4сем / ПП_4_сем_pdf / ПП _03 _Геом опр вер

Вероятность события А: P(A)=

µ(A)

, где µ(A)- мера области А. Таким

µ Ω

( )

№ п/п

Задание

Ответ

В круг радиуса R вписан квадрат. Найдите ве-

роятность того, что точка, брошенная в круг, по-

падет в квадрат.

РЕШЕНИЕ:

Площадь круга вычисляем

по формуле S =πR2 , а

площадь квадрата – по

ПП 3.№1.

формуле S = a2 . Сторона

квадрата может быть вы-

ражена через радиус опи-

санной окружности по

формуле a = R 2 . Тогда,

площадь квадрата S = a2

=(R 2 )2

= 2R2 .

P (A)

=

S (A)

=

2R2

=

2

.

πR2

S (Ω)

π

Пятая часть белого круга закрашена в черный

цвет. Какова вероятность попадания точки в

черный сектор?

ПП 3.№2.

РЕШЕНИЕ:

1 πR2

0, 2

S (A)

P (A)=

=

5

= 0, 2 .

S (Ω)

πR2

ПП 3.№3.

Проволока длиной в 20 см согнута в наудачу

0, 6

выбранной точке. После этого, перегнув прово-

x [0,3],

P (A)=

S

(

A

)

6

= 0, 6 .

x2 −10x +21 ≥ 0

=

S

(Ω)

10

x [7,10].

РЕШЕНИЕ:

Область всех исходов опыта

S (Ω) ─ прямоугольник на

плоскости

ПП 3.№4.

S (A)={a,b :

a

≤1,

b

≤1}.

2

Корни квадратного

3

уравнения действительны, ес-

ли D = a2 −b ≥ 0 . Область благоприятных исходов

будет часть области S (A), лежащая ниже пара-

болы b = a2 : S (A)= 2 +2∫0

x2dx = 2 +

2

1

=

8

.

2

3

0

P (A)=

S (A)

=

8

=

2

.

4

3

3

Sквадрата

Луч локатора перемещается в го-

ризонтальной плоскости с посто-

янной угловой скоростью. Какова

вероятность того, что цель будет

обнаружена в угловом секторе α

α

ПП 3.№5.

радиан, если появление

цели

по

2π

любому направлению одинаково возможно?

РЕШЕНИЕ:

12 R2α

P (A)=

Sсек

=

=

α

.

S

πR2

2π

кр

ПП 3.№6.

Ракета должна приземлиться в круг радиуса

0, 04,

0,125

5 км. Вероятность приземления в любое место

круга одинакова. Какова вероятность приземле-

ния ракеты:

а) от центра на расстоянии, меньшем 1 км;

б) в заданный сектор, составляющий 1/8 круга?

РЕШЕНИЕ:

Элементарные исходы испытания (приземления

ракеты)

являются

случайными. Событие A ─

{приземление в круг c радиусом 1, находящийся

внутри круга с радиусом 5}.

а) S (Ω) ─ площадь круга с радиусом 5 км, а об-

ластью S (A) ─ площадь круга с тем же центром

и радиусом 1 км. При этом S (Ω)= 25π км2,

S (A)=π км2.

P (A)=

S (A)

=

π

=

1

= 0, 04 .

25π

S (Ω)

25

б) S (B) ─ площадь сектора, площадь кото-

рого 25

π км2, cобытие

B −

{приземление в сек-

8

S (B)

тор}, P(B) =

==

25π

=

1

= 0,125 .

S (Ω)

8

8 25π

В круглую мишень попала пуля. Найдите веро-

ятность того, что расстояние от центра мишени

до пробоины меньше половины радиуса мише-

ни.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим

события:

Ω{попадание в мишень},

А {расстояние от центра

мишени

до

пробоины

ПП 3.№7.

меньше половины радиуса

0,25

мишени}.

Мерой события будем счи-

тать площадь плоской фи-

гуры. Вероятность попадания считаем пропор-

циональной площади фигуры.

S (A)

=π

R

2 ; S (Ω)=πR2 ,

2

где R – радиус мишени.

P (A)

=

S (A)

=

1

=0,25

S (Ω)

4

ПП 3.№8.

Монета радиуса R=1см, бросается на разграф-

0, 64

ленную поверхность квадрата со стороной l=5

см. Найдите вероятность того, что она будет ка-

саться стороны квадрата.

РЕШЕНИЕ:

S (Ω)=l 2 =25 cм2.

Событию

{монета не

A

касается стороны квад-

рата} отвечают точки

области

S (

)=(l −2R)2 =9.

A

Событию А {монета ка-

сается стороны квадра-

та} отвечают точки об-

ласти

S (A)=l2 −(l −2R)2 =16.

P (A)=

S (A)

=

16

= 0, 64 .

S (Ω)

25

На отрезок AB длины L наудачу ставится точка

C . Найти вероятность того, что длина меньшего

из получившихся отрезков AC и CB превосхо-

дит L / 3.

ПП 3.№9.

РЕШЕНИЕ:

0,(3)

Разобьём отрезок AB на три равные части. Если

точка C попадёт внутрь среднего отрезка, то

произойдёт нужное нам событие.

P( A) =

L / 3

= 1 = 0,(3).

L

3

Какова вероятность того, что сумма трех науда-

чу взятых отрезков, длина каждого из которых

не превосходит l , будет больше l ?

РЕШЕНИЕ:

Выберем начало

отсчета O и декар-

товую систему ко-

ординат Oxyz . От-

0,8(3)

ПП 3.№10.

ложим из начала

координат три от-

резка длиной l на

осях Ox , Oy , Oz со-

ответственно.

Множество Ω :

Ω ={(x, y, z)

0 ≤ x ≤l, 0 ≤ y ≤l, 0 ≤ z ≤l}

представляет собой куб со стороной l .

Событие A {сумма длин отрезков не превосхо-

Vкуба =l3 . Vтетр

= 1 l3 . Vкуба −Vтетр = 5 l3 .

6

6

P (A)=

Vкуба −Vтетр

=

5

= 0,8(3).

V

6

куба

Найдите вероятность того, что из трех наудачу

взятых отрезков, длина каждого из которых не

превосходит l , можно составить треугольник.

РЕШЕНИЕ:

Пусть x, y, z; 0 ≤ x, y, z ≤l . Область V (Ω) всех ис-

ходов опыта ─ куб в трехмерном пространстве.

Для построения треугольника необходимо вы-

полнение неравенств

x + z > y .

x + y > z,

y + z > x,

Область исходов

опыта, не удовле-

творяющих этим

0,5

ПП 3.№11. неравенствам, со-

стоит из трех тетра-

эдров, аналогичных

рассмотренному в

предыдущей зада-

че. Одно из ребер

этих тетраэдров

лежит на одной из осей координат. Суммарный

объем этих тетраэдров составляет половину объ-

ема куба (см. решение предыдущей задачи),

P (A)=

V (A)

=

1

= 0,5 .

V (Ω)

2