18.Применение рядов Фурье в анализе работы эц.

Методы Фурье используются для анализа линейных схем или систем: (1) для предсказания реакции системы; (2) для определения динамики системы и (3) для оценки результатов тестов.

Методы Фурье-анализа позволяют описать общий сигнал как сумму синусоидальных сигналов. Наименьшая (или собственная) частота этих сигналов — 1/Т Гц; остальные называются гармониками. Важной особенностью линейной системы является принцип суперпозиции — реакция на сумму сигналов равна сумме откликов на каждый сигнал. Фактически это свойство используется как определение линейности.

Ряд Фурье записывается в виде:

 , где k – номер гармоники.

Коэффициенты Фурье для этого ряда находятся по формулам:

 

Периодические сигналы представляются рядом Фурье в виде:

 , где   - основная частота; 

Здесь коэффициенты рассчитываются по формулам:

 

Часто используется другая форма записи ряда Фурье:

 , где:

 – амплитуда k-ой гармоники;   - начальная фаза

Для удобства расчетов ряд Фурье записывается в комплексной форме:

 

19.Форма представления ряда Фурье (одна из трёх по выбору)

Существует три представления ряда Фурье:

• Тригонометрическая форма

• Вещественная форма

• Комплексная форма

1. Тригонометрическая форма

Всякая периодическая функция времени x (t), которая в пределах периода ее изменения T удовлетворяет условиям Дирихле, может быть представлена в виде разложения по тригонометрическим функциям Фурье:

ω₁=2π/T – угловая частота первой гармоники

Коэффициенты ряда определяются по следующим формулам:

При расчете коэффициентов ряда Фурье необходимо выбрать начальный момент t₀ времени периода интегрирования. Как правило, значение выбирают так, чтобы упростить вычисления. Обычно, исходя из этого условия, принимают t₀=(-T/2). При этом формулы приобретают следующий вид:

Следуют два свойства, которые упрощают вычисления коэффициентов ряда Фурье в случае, когда функция x(t) удовлетворяет условиям нечетности или четности.

2. Вещественная форма

Некоторое неудобство тригонометрической формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования n (т. е. для каждой гармоники с частотой nω1) в формуле фигурирует два слагаемых – синус и косинус. Воспользовавшись формулами тригонометрических преобразований, сумму этих двух слагаемых можно трансформировать в косинус той же частоты с иной амплитудой и некоторой начальной фазой:

Периодический сигнал x (t) содержит в себе независящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник, с частотами кратными основной частоте периодического сигнала. Спектральную составляющую с частотой называют основной гармоникой, а составляющие с частотами – высшими гармониками периодического сигнала.

Представление произвольного сигнала в виде совокупности постоянной составляющей и суммы гармонических колебаний с кратными частотами называют спектральным разложением этого сигнала в базисе гармонических функций, или гармоническим анализом сигнала. n ω= ωn n > 1

Совокупности величин называют соответственно амплитудным и фазовым частотными спектрами сигнала или, иначе, спектром амплитуд и спектром фаз. Графически частотные спектры изображают в виде отрезков An , φn , проведенных перпендикулярно к оси, на которую наносятся значения Спектр периодического сигнала называется линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам Графическое изображение амплитудного и фазового частотных спектров принято называть амплитудной и фазовой спектральной диаграммами.