4сем / ПП_4_сем_pdf / ПП _12_Проверка_стат_гипотез

Итак, критерий проверки нулевой гипотезы

χ2 = (n −1)s2 .

σ02

Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной гипотезы.

В таблице критических точек распределения χ2 приводятся только «правые» критические точки. Это затруднение можно обойти следующим образом: так как события χ2 < χкрит2 .лев и χ2 ≥ χкрит2 .лев несовместны и в сумме составляют все пространство событий, то

P (χ2 < χкрит2 .лев )+ P (χ2 ≥ χкрит2 .лев )=1.

Поэтому P (χ2 < χкрит2 .лев ) находим из условия P (χ2 ≥ χкрит2 .лев )=1−α2 .

При χэксп2 < χкрит2 .лев или χ2 > χкрит2 .прав нулевая гипотеза отклоняется, в противном случае – принимается.

3). Нулевая гипотеза H0 :σ2 =σ02 . Альтернативная гипотеза H1 :σ2 <σ02 . Левосторонняя критическая область строится из условия

P (χ2 ≥ χкрит2 )=1−α .

При χэксп2 < χкрит2 .лев нулевая гипотеза отклоняется, в противном случае – принимается.

12.6.Непараметрические гипотезы. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова

Впредыдущих разделах рассматривались методы проверки гипотез относительно отдельных параметров генерального распределения. Особое место занимают гипотезы относительно согласованности выборочного распределения с теоретическим (генеральным) распределением. Критерии согласия позволяют ответить на вопрос о том, являются ли различия между выборочным и теоретическим распределениями столь незначительными, что они могут быть приписаны влиянию случайных факторов, или нет.

Пусть закон распределения генеральной совокупности неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид. В частности, если выполняются условия центральной предельной теоремы, есть основания ожидать, что генеральное распределение – нормальное; если выборочное среднее и выборочная дисперсия равны, то можно предполагать, что генеральная совокупность распределена по закону Пуассона и т.д. Эти утверждения носят характер гипотез, а не категорических утверждений, и должны быть подвергнуты статистической проверке.

Для проверки гипотезы H0 : закон распределения имеет данный вид (на-

пример, равномерный, нормальный и др.) используется специально подобранная с. в., которая называется критерием согласия.

Критерий согласия есть критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Имеется несколько критериев согласия: χ2 (хиквадрат) Пирсона, Колмогорова, Мизеса – Смирнова и др..

12.6.1. Критерий Пирсона

Рассмотрим случай, когда выборка представляется интервальным статистическим рядом. Для изучения случайной величины Х проведено n опытов, диапазон наблюдавшихся значений величины Х разбит на q интервалов. Ряд распределения имеет вид:

В соответствии с предполагаемым теоретическим законом распределения, вычислим вероятности попадания с.в. в соответствующий интервал pi = P(xi < X < xi +1 ) и рассмотрим величину

которая характеризует степень расхождения теоретических и эмпирических данных. Учитывая, что pi = mni , получим

Можно показать, что при n → ∞ распределение этой с.в., независимо от того, каков закон распределения генеральной совокупности, стремится к рас-

пределению Пирсона χ2 с числом степеней свободы ν = q −1−k , где k – число

параметров генерального распределения, оцениваемых на основании наблюденных данных. Если проверяется согласие выборочного распределения с распределением Пуассона, единственный параметр которого оценивается по выборочным данным, то ν = q −2 , если проверяется согласие с нормальным распределением, для которого по выборочным данным оцениваются два параметра

X и σ , то ν = q −3 и т.д.

При полном совпадении теоретического и экспериментального распределений χ2 = 0 , в противном случае χ2 > 0 . Задавшись уровнем значимости α , находим табличное критическое значение χα2 , при χнабл2 < χα2 принимаем гипо-

тезу H0 , при χнабл2 ≥ χα2 отклоняем гипотезу H0 о виде распределения.

В связи с асимптотическим характером закона Пирсона χ2 должны выполняться следующие условия:

1)выборка должна образовываться в результате случайного отбора;

2)объем выборки n должен быть достаточно большим (практически не менее 50 единиц);

3)численность каждой группы должна быть не менее 5 (если это условие не выполняется, производится объединение малочисленных интервалов).

12.6.2. Критерий Колмогорова

Величина χ2 зависит от группировки выборочной совокупности по интервалам, что вносит в оценку дополнительный элемент случайности.

В ряде случаев оказывается удобнее пользоваться критерием Колмогорова, основанном на сравнении эмпирической функции распределения F* (x) (по-

строенной на основании опытных данных) и предполагаемой теоретической функции распределения F (x). В качестве меры расхождения берется макси-

мум абсолютной величины разности между опытной F* (x) и теоретической

Если расхождения слишком велики, то гипотеза о том, что функция распределения генеральной совокупности имеет вид F (x), отвергается.

При достаточно больших объемах выборки (как показывает практика, при n > 20 ) можно пользоваться предельным распределением критерия, предложенным А.Н. Колмогоровым, формально справедливым при

n → ∞: если функция распределения генеральной совокупности F (x) непрерывна, то при n → ∞

При заданном уровне значимости α критерий Колмогорова отклоняет основную гипотезу H0 о виде функции распределения F (x), если Dn > D1−α , где

D1−α – квантиль уровня 1−α распределения случайной величины D при усло-

тивного вещества в продукции. Для контроля произведена выборка из 100 проб, которая дала mn = 0,152 . Считать ли ги-

потезу верной или продукцию следует забраковать как не соответствующую нормативам?

РЕШЕНИЕ:

1) Рассмотрим сначала случай, когда отклонения от нормати-

ППва в обе стороны нежелательны, т.е. когда проверка произво-

Так как mn = 0,152 оказывается в допустимой области, гипотеза

H0 не отклоняется, партия продукции признается стандарт-

ной.

2) Пусть теперь недопустимым является только превышение

нормативного содержания активного вещества, т.е. проверка должна быть произведена против альтернативы H1 : p > a . При том же уровне значимости α = 0,05 zα =1,65 и

блюдаемое значение критерия попадает в критическую область и с тем же уровнем значимости нулевая гипотеза должна быть отклонена, партия продукции не соответствует стандарту.

б) Сравнение долей признака в двух совокупностях. 1. Большие выборки.

Наблюдаемое значение Θнабл = 1004 − 50012 = 0,016 , т.е. лежит в до-

пустимой области. Таким образом, наблюдаемые различия не противоречат гипотезе H0 и полученное расхождение с уров-

нем значимости α = 0,01 можно считать несущественными.

б) Сравнение долей признака в двух совокупностях. 2. Малые выборки.

Пусть число бракованных изделий в экспериментальной партии составило 9 из 50, а в контрольной – 7 из 30. Оценить с уровнем значимости α = 0,05 существенность расхождений долей брака в этих двух партиях.

РЕШЕНИЕ:

Расчет теоретических частот производим по оценке

При уровне значимости α = 0,05 проверить, обеспечивает ли станок необходимую точность.

РЕШЕНИЕ:

Найдем характеристики выборки. Вычисляем выборочное среднее:

Так как ни один из параметров предполагаемого распределения не находился по выборке, то k = 0 б q = 4 и число степеней

свободы ν = 4 −(1+0)= 3. По таблице для ν = 3 и α=0,05 находим критическую точку χкр2 = 7,82 . Так как χнабл2 = 4,56 < χкр2 = 7,82 , гипотеза о равновероятности получить

вопрос по любой из четырех частей курса не отвергается.

Распределение признака Х в выборке задано интервальным вариационным рядом (первый и второй столбцы таблицы). При уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении Х в генеральной совокупности, используя критерий Пирсона.

РЕШЕНИЕ:

По данному интервальному ряду составим вспомогательный ряд (в качестве значений возьмем середины интервалов, в качестве вероятностей – относительные частоты):

Для вспомогательного ряда найдем выборочное среднее X B =9,643 и исправленную выборочную дисперсию sB2 = 0,166 .

Принимая их в качестве точечных оценок соответствующих параметров генерального распределения, по таблице значений функции Лапласа найдем теоретические частоты (третий столбец исходной таблицы).

При дальнейших вычислениях объединим интервалы с малыми числами наблюдений (числа в таблице обведены рамками) и найдем наблюдаемое значение критерия χнабл2 = 7,06 (четвер-

тый – шестой столбцы исходной таблицы). При уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν =11−(1+2)=8

табличное критическое значение χкр2 =15,5. Так как

χнабл2 = 7,06 < χкр2 =15,5 , гипотеза о нормальном законе распределения Х в генеральной совокупности не противоречит опытным данным (гипотеза не отвергается).

12.6.2. Критерий Колмогорова

Для выборки из предыдущего примера проверить гипотезу о нормальном распределении Х в генеральной совокупности с помощью критерия Колмогорова.

РЕШЕНИЕ:

При применении критерия Колмогорова проделываются следующие действия:

1. По опытным данным выдвигается гипотеза о законе распределения.

потеза не отвергается.

Применим критерий Колмогорова к задаче, рассмотренной в предыдущем примере.

Составим таблицу: