Комплексный (экспоненциальный) ряд Фурье
Применяется также запись ряда Фурье в комплексной форме, получаемая при замене тригонометрических функций экспоненциальными с введением в рассмотрение комплексных величин.
Тригонометрический ряд Фурье записывается в виде
По формулам Эйлера имеем:
Получим:
Таким
образом, периодический сигнал x(t) может
быть представлен суммой постоянной
составляющей 
и
комплексных экспонент, вращающихся с
частотами 
с
коэффициентами 
для
положительных частот 
,
и 
для
комплексных экспонент, вращающихся с
отрицательными частотами 
.
Рассмотрим коэффициенты для комплексных экспонент, вращающихся с положительными частотами :
(6)
Аналогично, коэффициенты для комплексных экспонент, вращающихся с отрицательными частотами :
(7)
Выражения (6) и (7) совпадают, кроме того постоянную составляющую также можно записать через комплексную экспоненту на нулевой частоте:
(8)
Таким
образом, (5) с учетом (6)–(8) можно представить
как единую сумму при индексации 
от
минус бесконечности до бесконечности:
(9)
Выражение
(9) представляет собой ряд Фурье в
комплексной форме. Коэффициенты ряда
Фурье в комплексной форме 
связаны
с коэффициентами 
и 
ряда
в тригонометрической форме, и определяются
как для положительных, так и для
отрицательных частот
.
Индекс
в
обозначении частоты
указывает
номер дискретной гармоники, причем
отрицательные индексы соответствуют
отрицательным частотам
.
Из
выражения (2) следует, что для вещественного
сигнала 
коэффициенты
и
ряда
(2) также являются вещественными. Однако
(9) ставит в соответствие вещественному
сигналу
,
набор комплексно-сопряженных
коэффициентов
,
относящихся как положительным, так и к
отрицательным частотам
.
Если s(t) является четной функцией, коэффициенты ряда Cn будут чисто вещественными, а если s(t) - функция нечетная, коэффициенты ряда окажутся чисто мнимыми.
Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье часто называют амплитудным спектром, а совокупность их фаз – фазовым спектром.
20.Спектры гармонического и негармонического колебаний. Графическая иллюстрация.
Рис. 1. Графическое изображение спектров амплитуд и фаз колебания
Совокупность всех гармонических составляющих негармонического сигнала называют спектром этого сигнала. Различают фазовый и амплитудный спектр сигнала:
фазовый спектр сигнала – совокупность начальных фаз всех гармоник
амплитудный спектр сигнала – амплитуды всех гармоник, из которых складывается негармонический сигнал
Для визуального изображения спектра используют диаграммы, представляющие из себя набор вертикальных линий определенной длины (длина зависит от амплитуды сигналов). На горизонтальной оси диаграммы откладываются частоты гармоник:
По горизонтальной оси могут откладываться как частоты в Гц, так и просто номера гармоник, как в данном случае. А по вертикальной оси – амплитуды гармоник, тут все понятно. Давайте построим амплитудный спектр сигнала для негармонического колебания, которое мы рассматривали в качестве примера в самом начале статьи. Напоминаю, что его разложение в ряд Фурье выглядит следующим образом:
u(t) = u_1(t) + u_2(t) = 2 sin(t) + 1.5 sin(2t)u(t)=u1(t)+u2(t)=2sin(t)+1.5sin(2t)
У нас есть две гармоники, амплитуды которых равны, соответственно, 2 и 1.5. Поэтому на диаграмме две линии, длины которых соответствуют амплитудам гармонических колебаний. Фазовый спектр сигнала строится аналогично, за той лишь разницей, что используются начальные фазы гармоник, а не амплитуды.
