4сем / Лекции _4_сем pdf / 15_16 _Дисп_анализ

Лекции 15-16 ОСНОВЫ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

В лекциях рассматриваются методы описания зависимостей между случайными переменными в том случае, когда последние носят качественный характер. Формулировка и проверка соответствующих статистических гипотез и является содержанием дисперсионного анализа.

15.1.Исходные понятия

15.2.Групповое и общее среднее. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии

15.3.Однофакторный анализ при полностью случайном плане эксперимента

16.1.Однофакторный анализ при группировке по случайным блокам

16.2.Двухфакторный анализ при полностью случайном плане эксперимента

15.1.Исходные понятия

Объектами исследования дисперсионного анализа являются стохастиче-

ские связи между откликом и факторами, когда последние носят не количественный, а качественный или именованный характер. Примерами таких факторов могут служить:

–способ крепления детали при ее обработке;

–режим функционирования установки;

–уровень квалификации оператора;

–методика обучения (или лечения);

–название фирмы и т.д.

Будем обозначать факторы через A , B , C ,…, а отклик при этом – через X . Каждый из факторов имеет несколько уровней, или градаций. Так, например, если X – это степень износа покрышки на колесе автомобиля, а выбранные факторы A и B – это тип дороги и тип рисунка протектора, то различные уровни фактора A – различные типы дорог, различные уровни фактора B – различные рисунки протектора.

Пусть наблюдаемый объект обладает таким свойством, которое характеризуется переменным (откликом) X и подвержено влиянию некоторых учитываемых факторов A , B и других, не контролируемых в данном эксперименте факторов. Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы по результатам наблюдений за этим объектом дать ответ на вопрос: следует ли считать действие факторов A и B существенным (значимым) на фоне остальных (неучтенных) факторов или нет?

Формулировка и проверка соответствующих статистических гипотез для ответа на этот вопрос и является содержанием дисперсионного анализа. В зависимости от числа анализируемых факторов различают однофакторный, двухфакторный и т.д. дисперсионный анализ. Далее будут рассмотрены простейшие задачи однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа с постоянными (неслучайными ) факторами.

Если исследуется влияние одного фактора, то математическая модель однофакторного эксперимента выглядит как

xij = X +αj +εij , ( )

где xij – значение признака X , полученное в i -м эксперименте (i =1,...,n j ), со-

ответствующем j -му уровню фактора A ( j =1,..., p), X – общее среднее, αj – вклад в величину xij , обусловленный действием фактора A (эффект фактора A на j -м уровне, αj – неслучайная величина), εij – случайная компонента, вызванная влиянием всех прочих факторов. Принимается предположение, что εij

распределена по нормальному закону с нулевым средним и неизвестной дисперсией. Последнее допущение позволяет проводить проверку статистических гипотез, используя уже известные критерии, основанные на нормальном законе распределения наблюдаемых в эксперименте случайных величин.

Если рассматривается влияние двух факторов ( A и B ), то математическая модель эксперимента имеет следующий вид

xijk = X +αi + βj +γij +εijk , ( )

где xijk – значение признака, полученное в k -м наблюдении на i -м уровне фак-

тора A и на j -м уровне фактора B , X – общее среднее, αi – эффект фактора A на i -м уровне, βj – эффект фактора B j -м уровне, γij – эффект, вызванный взаимодействием факторов, εijk – случайная компонента.

15.2.Групповое и общее среднее. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии

Пусть все значения признака X некоторой совокупности (генеральной или выборочной) разбиты на несколько групп. Рассмотрим каждую группу как отдельную совокупность соответствующего объема.

ОГрупповое среднее – среднее арифметическое значений признака X в данной группе.

ООбщее среднее – среднее арифметическое значений признака X во всей совокупности.

ТОбщее среднее равно среднему арифметическому групповых средних, взвешенному по объемам групп.

Доказательство:

Обозначим объем совокупности n , число групп m , групповые средние xk ,

ОГрупповая дисперсия – дисперсия значений признака X, принадлежащих группе, относительно группового среднего,

ОВнутригрупповая дисперсия – среднее арифметическое дисперсий, взвешенное по объемам групп,

ОМежгрупповая дисперсия – дисперсия групповых средних относительно общего среднего,

D(межгр) = 1 ∑m nk (xk − x )2 .

n k =1

ООбщая дисперсия – дисперсия значений признака X, принадлежащих всей совокупности, относительно общего среднего,

D(общ) = 1 ∑n (xi − x )2 ,

n i=1

(суммирование идет по всей совокупности). Справедливо следующее утверждение:

ТЕсли совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий.

Доказательство:

= D(внутр) + D(межгр)

Пример:

Пусть совокупность состоит из двух групп, статистические ряды для них имеют вид:

Группы, на которые разбита вся совокупность результатов, соответствуют различным значениям фактора, поэтому s12 характеризует рассеяние внутри групп, (случайная вариация признака, s12 называют также остаточной дисперсией); s22 характеризует рассеяние групповых средних (систематическая вариа-

ция). Задачу проверки существенности влияния исследуемого фактора можно, как обсуждалось в предыдущем параграфе, представить как задачу о сравнении внутригрупповой и межгрупповой дисперсий. Если влияние фактора отсутству-

ет, то s12 и s22 являются независимыми оценками дисперсии генеральной совокупности σ2 . Если же фактор оказывает существенное влияние, то отношение s22 : s12 превзойдет критический предел и выборки следует считать взятыми из

разных совокупностей (отличающихся уровнем воздействия фактора). Сравнение дисперсий двух выборок производится с помощью F - распре-

деления Фишера – Снедекора. Выдвигается нулевая гипотеза H0 : X 1 = X 2 = ... = X p = X об отсутствии влияния фактора По выборочным данным

фигурных скобках после отношения дисперсий указаны числа степеней свободы, учтенных при расчете s12 и s22 . Задавшись уровнем значимости α , определяем по таблице критическое значение Fα и сравниваем вычисленное значение F с критическим. Если F ≤ Fα , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, влияние фактора не существенно; если же F > Fα , то нулевая гипотеза отвер-

гается и статистически подтверждается влияние фактора.

Результаты вычислений удобно оформить в виде таблицы, носящей название таблицы дисперсионного анализа.

Для вычисления сумм квадратов удобно воспользоваться формулами:

где Tj = ∑xij – сумма значений признака при определенном значении фактора,

G = ∑∑i xij – общая сумма значений признака.

i j

Пример:

Для проверки влияния методики обучения производственным навыкам на качество подготовки отбираются случайным образом четыре группы учеников, которые после окончания обучения (по разным методикам) показали следующие результаты (см. таблицу ниже).