4сем / ПП_4_сем_pdf / ПП _01 _Элементы теории множеств и комбинаторики

ПП 1.№9.

Сколькими способами можно упорядочить

множество {1, 2, 3, … 2n} так, чтобы каждое четное

число имело четный номер?

РЕШЕНИЕ:

Число мест с четными номерами равно n . Четные

числа можно расставить на них n! способами. При

этом по основному принципу комбинаторики мы

(n!)2

должны учесть, что если мы упорядочиваем 2n

чисел, среди которых n нечетных, это число должно

быть умножено на n! способов размещения

нечетных чисел на местах с нечетными номерами.

Следовательно, существует

n! n! =

(

n!

2

способов

)

таких упорядочений.

ПП1.№10.

Сколько можно составить перестановок из n

элементов, в которых данные 2 элемента не стоят

рядом?

РЕШЕНИЕ:

Имеется n мест. Посчитаем число способов

размещения n элементов на этих местах, когда

элементы a и b стоят рядом. Число способов

размещения элемента b справа от элемента a равно

(n-1), так как попарно они могут занять первое-

второе, второе-третье, …, (n-1) и n места.

Элементы a и b можно поменять местами,

следовательно, существует 2(n −1)способа

(n −2)

размещения a и b рядом.

(n −1)!

Кроме того, по основному принципу

комбинаторики нужно учесть, что каждому из этих

способов соответствует (n-2)! перестановок других

элементов.

Следовательно, число перестановок, в которых a и

b стоят рядом, равно:

2 (n −1)(n −2)! = 2 (n −1)!

ПП 1.№12.

Студенту нужно сдать 4 экзамена за 8 дней.

Сколькими способами можно это сделать?

РЕШЕНИЕ:

а) Искомое число способов равно числу

четырехэлементных упорядоченных подмножеств

а) 1680,

(дни сдачи экзаменов) множества из 8 экзаменов:

б) 840

Α84 =8 7 6 5 =1680 .

б) Если последний экзамен нужно сдавать на

восьмой день, то число способов равно

4 A73 4 = 4 7 6 5 4 =840 .

ПП 1.№13.

Колода карт для игры в бридж состоит из 52 карт,

которые делятся на четыре равные группы по

масти. Карты каждой масти различают по

значению. Имеется 13 значений (2, 3, … 10, валет,

дама, король, туз). Сколько комбинаций карт может

быть у одного игрока при игре в бридж, если

6 1011

порядок карт у игрока не существенен?

РЕШЕНИЕ:

Число различных комбинаций карт у одного игрока

равно C5213 =

52!

= 635013559600 .

13! 39!

ПП 1.№14.

Дана прямоугольная сетка квадратов размером m+n

(«шахматный город»). Каково число различных

кратчайших путей по сторонам ячеек сетки из

левого нижнего угла в правый верхний угол?

РЕШЕНИЕ:

Каждый кратчайший путь

из точки (0,0)

в точку (m,n) состоит из

Cmn +n

(m+n) отрезков,

причем среди них есть m

горизонтальных

и n вертикальных. Разные

пути отличаются лишь порядком их чередования.

Общее число способов, которыми из m+n отрезков

можно выбрать n вертикальных, равно Cmn +n =Cmm+n .

ПП 1.№15.

Сколькими способами из команды в 7 человек

а) можно выбрать трех лучших,

б) наградить их золотой, серебряной и бронзовой

35,

медалями?

РЕШЕНИЕ:

210

а) Искомое число способов равно числу

трехэлементных подмножеств множества из 7

элементов, т.е. числу сочетаний из семи элементов

C73 =

7!

=1 2 3 4 5 6 7

=35 ;

3! 4! 1 2 3 1 2 3 4

C6 (3,2,1)=

6!

= 60 .

3!

2! 1!

ПП 1.№17. Сколько различных слов можно составить из п

букв, если имеется k1 букв a1, k2 букв a2 … и kr

букв ar (k1 + k2+… + kr = n)?

Сколько различных слов можно составить из слова

«математика»?

РЕШЕНИЕ:

Перенумеруем места, на которых стоят буквы,

числами 1, 2, … п. Каждое слово определяется

множествами: b1 {номера мест, на которых стоит

буква a1}, b2 {номера мест, на которых стоит буква

a2} и далее до br. Следовательно, число различных

слов равно числу способов, которыми можно

151200

множество А = {1,2, … n} разбить на r

упорядоченных частей bi (i=1, 2, … r), то есть

Cn (k1, k2, …kr).

Найдем число различных слов, которое можно

составить из слова «математика».

В этом случае

n =10, k1 (M ) = 2, k2 ( A) =3, k3 (T ) = 2,

k4 (E) =1, k5 (И) =1, k6 (К) =1,

и число слов равно

10!

C10 (2,3, 2,1,1,1) =

=151200 .

2!3!2!

D72 =C86 =

8!

= 8 7 =28 .

6! 2!

2

ПП 1.№19. Сколькими способами можно выбрать 6

одинаковых или разных пирожных в кондитерской,

где есть 11 разных сортов?

8008

РЕШЕНИЕ:

6 15 14 13 12 11

D116 =C116 =

16!

=

=8008 .

6!10!

6 5 4 3 2

ПП 1.№21. В магазине «Все для чая » есть 4 чайные ложки.

Сколькими способами можно купить комплект из

чашки, блюдца и ложки?

РЕШЕНИЕ:

Выберем любой из 15 комплектов предыдущей

60

задачи. Его можно дополнить ложкой четырьмя

различными способами. Поэтому общее число

возможных комплектов равно

60(60 =15 4 =5 3 4).

ПП 1.№22. В магазине «Все для чая » по прежнему продается

5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими

способами можно купить два предмета с разными

названиями?

РЕШЕНИЕ:

Возможны три разных случая: первый –

47

покупаются чашка с блюдцем, второй – чашка с

ложкой, третий – блюдце и ложка. В каждом из

этих случаев легко сосчитать количество

возможных вариантов (в первом – 15, во втором –

20, в третьем - 12). Складывая, получаем общее

число возможных вариантов: 47

ПП 1.№23. Алфавит племени Мумбо-Юбмо состоит из трех

букв А,Б,В. Словом является любая

последовательность, состоящая не более, чем из 4

120

букв. Сколько слов в языке Мумбо-Юбмо?

РЕШЕНИЕ:

Сосчитайте отдельно количество одно-, двух-,

трех-, четырехбуквенные слова.

3 +32 +33 +34 =120 .

ПП 1.№24. Сколькими способами можно сделать трехцветный

флаг с горизонтальными полосами одинаковой

ширины, если имеется материя шести различных

цветов?

РЕШЕНИЕ:

Цвет для верхней полоски флага можно выбрать

шестью разными способами. После этого для

120

средней полоски флага – четыре различных цвета.

Таким образом, флаг можно сделать

6 5 4 =120 способами.

ПП 1.№25. Сколько существует трехзначных чисел, в записи

которых цифры 1, 2, 3 встречаются ровно по

одному разу?

РЕШЕНИЕ:

Будем рассуждать точно так же, как при решении

задач предыдущего цикла. На первое место можно

поставить любую из трех цифр, на второе – любую

3!

из двух оставшихся, а на третье – последнюю

оставшуюся цифру. Таким образом, всего

получается 3 2 1 =3 ! чисел.

ПП 1.№27. Сколько диагоналей в n-угольнике?

РЕШЕНИЕ:

n(n −3)/ 2

В качестве первого конца диагонали можно взять

любую из n вершин, а в качестве второго - любую

из n – 3 вершин, отличных от выбранной и двух

соседних с ней. При этом подсчете каждая

диагональ учитывается дважды.

n(n −3)/ 2 .

записи которых встречаются только нечетные

цифры, то их количество, очевидно равно

56 =15625 . Всего 6-значных чисел 900000. Поэтому

количество 6-значных чисел, обладающих

указанным свойством, равно 900000 −15625 =884375 .

ПП 1.№29. В алфавите племени Бум-Бум шесть букв. Словом

является любая последовательность из шести букв,

в которой есть хотя бы две одинаковых буквы.

Сколько слов в языке племени Бум-Бум?

РЕШЕНИЕ:

6

6

−6

!

66 −6 !.

ПП 1.№30.

План города имеет схему,

изображенную на рисунке. На всех улицах введено

одностороннее движение : можно ехать только

«вправо» или «влево». Сколько есть разных

маршрутов, ведущих из точки А в точку В?

РЕШЕНИЕ:

Для удобства назовем улицей отрезок,

изображенной сетки, соединяющий два соседних

узла. Ясно, что каждый маршрут содержит ровно 13

улиц, причем 8 из них расположены по

горизонтали, а 5 – по вертикали. Сопоставим

C5

каждому маршруту последовательность букв Г и В

13

следующим образом: при прохождении

«горизонтальной» улицы маршрута будем

дописывать в последовательность букву Г, а при

прохождении «вертикальной » улицы – букву В.

Например, маршруту, выделенного на рисунке,

соответствует последовательность

ГВВГГГВГГВВГГГ. Каждая последовательность

содержит 13 букв – 8 букв Г и 5 букв В. Осталось

вычислить количество таких последовательностей.

Последовательность однозначно задается набором

из 5 мест, на которых в ней стоят буквы В (или

наоборот из 8 мест, на которых стоят буквы Г).

Пять мест из 13 можно выбрать C135 способами.

Поэтому число возможных последовательностей, а

значит, и число возможны маршрутов, равно C135 .

Понятно, что в прямоугольнике m ×n совершенно

аналогичные рассуждения приводят к ответу Cmm+n

(или, что то же самое, Cmn +n ).

ПП 1.№31

Шесть ящиков занумерованы от 1 до 6. Сколькими

способами можно разложить по этим ящикам 20

одинаковых шаров так, чтобы ни один ящик не

оказался пустым?

РЕШЕНИЕ:

Выложим шары в ряд. Для определения расклада

наших шаров по шести ящикам разделим ряд пятью

перегородками на шесть групп: первая группа для

C5

первого ящика, вторая – для второго и так далее.

19

Таким образом, число вариантов раскладки шаров

по ящикам равно числу способов расположения

пяти перегородок. Перегородки могут стоять на

любом из 19 мест (между 20 шарами – 19

промежутков). Поэтому число возможных

расположений равно C195 .

ПП 1.№32

Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6 .

Сколькими способами можно разложить по этим

ящикам 20 одинаковых шаров (на этот раз

некоторые ящики могут оказаться пустыми)?

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим ряд из 25 предметов: 20 одинаковых

шаров и 5 одинаковых перегородок,

расположенных в произвольном порядке. Каждый

такой ряд однозначно соответствует некоторому

способу раскладки шаров по ящикам: в первый

ящик попадают шары, расположенные левее первой

перегородки, во второй – расположенные между

C255

первой и второй перегородками и т.д. (между

какими-то перегородками шаров может и не быть).

Поэтому число способов раскладки шаров по

ящикам равно числу различных рядов из 20 шаров

и 5 перегородок, т.е. равно C255 (ряд определяется

теми пятью местами из 25, на которых стоят

перегородки.). Отметим, что другое решение задачи

31 можно получить так: положим сначала в каждый

ящик по одному шару (теперь наверняка не будет

пустых), а потом воспользуемся результатом задачи

32.

ПП 1.№33

Сколькими способами натуральное число n можно

а) Cnk−−11

представить в виде суммы

а) k натуральных слагаемых;

б) Cnn+k −1

б) k неотрицательных целых слагаемых

(представления, отличающиеся порядком

слагаемых, считаются различными)?

РЕШЕНИЕ:

Представим n в виде суммы n единиц:

n =1+1+...+1 . Назовем теперь эти n единиц

«шарами», а k слагаемых из условия задачи –

«ящиками».

а) Cnk−−11

б) Cnn+k −1