
- •5. Теория колебаний 5
- •6. Теория волновых процессов 48
- •Теория колебаний
- •Введение
- •Условия возникновения колебаний в системе. Таблица аналогий между механическими и электромагнитными колебаниями
- •Общие дифференциальные уравнения, описывающие колебания в произвольной системе
- •Механические незатухающие гармонические колебания в замкнутой системе
- •Квазиупругая сила. Математический и физический маятники. Гармонический осциллятор
- •Гармонические электромагнитные колебания в закрытом идеальном колебательном контуре
- •Сложение гармонических колебаний
- •Векторная диаграмма. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
- •СложениеNгармонических колебаний одного направления, одинаковой амплитуды и частоты, начальные фазы которых образуют арифметическую прогрессию
- •Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу
- •Модулированные колебания
- •Спектральное представление различных сигналов
- •4. Наиболее общий случай: произвольная периодическая функция.
- •Затухающие колебания
- •Дифференциальное уравнение затухающих колебаний, его решение
- •Характеристики, вводимые для описания затухающих колебаний
- •Вынужденные колебания
- •Уравнения вынужденных колебаний, их решения
- •Резонансные кривые для амплитуды напряжения на конденсаторе, для амплитуды смещения в механической системе. Явление резонанса
- •Резонансные кривые для амплитуды силы тока в контуре, для амплитуды скорости материальной точки в механической системе
- •Разность фаз колебаний между силой тока и напряжениями на конденсаторе, индуктивности и активном сопротивлении колебательного контура. Фазовые резонансные кривые
- •Переменный электрический ток
- •Энергетика резонанса. Некоторые примеры проявления и применения резонанса в природе и технике
- •Нелинейные системы. Автоколебания
- •Параметрические колебания. Параметрический резонанс
- •Нормальные колебания (моды). Связанные колебательные системы
- •Теория волновых процессов
- •Волны в упругой среде
- •Характеристики волновых процессов
- •Уравнение волны. Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение. Уравнение сферической волны
- •Энергия упругой волны. Объемная плотность энергии. Вектор Умова
- •Стоячие волны. Колебания струны
- •Интерференция волн
- •Волновой пакет. Групповая скорость. Дисперсия волн
- •Звуковые волны. Скорость упругих волн в различных средах
- •Эффект Доплера для упругих и электромагнитных волн
- •Электромагнитные волны
- •Волновые уравнения для электромагнитной волны (эмв). Уравнение плоской монохроматической эмв.
- •Свойства эмв
- •Давление эмв. Опыты п.Н. Лебедева, подтверждающие электромагнитную природу света
- •Излучение эмв
- •6.2.4.1. Шкала эмв и способы возбуждения эмв
- •6.2.4.2. Излучение эмв диполем
- •Опыты с эмв
- •Ударные волны. Уединенные волны
- •Часть 4 колебания и волны
- •620002, Екатеринбург, Мира, 19
Вынужденные колебания
Уравнения вынужденных колебаний, их решения
Под
вынужденными
колебаниями
понимают колебания, происходящие в
системе в результате внешнего воздействия
(внешней силы или внешнего напряжения),
изменяющегося со временем по гармоническому
закону. При этом колебания в системе
происходят на циклической частоте
внешнего воздействия, а амплитуды
колебаний различных величин в системе
будут зависеть от этой частоты.
Рассмотрим дифференциальное уравнение и его решение для вынужденных колебаний, происходящих в колебательном контуре под действием внешнего напряжения, изменяющегося по гармоническому закону
.
(5.60)
В этом случае дифференциальное уравнение (5.1) примет следующий вид:
.
(5.61)
Известно, что решением этого уравнения является следующее выражение
.
(5.62)
Из формулы (5.62) следует, что первое слагаемое представляет собой уравнение свободных затухающих колебаний системы и амплитуда этих колебаний с течением времени уменьшается. Если взять время t, большее времени установления стационарного режима колебаний в контуре (t > t уст), то тогда в выражении (5.62) останется только второе слагаемое (первым слагаемым можно пренебречь), которое представляет собой уравнение вынужденных колебаний заряда q на обкладках конденсатора
t
> t
уст:
.
(5.63)
Аналогичные уравнения можно записать для напряжения UC на конденсаторе и силы тока I в контуре
,
.
(5.64)
Как
уже отмечалось, амплитуды колебаний
этих величин зависят от частоты
внешнего напряжения, такие зависимости
называютрезонансными
кривыми:
,
,
.
Выведем формулы для этих зависимостей. Для этого используем формулу Эйлера (5.40) для комплексной формы записи гармонического колебания.
,
,
,
.
Подставим эти выражения в формулу (5.61):
,
.
Два комплексных числа равны, если будут равны их вещественные и мнимые части, поэтому
,
.
(5.64а)
Возведем каждое уравнение (5.64а) в квадрат, сложим их и получим
.
(5.65)
Разделим уравнения (5.64а) одно на другое, что приводит к формуле
.
(5.66)
Используя выражение (5.65), запишем
.
(5.67)
.
(5.68)
Рассмотрим
подробнее резонансные кривые для
амплитуды напряжения на конденсаторе
и амплитуды силы тока
в
контуре.
Резонансные кривые для амплитуды напряжения на конденсаторе, для амплитуды смещения в механической системе. Явление резонанса
Исследуем
функцию
(5.67) для различных значений угловой
частоты внешнего напряжения
.
1.
ω=0:
,
т.е.
постоянное напряжение, подаваемое в
контур, представляет собой напряжение
на конденсаторе или все резонансные
кривые для частоты
,
равной нулю (
),
выходят из одной точки.
2.
:
,
т.е. при больших частотах внешнего воздействия все резонансные кривые стремятся к нулю. Это связано с тем, что система не успевает за изменениями внешнего воздействия и амплитуда колебаний в контуре уменьшается.
3.
.
Найдем угловую частоту
,
при которой зависимость
имеет максимальное значение. Оно будет
наблюдаться в том случае, когда выражение
под знаком квадратного корня в формуле
(5.67) будет минимальным. Поэтому
.
(5.69)
Подставляя
в формулу (5.67), для максимального значения
амплитуды напряжения на конденсаторе
получим
.
(5.70)
Величина
получила
название резонансной частоты. В условиях
малого затухания (Q
>>1) для
частоты
можно
записать
,
(5.71)
т.е. амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе во много раз превышает амплитуду внешнего напряжения, подаваемого в контур. Это явление получило название явления резонанса. Под резонансом понимают явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к частоте собственных свободных незатухающих колебаний системы.
На
рис. 5.17,а приведены резонансные кривыедля
идеального колебательного контура (
)
и для двух значений сопротивления R
в нем (
,
т.е.
).
При этом считается, что индуктивность
L
катушки и электроемкость C
конденсатора контура не изменяются,
т.е. частота
при этом остается неизменной.
Можно
отметить, что для идеального колебательного
контура максимум резонансной кривой
приходится на частоту
,
равную
(
),
причем максимальное значение при этом
стремится к бесконечности (рис.5.17,а).
При увеличении сопротивления
контура
коэффициент затухания
увеличивается, а максимальное значение
и частота
,
на которую он приходится, уменьшаются
(рис. 5.17,а).
Рис. 5.17
В
случае механической системы резонансную
кривую
для амплитуды смещения груза (м.т.) от
положения равновесия можно получить,
используя табл. аналогий 5.1:
;
;
;
.
(5.72)
.
(5.73)
Графики
резонансных зависимостей
от
при различных значениях коэффициента
затухания
,
т.е. при различных значениях коэффициента
r
сопротивления среды, и постоянной
частоте
приведены на рис .5.17,б.