4сем / Лекции _4_сем pdf / Мат_Стат

13.4.2. Интервальная оценка коэффициента корреляции и проверка значимости

При построении доверительного интервала для коэффициента корреляции и проверки его значимости будем предполагать, что генеральная совокупность имеет двумерный нормальный закон распределения. В этом случае

оценка коэффициента корреляции r* (xi , y j ) имеет асимптотически нормальный

закон распределения с математическим ожиданием M r* (xi , y j ) ≈ r − r (1−r2 )

2n

и дисперсией D r* (xi , y j ) ≈ (1 − r2 )2 . n

Используя общий метод построения доверительного интервала, основанный на нормальном законе распределения соответствующей оценки при доверительной вероятности γ =1−α , можно получить следующие значения для

нижней и верхней границ интервальной оценки:

но больших объемах выборки (не менее 500). При малых объемах выборки можно использовать построение доверительного интервала для rXY , основанное на преобразовании Р.Фишера:

больших значениях n приблизительно распределена по нормальному закону с параметрами

Пример:

В предыдущем примере была найдена точечная оценка коэффициента корреляции r* = 0,313 . Определим нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала при γ = 0,9 и проверим гипотезу H0 : rXY = 0 на уровне значимости

α = 0,1.

Используем первый вариант получения интервальной оценки. По таблице

Поскольку 1,19 <1,77 нет оснований отклонить гипотезу H0 , т.е., на уровне значимости α = 0,1 X и Y можно считать независимыми.

Аналогично производится анализ корреляционного отношения: получение точечной и интервальной оценок и проверка значимости оценки.

14. Основы регрессионного анализа

После обнаружения стохастических связей между изучаемыми переменными величинами исследователь приступает к математическому описанию интересующих его зависимостей. Для достижения этих целей необходимо решить следующие задачи:

1)подобрать класс функций, в котором целесообразно искать наилучшую (в определенном смысле) аппроксимацию искомой зависимости;

2)найти оценки для неизвестных значений параметров, входящих в уравнение искомой зависимости;

3)установить адекватность полученного уравнения искомой зависимости;

4)выявить наиболее информативные входные переменные (факторы). Совокупность перечисленных задач и составляет предмет регрессионно-

го анализа.

14.1. Условные средние. Выборочные уравнения регрессии

При рассмотрении многомерных случайных величин (лекция 6) рассматривались условные законы распределения и их числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия и различные моменты. Оценками этих величин служат их выборочные аналоги. Наиболее важными являются условные математические ожидания, вычисленные по выборке – условные средние.

ОУсловное среднее yx – среднее арифметическое значений случайной величины Y , наблюдавшихся при фиксированном значении с.в. X = x . Аналогично определяется условное среднее x y .

ОУсловное среднее x y – среднее арифметическое значений случайной величины X , наблюдавшихся при фиксированном значении с.в. Y = y .

Напомним определение уравнения регрессии:

M (Y x)= f (x),

условное математическое ожидание M (Y x) является функцией x . Эта функция f (x) называется функцией регрессии Y на X , а ее график –

линией регрессии.

Выборочный аналог этого уравнения, yx = f * (x), называется выбороч-

ным уравнением регрессии Y на X , функция f * (x) – выборочной

функцией регрессии Y на X , ее график – выборочной линией регрессии Y на X .

Аналогично определяются выборочные характеристики и для регрессии X на Y .

близко расположенных точек либо пишут число nij возле одной точки. Постро-

енное таким образом в системе координат изображение корреляционной таблицы называют полем корреляции. Также возможно изображать данные таблицы

кругами, центр которых находится в точке (xi , y j ), а диаметр (или площадь)

пропорционален nij . Точка в системе координат (ХОY) с координатами (X B ,YB )

называется центром рассеивания.

Можно также составить условные законы распределения, например, Y при X = x j или Х при Y = yi .

Зная условные законы распределения, можно найти условные средние:

вальным вариационным рядом, то удобно перейти к вспомогательным переменным, значения которых совпадают с серединами интервалов.

Кроме того, если варианты (значения вариационного ряда) являются равноотстоящими, т.е., образуют арифметическую прогрессию с разностью h , бывает удобно перейти к условным вариантам:

ui = xi h−C ,

где C ложный нуль (новое начало отсчета), а h – шаг, т.е. разность между двумя соседними первоначальными вариантами (новая единица масштаба). Если в качестве ложного нуля взята какая-то из вариант xm , то условные вариан-

ты – целые числа, что упрощает вычисления. Действительно,

ui = x1 +(i −1)h −hx1 + (m −1)h = i −m .

Пример:

Дана корреляционная таблица. Построить поле корреляции, найти центр рассеивания, построить выборочные линии регрессии.

От интервальных рядов для переменных перейдем к обычным, а затем к условным вариантам, приняв за ложные нули Cx =15 , Cy =11 , шаги hx = hy = 2 .

Новые и старые переменные связаны зависимостями:

Для новых переменных корреляционная таблица принимает вид:

Как видно, координаты центра рассеяния незначительно отличаются от начала координат (в переменных X ′ , Y ′).

На рисунке справа показано корреляционное поле. Площади кругов пропорциональны соответствующим частотам nij появления пары значений

(xi , y j ). Визуальное впечатление говорит, что величины взаимозависимы.

Построим выборочные линии регрессии, для чего вычислим условные средние. Для этого модифицируем корреляционную таблицу, дополнив ее условными средними:

X y =y j . Как видно, обе зависимости близки к

линейным, что позволяет ограничиться линейными уравнениями регрессии.

14.3. Линейная регрессия.

Выборочный коэффициент корреляции

Линейная регрессия заслуживает внимания по нескольким причинам:

1.Для двумерной случайной величины (Х,Y), распределенной по нормальному закону, регрессии составляющих линейны.

2.Нелинейную регрессию при определенных условиях можно аппроксимировать кусочно - линейной.

3.Нелинейную зависимость путем замены переменной можно свести к линейной.

Так как объем выборки конечен, то о линии регрессии можно судить лишь

по форме опытной линии регрессии. Задача о нахождении теоретической линии регрессии сводится к выравниванию статистических распределений, например, методом наименьших квадратов.

Как было показано ранее (лекция 6), прямые среднеквадратической линейной регрессии задаются уравнениями:

y= my + r σy (x −mx )

σx

–прямая среднеквадратической регрессии Y на X ,

x= mx + r σx (y −my )

σy

–прямая среднеквадратической регрессии X на Y .

Здесь mx , my – средние значения, σx , σy – среднеквадратические отклоне-

ния, r – коэффициент корреляции. Поскольку мы имеем только данные выборки, эти величины должны быть вычислены по выборке.

Для данных предыдущего примера:

выборочные средние:

mx = X ′B = − 401 , my =Y ′B = 401 ;

Окончательно уравнения теоретических прямых среднеквадратической линейной регрессии принимают вид:

y = −0,756x + 0,006 – регрессия Y на X , x = −0,723y − 0,007 –регрессия X на Y .

На рисунке показаны выборочные линии регрессии и теоретические прямые среднеквадратичной регрессии (сплошные – регрессии Y на X , штриховые – регрессии X на Y ).

Лекции 15-16 ОСНОВЫ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

В лекциях рассматриваются методы описания зависимостей между случайными переменными в том случае, когда последние носят качественный характер. Формулировка и проверка соответствующих статистических гипотез и является содержанием дисперсионного анализа.

15.1.Исходные понятия

15.2.Групповое и общее среднее. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии

15.3.Однофакторный анализ при полностью случайном плане эксперимента

16.1.Однофакторный анализ при группировке по случайным блокам

16.2.Двухфакторный анализ при полностью случайном плане эксперимента

15.1.Исходные понятия

Объектами исследования дисперсионного анализа являются стохастиче-

ские связи между откликом и факторами, когда последние носят не количественный, а качественный или именованный характер. Примерами таких факторов могут служить:

–способ крепления детали при ее обработке;

–режим функционирования установки;

–уровень квалификации оператора;

–методика обучения (или лечения);

–название фирмы и т.д.

Будем обозначать факторы через A , B , C ,…, а отклик при этом – через X . Каждый из факторов имеет несколько уровней, или градаций. Так, например, если X – это степень износа покрышки на колесе автомобиля, а выбранные факторы A и B – это тип дороги и тип рисунка протектора, то различные уровни фактора A – различные типы дорог, различные уровни фактора B – различные рисунки протектора.

Пусть наблюдаемый объект обладает таким свойством, которое характеризуется переменным (откликом) X и подвержено влиянию некоторых учитываемых факторов A , B и других, не контролируемых в данном эксперименте факторов. Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы по результатам наблюдений за этим объектом дать ответ на вопрос: следует ли считать действие факторов A и B существенным (значимым) на фоне остальных (неучтенных) факторов или нет?