4сем / ПП_4_сем_pdf / ПП _11 _Оценки пар расп

ное среднее λ* =

xB

.

Случайная величина X распределена по показательному

закону с плотностью распределения

f (x)= λe−λx

(x ≥ 0) и

неизвестным параметром λ . Методом максимального

правдоподобия по выборке x1 ,x2 ,...,xn оценить значение

этого параметра.

РЕШЕНИЕ:

Составим логарифмическую функцию правдоподобия:

ln L(x1 ,x2 ,...,xn ;λ)=ln(λe−λx1 λe−λx2 ... λe−λxn

)=

=ln(λne−λ∑xi )= nln λ −λ(∑xi ).

d ln L

n

Уравнение правдоподобия:

dλ

=

−(∑xi )= 0 ,

его ре-

λ

11.ПП

(∑xi

) −1

1

.

n

=

xB

∑xi

Проверим выполнение достаточных условий экстрему-

ма: d 2 ln L = −

n

< 0 , т.е., λ =

1

– точка максимума,

и в

dλ2

λ2

xB

f (x)

1

e−

(x−a)2

закону с плотностью распределения

=

2σ2 и

σ

2π

неизвестными параметрами a и σ . Методом максималь-

ПП

ного правдоподобия по выборке x1 ,x2 ,...,xn

оценить значе-

ние этих параметров.

11.№6. РЕШЕНИЕ:

Составим логарифмическую функцию правдоподобия:

ln L(x1 ,x2 ,...,xn ;a,σ ) =

1

e−

(x1 −a)2

1

e−

(x2 −a)2

1

e−

(xn −a)2

=ln

2σ2

2σ2 ...

2σ2

=

2π

σ

2π

σ 2π

σ

1

1

∑(xi −a)2

n

ln (

2π )−

1

−

∑(xi

−a)

2

2

=ln

e 2σ

= −nlnσ −

(

2π )

n

2

2σ

2

σ

n

.

Уравнения правдоподобия:

∂ln L

∑xi

−na

∂ln L

n

∑(xi −a)2

∂a

=

σ

2

= 0

,

= −

+

σ3

= 0 ,

∂σ

σ

(∑xi )

их

решение

(критическая

точка): a =

=

,

xB

n

∑(xi −a)2

σ2 =

= D .

n

B

талей. Дано: n = 50,

= 10 г, σ2

= 0,09 и P = 0,95. Из

X B*

равенства P = 2Ф(t )= 0,95

по таблицам функции Лапласа

находим t = 1,96, откуда ε =

tσ

=

1,96 0,3 = 0,083 . Таким

n

50

t =

ε

n

0,05 50

=1,1785

. По таблицам функции Ла-

σ

=

0,3

tσ 2

1,96 0,3

2

n =

ε

=

0,05

≈138,2976 ≈140 .

11.№8.

0,95

находим

tγ

=

2,03.

Тогда точность

оценки

tγ s

=

2,03 3

=1,015 .

n

36

Доверительный интервал для a

(

в −1,015;

в +1,015)= (22,985;25,015).

Х

Х

Известно, что с.в. Х распределена нормально. По выбор-

ке объема n = 25 найдено исправленное выборочное с.к.о.

s = 0,8 . Найти

доверительный

интервал, покрывающий

генеральное с.к.о. с надежностью 0,95.

РЕШЕНИЕ:

1 способ. По таблице q = q (n,γ )

и данным n = 25 и γ = 0,95

находим q = 0,32 .

Искомый

доверительный

интервал

(симметричный):

s (1 −q)<σ < s (1+ q),

0,8 (1 −0,32)< σ < 0,8 (1+ 0,32) или 0,544 <σ <1,056 .

ПП

2 способ. По

γ = 0,95

находим α = 0,025 и критические

11.№9.

точки для n = 25 :

χ2кр(−) =13,12 ,

χ2кр(+) = 40,65

и интервал (несимметричный) для σ :

s n −1

<σ <

s n −1

,

0,625 <σ <1,113 .

χ2

χ2

кр(+)

кр(−)