4сем / Лекции _4_сем pdf / 06_Системы_Сл_Вел_Часть_3_2005

Лекция 6 МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

В лекции рассматриваются задачи, возникающие при измерении в одном эксперименте не одной, а нескольких случайных величин. Материал предыдущих лекций обобщается на этот случай, приводятся соответствующие способы описания и различные числовые характеристики.

6.1. Многомерные случайные величины

6.1.1.Функция распределения многомерной случайной величины

6.1.2.Дискретные многомерные случайные величины (ДМСВ)

6.1.3.Непрерывные многомерные случайные величины (НМСВ) 6.2. Зависимые и независимые случайные величины

6.2.1.Условные законы распределения 6.3. Числовые характеристики двумерной случайной величины

6.3.1.Корреляционный момент и коэффициент корреляции

6.3.2.Числовые характеристики условных распределений

6.3.3.Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии

6.3.4.Линейная корреляция. Двумерный нормальный закон распределения

6.1.Многомерные случайные величины

На одном и том же пространстве событий может быть определена не одна, а несколько случайных величин. Это возникает в случае, когда изучаемый объект характеризуется несколькими случайными параметрами.

Пример:

Составляется модель расходов случайно выбранной семьи на одежду, обувь, питание, транспорт и т.д. Эти затраты являются случайными величинами на одном пространстве элементарных событий.

Пусть Х1 , Х2 ,..., Хn - случайные величины, определенные на множестве элементарных событий Ω. Для удобства будем рассматривать их как координаты случайного n-мерного вектора Х = ( Х1 , Х2 ,..., Хn ) (это упорядоченный

набор n случайных величин Х1, Х2, …, Хn).

Система случайных величин есть функция элементарного события

(Х1, Х2 ,..., Хn )=ϕ(ω), т.е. каждому элементарному событию ω ставятся в

соответствие значения случайных величин: Х1, Х2, …, Хn , полученных в результате опыта.

ОМногомерной случайной величиной или случайным вектором Х(ω)

называется совокупность случайных величин {X1 (ω), X 2 (ω),..., X n (ω)} . Рас-

смотрим двумерную случайную величину X (ω) ={X (ω),Y (ω)} .

0 X x 0 X x

6.1.1. Функция распределения многомерной случайной величины

О Функцией распределения многомерной случайной величины назы-

вается величина F (x1, x2 ,..., xn ) = P{X1 < x1, X2 < x2 ,..., Xn < xn}.

Событие в фигурных скобках означает произведение событий

{} ={X1 < x1}{X 2 < x2 } ... {X n < xn }, т.е. события происходят одновременно.

Т.о. F (x1 ,..., xn ) = P({X1 < x1} ... {X n < xn }) . Функция распределения F(x1, …, xn) называется совместной функцией распределения одномерных случайных величин.

Рассмотрим двумерную случайную вели-

случайной величины в пределы заданного прямоугольника со сторонами a1b1 и a2b2 :

P(a1 ≤ X < b1; a2 ≤Y < b2 ) = F (b1,b2 ) − F (a1 ,b2 ) − F(b1, a2 ) + F(a1, a2 ).

Доказательство:

Вероятность попадания в заштрихованную область равна вероятности попадания в квадрант с вершиной (b1,b2) минус вероятность попадания в квадрант с вершиной ( a1 , b2 ) минус вероятность попадания в квадрант с вершиной (b1,a2), вероятность попадания в квадрант с вершиной в точке (a1,a2) вычли 2 раза, следовательно, ее нужно прибавить.

6.1.2.Дискретные многомерные случайные величины (ДМСВ)

Рассмотрим случай 2-х дискретных случайных величин.

ОX ={X ,Y} называется дискретной, если случайные величины X и Y име-

ют конечное множество возможных значений: X ={x1, x2 ,..., xk },

Y ={y1, y2 ,..., ys }.

ОВероятность того, что случайная величина X примет значение xi, а случайная величина Y – значение yj, называется законом распределения двумерной дискретной случайной величины , т.е. Pij = P{X = xi ;Y = y j }.

Событие есть произведение событий {X = xi }{Y = y j } ;Рij – совместная вероятность.

Закон распределения ДМСВ может быть задан аналогично ряду распределения для одномерной СВ таблицей (или матрицей) распределения.

!1). Pij ≥ 0, i, j ;

Т(о восстановлении одномерной вероятности).

По известной матрице распределения двумерной дискретной случайной величины (X,Y), можно записать ряды одномерных случайных величин X и Y.

ч.т.д.

Т.е., чтобы найти вероятность того, что одномерная случайная величина примет значение, например, xi(yj) надо просуммировать вероятности Pij, стоящие в i-той строке (j-том столбце) матрицы распределения.

Пример:

6.1.3. Непрерывные многомерные случайные величины (НМСВ)

ОX ={X ,Y} называется непрерывной, если ее функция распределения

F(x,y) является непрерывной функцией и имеет вторую смешанную про-

изводную ∂2 F(x, y) и ∂2 F (x, y) = f (x, y) .

∂x∂y ∂x∂y

Функция f(x,y) называется плотно-

стью распределения (совместной плотностью).

Свойства функции f (x,y):

1.f (x, y) ≥ 0 ;

2.∞∫ ∞∫ f (x, y)dxdy =1.

−∞−∞

Геометрически совместная плотность распределения – это поверхность. Объем, ограниченный поверхностью распределения и плоскостью OXY, равен 1.

Аналогично случаю одномерной СВ с

элементом вероятности f(x)dx в случае двумерной СВ вводится элемент веро-

ятности f(x,y)dxdy.

ОЭлемент вероятности равен вероятности попадания случайной точки (X,Y) в элементарный прямоугольник dxdy, а вероятность приблизительно равна объему f(x,y)dxdy.

ОВероятность попадания случайной точки (X,Y) в область D плоскости XOY геометрически означает объем тела с основанием D и ограниченного сверху поверхностью f(x,y). P{( X ,Y ) D} = ∫∫ f (x, y)dxdy .

D

Зная совместную плотность распределения двумерной случайной величины f (x, y) , можно найти функцию распределения F(x, y) по формуле

x y

F(x, y) = ∫ ∫ f (x, y)dxdy ,

−∞ −∞

что непосредственно следует из определения плотности распределения двумерной СВ.

Т( о восстановлении одномерной плотности).

Если известен закон распределения НМСВ, то можно найти закон распределения каждой из величин.

f1 (x) = ∞∫ f (x, y)dy; f2 ( y) = ∞∫ f (x, y)dx .

−∞ −∞

Т(критерий независимости). Дискретные случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда Pij = pi qj ;

Pij = P{X = xi ;Y = y j }; pi = P{X = xi } ; qj = P{Y = y j }.

Таким образом, каждый элемент Pij матрицы распределения двух независимых случайных величин равен произведению соответствующих (i- того и j-того) элементов рядов распределения случайных величин X и Y.

ТНепрерывные случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда: f (x, y) = f1 (x) f2 ( y) .

Т.е., совместная плотность распределения равна произведению плотно-

сти распределения одномерных случайных величин.

Пример:

Рассмотрим предыдущий пример ( X ={X ,Y} равномерно распределена на D). Выясним, являются ли величины X и Y зависимыми, для этого проверим выполнение условия f (x, y)= f1 (x) f2 (y).