Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мат_Стат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

1.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

162

Лекции 15–16

сортам ( Bi )

Среднее по

блокам

26,35

27,15

22,95

26,42

27,92

––

(

i )

По данным таблицы находим G = 523,2 ,

=13692,14 ,

∑xij2 =13867,38 ,

∑Bi2 = 54979,74 ,

∑Tj2 = 67771,1,

соответствующие суммы квадратов отклонений приведены в таблице.

Источник	Сумма квадратов	Число степеней			Оценка
вариации			свободы		дисперсии
Между сортами	Q3 = 62,08			3	s32 = 20,69
Между блоками	Q2 = 52,80			4	s22	=13,20
Остаточная	Q1 = 60,36		12		s12	= 5,03
Итого	Q0 =175,24		19			––
Экспериментальное значение критерия F =			20,69	= 4,11 . Для уровня значи-
			5,03
мости α = 0,05 и числах степеней свободы 3 и 12				табличное значение крите-

рия Fα = 3,49 . Так как F > Fα , нулевая гипотеза об отсутствии влияния сорта

на урожайность с вероятностью 0,95 отклоняется, т.е. различные сорта имеют различную урожайность.

Заметим, что если бы данный эксперимент проводился по схеме случайного плана, то изменения урожайности, определяемые различием в плодородии отдельных блоков, относились бы к случайным. В этом случае Q1 =175,24 −62,08 =113,16 и остаточная дисперсия (уже при 16 степенях сво-

боды) составит 113,16 :16 = 7,07 .

Экспериментальное значение критерия в этом случае F = 207,,0769 = 2,93 и ну-

левая гипотеза не отклонялась бы, т.е. при более высоком уровне шума влияние сорта на урожайность не заметно.

16.2.Двухфакторный анализ при полностью случайном плане эксперимента

Рассмотрим простейший план, позволяющий проверить не только влияние ряда факторов порознь, но и их взаимодействие. Пусть необходимо выявить влияние на некий признак X двух факторов A и B и их взаимодействий

Основы дисперсионного анализа

163

(обозначим A×B ). Модель эксперимента имеет вид:

xijk = X +αi + βj +γij +εijk .

Опыт проводится при фиксированных значениях факторов A и B , причем у фактора A различаются p уровней, у фактора B – q уровней, что дает pq различных сочетаний значений факторов. Для каждого сочетания опыт повторяется n раз, общее число наблюдений N = npq .

Результаты наблюдений представим в виде таблицы, где xijk – результат, полученный в эксперименте с порядковым номером k ( k =1, ..., n ), проведен-

ном при i -м уровне

фактора

(i =1, ..., p ) и

j -м

уровне фактора B

( j =1, ..., q ).

Уровень

Уровень фактора

Сумма

фактора

…

211

212

xp11 ,xp12 ,

∑xi1k

111

112

…

..., x11n

..., x21n

..., xp1n

221

222

xp21 ,xp22 ,

∑xi2k

121

122

…

..., x12n

..., x22n

...,

xp2n

…

x1q1 ,x1q2 ,

x2q1 ,x2q2

…

xpq1 ,xpq2 ,

∑xiqk

..., x1qn

..., x2qn

..., xpqn

Сумма

∑x1 jk

∑x2 jk

…

∑xpjk

∑xijk

ijk

По данным

таблицы вычислим следующие величины.

Суммы:

Q = ∑xijk ;

общая сумма

ijk

Q(B)j = ∑xijk

суммы по строкам таблицы

(вычислены для каждого значения фактора B , изменяются вдоль столбца);

суммы по столбцам таблицы Q(A)i = ∑xijk

(вычислены для каждого значения фактора A, изменяются вдоль строки);

суммы по клеткам таблицы

Qij = ∑xijk

(вычислены для каждого сочетания факторовA и B ) . Средние:

164

Лекции 15–16

∑xijk

общее среднее

ijk

;

pqn

∑xijk

средние по строкам таблицы

X (B)j =

(B)j

(для каждого значения фактора B );

∑xijk

средние по столбцам таблицы

X (A)i =

(A)i

(для каждого значения фактора A );

средние по клеткам таблицы

ij =

∑xijk

(для каждого сочетания факторов) .

Отклонение результата отдельного измерения xijk

от общего среднего

мож-

но представить в виде:

xijk −

= (xijk

−

ij )+(

ij −

= (xijk

−

ij )+(

ij −

(A)i −

(B)j +

)+(

(A)i −

)+(

(B)j −

= (

(A)i −

)+(

(B)j

−

)+(

ij −

(A)i −

(B)j +

)+(xijk −

ij ).

Первое слагаемое зависит только от фактора A , второе – только от фактора B , третье слагаемое описывает эффекты взаимодействия факторов A и B , а последнее – влияние неучтенных случайных факторов.

Разложим сумму квадратов отклонений значений признака X от общего среднего на составляющие. С учетом того, что суммы перекрестных произведений равны нулю, получаем

∑(xijk − X )2 = ∑(X (A)i − X )2 + ∑(X (B)j − X )2 +

ijk

+∑(

ij −

(A)i

−

(B)j +

)2 + ∑(xijk −

ij )2 .

ijk

Найдем число степеней свободы, соответствующее каждому источнику вариации. Общее число степеней свободы равно N −1 ( N – общее число наблюдений, N = npq ). Число степеней свободы между столбцами равно p −1, между

строками – q −1, для взаимодействия – (p −1)(q −1), внутри ячеек – (n −1) pq = N − pq . Проверка:

(N − pq)+(p −1)+(q −1)+((p −1)(q −1))=

Основы дисперсионного анализа

165

= N − pq + p −1+ q −1+ pq − p − q +1 = N −1.

Результаты оформим в виде таблицы:

Характер

Число

Оценка

Сумма квадратов

степеней

вариации

дисперсии

свободы

Фактор

Q4 = nq∑(

(A)i −

p −1

s42

p −1

Фактор

Q3 = np∑(

(B)j −

q −1

s32

q −1

Взаимо-

Q2 = n∑(

ij −

(A)i −

(B)j +

)

(p −1)(q −1)

действие

(p −1)(q −1)

A×B

Остаточ-

pqn

Q1 = ∑(xijk

− X ij )

ная

N − pq

вариация

ijk

Q0 = ∑(xijk −

Итого

N −1

––

ijk

Исследуем влияние каждого фактора в отдельности и влияние их взаимо-

действия, для чего вычислим три соответствующие значения критерия:

p −1

q −1

(p −1)(q −1)

;

, FB

;

, FAB

;

N − pq

s12

N − pq

s12

− pq

s12

Проверяются основные гипотезы о несущественности влияния фактора A ,

фактора

их

взаимодействия

A×B :

(A)1 =

(A)2 = ... =

(A)p =

(B)1 =

(B)2 = ... =

(B)q =

ij =

(A)i +

(B)j −

. По заданному уровню зна-

чимости α и известным числам степеней свободы находятся табличные (критические) значения критерия FA(α) , FB(α) , FAB(α) и сравниваются с эксперимен-

тальными FA* , FB* , FAB* . Если F ≤ Fα , нет оснований отвергнуть соответствующую основную гипотезу (влиянии фактора несущественно); если F > Fα , ос-

новная гипотеза отвергается (влияние фактора считается статистически значимым).

Для вычисления сумм квадратов удобно воспользоваться формулами:

(Q(A)i )2

−

= ∑

−∑Q(B)j + Q

= ∑Qij −

∑Q(A)i

q	(Q(B)j )2	−		Q2
Q3 = ∑	np			N	,
j
pq	n			2
Q1 = ∑ ∑xijk2 −			Qij		.

ij	k			n

166	Лекции 15–16

Пример:

Пусть экспериментально проверяется влияние на сроки работы детали двух факторов: технология изготовления (три метода, фактор A ) и материал (два вида, фактор B ). Данные (число месяцев работы детали) собраны в таблице.

Материал		Технология (фактор A )				Сред-
(фактор					Сумма по	Сред-
(фактор					Сумма по	нее
B )					строке
	1		2	3

1	10; 8; 7;		8; 12; 14; 12	15; 8; 10; 10	124	10,33
1	10		8; 12; 14; 12	15; 8; 10; 10	124	10,33
	10
2	12; 8; 8; 7		12; 13; 11;	13; 15; 12;	135	11,25
2	12; 8; 8; 7		14	10	135	11,25
			14	10
Сумма по	70		96	93	259	––
столбцу	70		96	93	259	––
столбцу
Среднее	8,75		12,00	11,63	––	––

Результаты вычислений сумм квадратов и дисперсий дают:

Источник

Сумма квадратов

Число степеней

Оценка

вариации

свободы

дисперсии

Фактор A

50,6

s42 = 25,3

Фактор B

5,0

s32

= 5,0

Взаимодействие

2,8

s22

=1,4

A×B

Остаточная

85,4

s12

= 4,8

вариация

Итого:

143,8

––

Экспериментальные значения критерия

25,3

5,0

1,4

4,8

= 5,3;

FB =

4,8

=1,1;

FAB =

4,8

= 0,28;

При α = 0,05 критические значения

FA(α)

= 3,555 ; FB(α)

= 4,414

FAB(α)

= 3,555 .

Сравнивая, получаем

= 5,3 > F

= 3,555 , F* =1,1 < F

= 4,414 , F*

= 0,28 < F

= 3,555 .

A(α)

B(α)

AB(α)

Так как в качестве нулевых гипотез выдвигались предположения об отсутствии влияния факторов, то гипотезу об отсутствии влияния фактора А следует откло-

нить, фактор А оказывает значимое влияние, для отклонения гипотез об от-

сутствии влияния фактора В и взаимодействия факторов оснований нет, их влияние незначимо.

Вывод: срок службы детали зависит от метода изготовления и не зависит от вида материала (в рамках исследованных методов и материалов!).

ПРИЛОЖЕНИЯ

168

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Функция Гаусса (х)

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0 0,398942 0,398922 0,398862 0,398763 0,398623 0,398444 0,398225 0,397966 0,397668 0,397330

0,1 0,396953 0,396536 0,396080 0,395585 0,395052 0,394479 0,393868 0,393219 0,392531 0,391806

0,2 0,391043 0,390242 0,389404 0,388529 0,387617 0,386668 0,385683 0,384663 0,383606 0,382515

0,3 0,381388 0,380226 0,379031 0,377801 0,376537 0,375240 0,373911 0,372548 0,371154 0,369728

0,4 0,368270 0,366782 0,365263 0,363714 0,362135 0,360527 0,358890 0,357225 0,355533 0,353812

0,5 0,352065 0,350292 0,348493 0,346668 0,344818 0,342944 0,341046 0,339124 0,337180 0,335213

0,6 0,333225 0,331215 0,329184 0,327133 0,325062 0,322972 0,320864 0,318737 0,316593 0,314432

0,7 0,312254 0,310060 0,307851 0,305627 0,303389 0,301137 0,298872 0,296595 0,294305 0,292004

0,8 0,289692 0,287369 0,285036 0,282694 0,280344 0,277985 0,275618 0,273244 0,270864 0,268477

0,9 0,266085 0,263688 0,261286 0,258881 0,256471 0,254059 0,251644 0,249228 0,246809 0,244390

1,0 0,241971 0,239551 0,237132 0,234714 0,232297 0,229882 0,227470 0,225060 0,222653 0,220251

1,1 0,217852 0,215458 0,213069 0,210686 0,208308 0,205936 0,203571 0,201214 0,198863 0,196520

1,2 0,194186 0,191860 0,189543 0,187235 0,184937 0,182649 0,180371 0,178104 0,175847 0,173602

1,3 0,171369 0,169147 0,166937 0,164740 0,162555 0,160383 0,158225 0,156080 0,153948 0,151831

1,4 0,149727 0,147639 0,145564 0,143505 0,141460 0,139431 0,137417 0,135418 0,133435 0,131468

1,5 0,129518 0,127583 0,125665 0,123763 0,121878 0,120009 0,118157 0,116323 0,114505 0,112704

1,6 0,110921 0,109155 0,107406 0,105675 0,103961 0,102265 0,100586 0,098925 0,097282 0,095657

1,7 0,094049 0,092459 0,090887 0,089333 0,087796 0,086277 0,084776 0,083293 0,081828 0,080380

1,8 0,078950 0,077538 0,076143 0,074766 0,073407 0,072065 0,070740 0,069433 0,068144 0,066871

1,9 0,065616 0,064378 0,063157 0,061952 0,060765 0,059595 0,058441 0,057304 0,056183 0,055079

2,0 0,053991 0,052919 0,051864 0,050824 0,049800 0,048792 0,047800 0,046823 0,045861 0,044915

2,1 0,043984 0,043067 0,042166 0,041280 0,040408 0,039550 0,038707 0,037878 0,037063 0,036262

2,2 0,035475 0,034701 0,033941 0,033194 0,032460 0,031740 0,031032 0,030337 0,029655 0,028985

2,3 0,028327 0,027682 0,027048 0,026426 0,025817 0,025218 0,024631 0,024056 0,023491 0,022937

2,4 0,022395 0,021862 0,021341 0,020829 0,020328 0,019837 0,019356 0,018885 0,018423 0,017971

2,5 0,017528 0,017095 0,016670 0,016254 0,015848 0,015449 0,015060 0,014678 0,014305 0,013940

2,6 0,013583 0,013234 0,012892 0,012558 0,012232 0,011912 0,011600 0,011295 0,010997 0,010706

2,7 0,010421 0,010143 0,009871 0,009606 0,009347 0,009094 0,008846 0,008605 0,008370 0,008140

2,8 0,007915 0,007697 0,007483 0,007274 0,007071 0,006873 0,006679 0,006491 0,006307 0,006127

2,9 0,005953 0,005782 0,005616 0,005454 0,005296 0,005143 0,004993 0,004847 0,004705 0,004567

Приложения	169

3,0 0,004432 0,004301 0,004173 0,004049 0,003928 0,003810 0,003695 0,003584 0,003475 0,003370

3,1 0,003267 0,003167 0,003070 0,002975 0,002884 0,002794 0,002707 0,002623 0,002541 0,002461

3,2 0,002384 0,002309 0,002236 0,002165 0,002096 0,002029 0,001964 0,001901 0,001840 0,001780

3,3 0,001723 0,001667 0,001612 0,001560 0,001508 0,001459 0,001411 0,001364 0,001319 0,001275

3,4 0,001232 0,001191 0,001151 0,001112 0,001075 0,001038 0,001003 0,000969 0,000936 0,000904

3,5 0,000873 0,000843 0,000814 0,000785 0,000758 0,000732 0,000706 0,000681 0,000657 0,000634

3,6 0,000612 0,000590 0,000569 0,000549 0,000529 0,000510 0,000492 0,000474 0,000457 0,000441

3,7 0,000425 0,000409 0,000394 0,000380 0,000366 0,000353 0,000340 0,000327 0,000315 0,000303

3,8 0,000292 0,000281 0,000271 0,000260 0,000251 0,000241 0,000232 0,000223 0,000215 0,000207

3,9 0,000199 0,000191 0,000184 0,000177 0,000170 0,000163 0,000157 0,000151 0,000145 0,000139

4,0 0,000134 0,000129 0,000124 0,000119 0,000114 0,000109 0,000105 0,000101 0,000097 0,000093

4,1 0,000089 0,000086 0,000082 0,000079 0,000076 0,000073 0,000070 0,000067 0,000064 0,000061

4,2 0,000059 0,000057 0,000054 0,000052 0,000050 0,000048 0,000046 0,000044 0,000042 0,000040

4,3 0,000039 0,000037 0,000035 0,000034 0,000032 0,000031 0,000030 0,000028 0,000027 0,000026

4,4 0,000025 0,000024 0,000023 0,000022 0,000021 0,000020 0,000019 0,000018 0,000017 0,000017

4,5 0,000016 0,000015 0,000015 0,000014 0,000013 0,000013 0,000012 0,000012 0,000011 0,000011

4,6 0,000010 0,000010 0,000009 0,000009 0,000008 0,000008 0,000008 0,000007 0,000007 0,000007

170

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Функция Лапласа Ф(х)

	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09

0,0	0,000000	0,003989	0,007978	0,011967	0,015953	0,019939	0,023922	0,027903	0,031881	0,035856

0,1	0,039828	0,043795	0,047758	0,051717	0,055670	0,059618	0,063559	0,067495	0,071424	0,075345

0,2	0,079260	0,083166	0,087064	0,090954	0,094835	0,098706	0,102568	0,106420	0,110261	0,114092

0,3	0,117911	0,121719	0,125516	0,129300	0,133072	0,136831	0,140576	0,144309	0,148027	0,151732

0,4	0,155422	0,159097	0,162757	0,166402	0,170031	0,173645	0,177242	0,180822	0,184386	0,187933

0,5	0,191462	0,194974	0,198468	0,201944	0,205402	0,208840	0,212260	0,215661	0,219043	0,222405

0,6	0,225747	0,229069	0,232371	0,235653	0,238914	0,242154	0,245373	0,248571	0,251748	0,254903

0,7	0,258036	0,261148	0,264238	0,267305	0,270350	0,273373	0,276373	0,279350	0,282305	0,285236

0,8	0,288145	0,291030	0,293892	0,296731	0,299546	0,302338	0,305106	0,307850	0,310570	0,313267

0,9	0,315940	0,318589	0,321214	0,323814	0,326391	0,328944	0,331472	0,333977	0,336457	0,338913

1,0	0,341345	0,343752	0,346136	0,348495	0,350830	0,353141	0,355428	0,357690	0,359929	0,362143

1,1	0,364334	0,366500	0,368643	0,370762	0,372857	0,374928	0,376976	0,378999	0,381000	0,382977

1,2	0,384930	0,386860	0,388767	0,390651	0,392512	0,394350	0,396165	0,397958	0,399727	0,401475

1,3	0,403199	0,404902	0,406582	0,408241	0,409877	0,411492	0,413085	0,414656	0,416207	0,417736

1,4	0,419243	0,420730	0,422196	0,423641	0,425066	0,426471	0,427855	0,429219	0,430563	0,431888

1,5	0,433193	0,434478	0,435744	0,436992	0,438220	0,439429	0,440620	0,441792	0,442947	0,444083

1,6	0,445201	0,446301	0,447384	0,448449	0,449497	0,450529	0,451543	0,452540	0,453521	0,454486

1,7	0,455435	0,456367	0,457284	0,458185	0,459071	0,459941	0,460796	0,461636	0,462462	0,463273

1,8	0,464070	0,464852	0,465621	0,466375	0,467116	0,467843	0,468557	0,469258	0,469946	0,470621

1,9	0,471284	0,471933	0,472571	0,473197	0,473810	0,474412	0,475002	0,475581	0,476148	0,476705

2,0	0,477250	0,477784	0,478308	0,478822	0,479325	0,479818	0,480301	0,480774	0,481237	0,481691

2,1	0,482136	0,482571	0,482997	0,483414	0,483823	0,484222	0,484614	0,484997	0,485371	0,485738

2,2	0,486097	0,486447	0,486791	0,487126	0,487455	0,487776	0,488089	0,488396	0,488696	0,488989

2,3	0,489276	0,489556	0,489830	0,490097	0,490358	0,490613	0,490863	0,491106	0,491344	0,491576

2,4	0,491802	0,492024	0,492240	0,492451	0,492656	0,492857	0,493053	0,493244	0,493431	0,493613

2,5	0,493790	0,493963	0,494132	0,494297	0,494457	0,494614	0,494766	0,494915	0,495060	0,495201

2,6	0,495339	0,495473	0,495603	0,495731	0,495855	0,495975	0,496093	0,496207	0,496319	0,496427

2,7	0,496533	0,496636	0,496736	0,496833	0,496928	0,497020	0,497110	0,497197	0,497282	0,497365

2,8	0,497445	0,497523	0,497599	0,497673	0,497744	0,497814	0,497882	0,497948	0,498012	0,498074

2,9	0,498134	0,498193	0,498250	0,498305	0,498359	0,498411	0,498462	0,498511	0,498559	0,498605

3,0	0,498650	0,498694	0,498736	0,498777	0,498817	0,498856	0,498893	0,498930	0,498965	0,498999

Приложения	171

3,1 0,499032 0,499064 0,499096 0,499126 0,499155 0,499184 0,499211 0,499238 0,499264 0,499289

3,2 0,499313 0,499336 0,499359 0,499381 0,499402 0,499423 0,499443 0,499462 0,499481 0,499499

3,3 0,499517 0,499533 0,499550 0,499566 0,499581 0,499596 0,499610 0,499624 0,499638 0,499650

3,4 0,499663 0,499675 0,499687 0,499698 0,499709 0,499720 0,499730 0,499740 0,499749 0,499758

3,5 0,499767 0,499776 0,499784 0,499792 0,499800 0,499807 0,499815 0,499821 0,499828 0,499835

3,6 0,499841 0,499847 0,499853 0,499858 0,499864 0,499869 0,499874 0,499879 0,499883 0,499888

3,7 0,499892 0,499896 0,499900 0,499904 0,499908 0,499912 0,499915 0,499918 0,499922 0,499925

3,8 0,499928 0,499930 0,499933 0,499936 0,499938 0,499941 0,499943 0,499946 0,499948 0,499950

3,9 0,499952 0,499954 0,499956 0,499958 0,499959 0,499961 0,499963 0,499964 0,499966 0,499967

4,0 0,499968 0,499970 0,499971 0,499972 0,499973 0,499974 0,499975 0,499976 0,499977 0,499978

4,1 0,499979 0,499980 0,499981 0,499982 0,499983 0,499983 0,499984 0,499985 0,499985 0,499986

4,2 0,499987 0,499987 0,499988 0,499988 0,499989 0,499989 0,499990 0,499990 0,499991 0,499991

4,3 0,499991 0,499992 0,499992 0,499993 0,499993 0,499993 0,499993 0,499994 0,499994 0,499994

4,4 0,499995 0,499995 0,499995 0,499995 0,499995 0,499996 0,499996 0,499996 0,499996 0,499996

4,5 0,499997 0,499997 0,499997 0,499997 0,499997 0,499997 0,499997 0,499998 0,499998 0,499998

4,6 0,499998 0,499998 0,499998 0,499998 0,499998 0,499998 0,499998 0,499998 0,499999 0,499999

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции _4_сем pdf

#
23.02.2015331.75 Кб3509_10_Оценки_пар.pdf
#
23.02.2015359.28 Кб3611_12_Проверка_стат_гипотез.pdf
#
23.02.2015303.9 Кб3513_14_Корр_и_регр_анализ.pdf
#
23.02.2015293.16 Кб3615_16 _Дисп_анализ.pdf
#
23.02.2015280.21 Кб3517_Приложения_нов.pdf
#
23.02.20151.05 Mб35Мат_Стат.pdf
#
23.02.20151.72 Mб40ТВ_и_МС.pdf
#
23.02.2015904.38 Кб36Теор_Вер.pdf