4сем / ПП_4_сем_pdf / ПП _05 _Формула полн вер Байеса

∑n

Hi =Ω, Hi H j = ,i ≠ j ),

и известны

«априорные»

(доопытные, от

i=1

латинского «a priori») вероятности: P(H1), P(H2 ),..., P(Hn ) , ∑n

P(Hi ) =1.

i=1

После опыта произошло событие А. «Апостериорные» (послеопытные,

от

латинского «a posteriori»)

вероятности

гипотез: P (H1

A), P (H2

A),…,

P (Hn

A) равны:

P (Hi )P (A

Hi )

P (Hi

A)=

, i =1,2...,n .

n

∑P (Hi )P (A

Hi )

№ п/п

Задание

Ответ

В тире имеется 5 ружей, вероятность попадания

из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7;

0,8 и 0,9. Определите вероятность попадания

при одном выстреле, если стреляющий берет

одно из ружей наудачу.

РЕШЕНИЕ:

ПП 5.№1.

Гипотезы:

{взято k -ое ружье}; P (Hk )= 1 .

0,7

Hk (k =1, 2,3, 4,5)

5

Событие A {попадание при одном выстреле из

наудачу взятого ружья}.

По формуле полной вероятности

P (A)= 1

(0,5+0,6+0,7+0,8+0,9)= 0,7 .

5

Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук,

причем в каждой партии одно изделие

бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой

партии, переложено во вторую, после чего

выбирается наудачу изделие из второй партии.

Найдите вероятность того, что это изделие

бракованное.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим гипотезы, что переложенное

ПП 5.№2.

изделие H1 {годное}; H2 {бракованное}.

0,098

P (H1 )= 11 ; P (H2 )=

1

.

12

12

Событие A {изделие, взятое из второй партии,

оказалось бракованным}.

P (A / H1 )=

1

; P (A / H2 )

=

2

.

11

11

По формуле полной вероятности

P (A)= P (H1 )P (A / H1 )+ P (H2 )P (A / H2 )=

= 11

1

+

1

2

=

13

= 0,098

12

132

12

11

11

Пятнадцать экзаменационных билетов содержат

по 2 вопроса. Студент может ответить только на

25 вопросов. Найдите вероятность того, что

ПП 5.№3.

экзамен будет сдан, если для этого достаточно

0,936

ответить на два вопроса из одного билета или на

один вопрос из первого билета и на указанный

дополнительный вопрос из другого билета.

P(H )=

C252

=

60

, P(H

)

=

C251 C51

=

25

,

P(H

)=

C52

=

2

.

1

C2

87

2

C2

87

3

C2

87

30

30

30

Событие А – {экзамен сдан}; условные

вероятности:

24

P (A

H1 )=1 , P (A

H2 )=

, P

(A

H3 )=0 .

28

Тогда по формуле полной вероятности

P (A)= ∑3

P (Hk

)P (A / Hk )=

60

1+

25

24

=

190

= 0,936 .

28

203

k =1

87

87

На

рисунке

изображена схема

дорог.

Туристы

вышли из пункта

A,

выбирая

на

развилках

наудачу

один из

возможных путей.

Какова

вероятность,

что

они попадут в пункт B?

РЕШЕНИЕ:

ПП 5.№4.

Гипотезы:

0,558

H1

{туристы выбрали путь C};

P (A / H1 )=

1 ; P (A / H2 )=

1 ;

P (A / H3 )=1;

P (A / H4 )=

3

2

Тогда по формуле полной вероятности

4

1

1

1

2

67

= 0,558 .

P (A)= ∑P (Hk )P (A / Hk )==

+1+

+

=

3

2

5

120

k =1

4

В первой урне 10 шаров, 8 из них - белые; во

второй урне 20 шаров, из них 4 - белые. Из

каждой урны наудачу извлекли по одному шару,

а затем из этих двух шаров наудачу извлекли

один шар. Найдите вероятность того, что этот

шар белый.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим гипотезы:

ПП 5.№5. H1

{выбран шар из первой урны};

0,5

H2

{выбран шар из второй урны}.

P (H1 )= 1

; P

(H2 )

=

1 .

2

2

Обозначим

через

A событие {шар

белый}.

P (A / H1 )=

8

; P (

A / H2 )=

4

.

10

20

P (

A)= 1

8

+

1

4

= 0,5.

10

20

2

2

ПП 5.№6.

изготовлен на первом заводе}, H2

{компьютер

0,918

изготовлен на втором заводе}, H3 {компьютер

изготовлен на третьем заводе}.

События H1, H2 , H3 образуют полную

группу

несовместных

событий,

при

этом:

P(H1 ) = 0, 45; P(H2 ) = 0,15; P(H3 ) = 0, 40 ,

n

∑P(Hi ) = 0, 45 +

0,15 +0, 40 =1 .

i=1

По условию

P(A

H1) = 0,96; P( A

H2 ) = 0,84; P(A

H3 ) = 0,90 .

P( A) = P(H1 ) P( A / H1 ) + P(H2 ) P( A / H2 ) + P(H3 ) P( A / H3 ) =

=0, 45 0,96 +0,15 0,84 +0, 40 0,90 = 0,918 .

ПП 5.№7.

Из полного набора костей домино (28)

наугад

0,3(8)

берутся две кости. Найти вероятность того, что

ПП 5.№8.

одна гашеная, две - чистые},

H4

{среди вынутых

0,082

в первый раз марок все три чистые}.

P (H

)=

C0

C3

=

7

, P (H

)=

C1

C2

=

35

,

1

10

8

2

10

8

C3

102

102

C3

18

18

P (H

)=

C2

C1

=

45

, P (H

)=

C3

C0

=

15

.

3

10

8

4

10

8

C3

102

102

C3

18

18

После гашения

P (A| H

)=

C0

C

3

=

5

, P (A| H

)=

C

0

C3

=

7

,

1

8

10

2

9

9

34

68

C3

C3

18

18

P (A| H

)=

C0

C3

7

,

P (A| H

)=

C0 C3

35

.

3

10

8

=

4

11

7

=

C3

102

C3

816

18

18

P (A)=

7 120 +35 84 +45 56 +15 35

=

6825

≈0,082 .

102 816

83232

В ящике находятся 15 теннисных мячей, из

которых 9 новых. Для первой игры наугад

ПП 5.№9.

берутся

3

мяча,

которые

после

игры

возвращаются в ящик. Для второй игры также

0,117

наугад берутся три мяча. Найдите вероятность

того, что все мячи, взятые для второй игры –

новые.

P (H

)=

C3

84

, P (H

)=

C2

C1

=

216

,

1

9

=

2

9

6

C

3

455

C3

455

15

15

P (H

)=

C1

C

2

=

135

, P (H

)=

C3

=

20

.

3

9

6

4

6

455

C3

455

C3

15

15

Условные вероятности события A :

P (A| H

)=

C3

=

12

, P (A| H

)

=

C

3

=

8

,

9

8

C3

65

C

65

1

2

3

15

15

P (A| H

)=

C3

=

1

,

P

(A| H

)

=

C3

=

4

.

3

7

4

6

C3

13

C3

91

15

15

P(A)

=

84

84

+

216

56

+

135

35

+

20

20

≈0,117 .

455

455

455

455

455

455

455

455

В первой урне 20 белых шаров и 1 черный, во

второй – 50 белых и 6 черных шаров. Из первой

урны во вторую переложили 11 шаров, затем из

второй урны извлечен один шар. Найдите

вероятность того, что этот шар - белый.

РЕШЕНИЕ:

Событие А -

{шар, вынутый из второй урны

после перекладывания, белый}.

Рассмотрим две гипотезы:

H1 {все переложенные шары белые}, H2

{среди

ПП 5.№10. переложенных шаров есть черный}.

0,903

Вероятности гипотез

P (H

)=

C11 C0

=

10

, P (H

)=

C10

C1

=

10

.

20

1

20

1

C2111

C2111

1

21

2

21

Условные вероятности события A :

P (A

H1 )=

50 +11

=

61

, P

(A

H2 )=

50 +10

=

60

.

56 +11

56 +11

67

67

P (A)= P (H1 )P (A / H1 )+ P (H2 )P (A / H2 )=