными приращениями функции называются:.

Частной производной функции по переменной называется:.

Обозначения для частных производных:

Вычисление частной производной по переменной производится как обычно и, при этом все переменные, кроме, считаются постоянными.

Примеры.

1⁰.; Тогда

2⁰.;

3⁰.;

;.

§. Дифференцируемые функции. Дифференциал.

Т⁰.Если для функциисуществуют частные производныев некоторой окрестности точкиР₀, и непрерывны вР₀, то, где- бесконечно малые величины.

Δ. =

= +

+ +

+ . Имеем сумму частных приращений. По формуле конечных приращений для функции одного переменного получаем:=

=.

При получим:

. ▲.

Def:Функцияназывается дифференцируемой в точкеР₀, если возможно представление:, (*)

где – константы, апри. Полагая в (*) (если оно выполнено) все, кроме, получим:

.

Отсюда запишем: для функции дифференцируемой в Р₀:

.

Def:Главная линейная часть приращенияназывается дифференциалом функциив точкеР₀и обозначается

,

а величины называются частными дифференциалами.

Если дифференцируема, то

Тогда

Для независимых переменных и.

Пример. .

Пример (контрпример).

Δ. Рассмотрим ; Мы уже рассматривали эту функцию и установили, что вР₀(0, 0) она непрерывна. Далее:.

Так как , тои, следовательно, функцияимеет в (0,0) частные производные.

Однако, формула не имеет места.

В самом деле: ине стремится к 0. Связано это с тем, чтов точкеР₀не являются непрерывными:

и,кроме того,. ▲