Лекции Стечкина по матану
.pdf
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М. В. ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
ЛЕКЦИИ С. Б. СТЕЧКИНА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Том I
Mocква 2011 год
УДК 517.
Рецензент Доктор физико-математических наук, профессор В. М. Тихомиров
ЛЕКЦИИ С. Б. СТЕЧКИНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. Том I. / Под редакцией Т. В. Радославовой,
Н. Н. Холщевниковой.– М.: Изд-во ПС мех-мат ф-та МГУ, 2011 – 304 с.
Книга – результат обработки конспектов лекций по математическому анализу профессора С. Б. Стечкина, прочитанных на механико-матема- тическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова в 1967 – 1969 годах – в пору расцвета механико-математического факультета – и получивших высокую оценку его слушателей. Книга предназначена для преподавателей и студентов, изучающих математический анализ и, несмотря на давность лет, может вызвать значительный интерес.
Напечатано по инициативе кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ при поддержке меха- нико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова.
°c Механико-математический
факультет МГУ, 2011 г.
Сергей Борисович Стечкин. Рисунок В. И. Бердышева.
3
Предисловие
Несколько лет назад на кафедре математического анализа механи- ко-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова было высказано пожелание издать лекции лучших лекторов прошлых поколений, читавших на кафедре курсы математического анализа, в том числе лекции выдающегося математика и замечательного лектора профессора Сергея Борисовича Стечкина.
Раскрытие перед слушателями логики и перспектив развития математического знания, обращение к литературным афоризмам, меткие выражения, подчеркивающие смысл обсуждаемых понятий и доказательств, выделяли эти лекции из других курсов.
Данный текст появился из расшифровки и минимального редактирования студенческих конспектов А. Б. Кукаркина, Б. С. Стечкина и Н. Н. Холщевниковой. Прочитали текст и сделали много полезных замечаний В. С. Панферов и И. Г. Царьков. Подготовили рисунки А. С. Кочуров и Ю. В. Малыхин. Оказали техническое содействие и помощь в применении системы TEX А. С. Кочуров,
Ю. В. Малыхин и А. С. Стечкина. Любезно предоставил для печати свой рисунок В. И. Бердышев.
Все мы благодарны за внимание к работе и поддержку и. о. декана мех-мат факультета МГУ профессору В. Н. Чубарикову, профессору Т. П. Лукашенко и многим другим сотрудникам кафедры.
Разделы в основном определены лектором. В сносках помещены замечания и комментарии редакторов, а также некоторые изречения лектора. Нумерация сносок своя внутри глав. Нумерация рисунков сквозная внутри главы с указанием номера главы, например, рис. 3.8 – это восьмой рисунок в третьей главе.
Т.В. Радославова, Н.Н. Холщевникова
4
Оглавление
Часть I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ |
13 |
||
Глава 1. Основные понятия |
14 |
||
§ 1. |
Множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
|
§ 2. |
Логические символы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
18 |
|
§ 3. |
Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
20 |
|
|
3.1. |
Определение функции . . . . . . . . . . . . . . |
20 |
|
3.2. |
Образование понятия функции . . . . . . . . . |
21 |
|
3.3. |
Исторические замечания . . . . . . . . . . . . . |
21 |
|
3.4. |
Примеры элементарных функций . . . . . . . . |
21 |
|
3.5. |
Способы задания функции . . . . . . . . . . . . |
22 |
|
3.6. |
Действия над функциями . . . . . . . . . . . . |
23 |
|
3.7. |
Обратная функция . . . . . . . . . . . . . . . . |
24 |
|
3.8. |
Сложная функция . . . . . . . . . . . . . . . . |
26 |
|
3.9. |
Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . |
27 |
§ 4. |
Отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
28 |
|
Глава 2. Числовая прямая |
30 |
||
§ 5. |
Действительные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
30 |
|
|
5.1. |
Свойства рациональных чисел . . . . . . . . . |
30 |
|
5.2. |
Множество действительных чисел . . . . . . . |
31 |
|
5.3. Простейшие множества действительных чисел |
32 |
|
§ 6. |
Принцип непрерывности (различные формулировки ) |
33 |
|
|
6.1. |
Теорема отделимости . . . . . . . . . . . . . . . |
33 |
6.2.Принцип непрерывности Вейерштрасса . . . . 33
6.3. Принцип непрерывности Кантора . . . . . . . . |
35 |
§ 7. Мощность множества действительных чисел . . . . . |
35 |
|
5 |
Глава 3. Теория пределов |
38 |
||
§ 8. |
Точечное множество на числовой прямой . . . . . . . |
38 |
|
§ 9. |
Пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
39 |
|
§ 10. |
Свойства пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
42 |
|
|
10.1. |
Теоремы о пределах . . . . . . . . . . . . . . . . |
42 |
|
10.2. |
Действия над пределами . . . . . . . . . . . . . |
44 |
§ 11. |
Признаки существования предела функции . . . . . . |
46 |
|
|
11.1. |
Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . |
46 |
|
11.2. |
Оценочный признак . . . . . . . . . . . . . . . . |
46 |
|
11.3. |
Предел монотонной функции . . . . . . . . . . |
48 |
|
11.4. |
Число e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
49 |
§ 12. |
Пределы по Коши и по Гейне . . . . . . . . . . . . . . |
50 |
|
|
12.1. |
Последовательность Гейне . . . . . . . . . . . . |
50 |
|
12.2. Предел функции по Гейне |
|
|
|
|
(секвенциальное определение) . . . . . . . . . . |
51 |
|
12.3. |
1 |
52 |
|
Пример lim (1 + x) x = e . . . . . . . . . . . . . |
||
|
|
x→0 |
|
|
12.4. |
Предел сложной функции . . . . . . . . . . . . |
53 |
§ 13. |
Критерии существования пределов . . . . . . . . . . . |
54 |
|
13.1.Дополнения к принципам непрерывности . . . 54
13.2. |
Компактность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
55 |
13.3. Лемма Гейне – Бореля . . . . . . . . . . . . . . |
56 |
|
13.4. |
Критерии существования пределов . . . . . . . |
56 |
13.5. Критерий Коши существования предела |
|
|
|
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
59 |
§ 14. Порядки бесконечно малых . . . . . . . . . . . . . . . |
60 |
|
Глава 4. Непрерывные функции |
62 |
|
§ 15. Непрерывные функции в точке. Точки разрыва . . . |
62 |
|
15.1. Непрерывность функции в точке . . . . . . . . |
62 |
|
15.2. |
Точки разрыва функции . . . . . . . . . . . . . |
63 |
15.3. Колебание функции в точке . . . . . . . . . . . |
65 |
|
15.4. Точки разрыва монотонной функции . . . . . . |
66 |
|
15.5. |
Примеры разрывных функций . . . . . . . . . |
67 |
15.6. |
Секвенциальное определение |
|
|
непрерывности функции . . . . . . . . . . . . . |
68 |
§ 16. Действия над функциями, непрерывными в точке . . |
69 |
|
16.1.Простейшие свойства функций, непрерывных
в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
69 |
6
16.2.Действия над функциями, непрерывными в
|
точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
69 |
16.3. |
Теорема о непрерывности сложной функции . |
70 |
§ 17. Функции, непрерывные на множестве . . . . . . . . . |
72 |
|
§ 18. Свойства функций, непрерывных на множестве . . . |
73 |
|
18.1. |
Связность (линейная) . . . . . . . . . . . . . . . |
73 |
18.2. |
Непрерывный образ отрезка . . . . . . . . . . . |
76 |
18.3. |
Непрерывность обратной функции . . . . . . . |
78 |
§ 19. Непрерывность элементарных функций . . . . . . . . |
82 |
|
19.1. |
Показательная функция . . . . . . . . . . . . . |
82 |
19.2. |
Непрерывность простейших |
|
|
элементарных функций . . . . . . . . . . . . . . |
83 |
§ 20. Равномерная непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . |
85 |
|
Часть II. |
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ |
|
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ |
|
|
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ |
88 |
|
Глава 5. Дифференцирование функций |
89 |
|
§ 21. Понятие производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
89 |
|
§ 22. Правила дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . |
93 |
|
22.1. |
Дифференцирование – линейная операция . . |
93 |
22.2. |
Геометрический смысл дифференцируемости . |
93 |
22.3. |
Механический смысл производной . . . . . . . |
94 |
22.4. |
Правила дифференцирования . . . . . . . . . . |
95 |
22.5. |
Инвариантность формы дифференциала |
|
|
первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
98 |
22.6. |
Дифференцируемость обратной функции . . . |
98 |
§ 23. Производные элементарных функций . . . . . . . . . |
99 |
|
§ 24. Производная n-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . |
101 |
|
24.1. |
Производные высших порядков . . . . . . . . . |
101 |
24.2. |
Дифференциалы высших порядков . . . . . . . |
103 |
24.3. Механический смысл второй производной . . . |
104 |
|
§ 25. Теоремы о конечных приращениях . . . . . . . . . . . |
104 |
|
§ 26. Правила Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
109 |
|
§ 27. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
110 |
|
27.1. Формула Тейлора для многочлена . . . . . . . |
110 |
|
27.2. |
Локальная формула Тейлора |
|
|
с остаточным членом в форме Пеано . . . . . . |
112 |
|
|
7 |
27.3.Замечание о единственности многочлена
Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
27.4.Формула Тейлора с остаточным членом
в форме Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . |
114 |
27.5.Сравнение формул Тейлора с остаточными
членами в форме Пеано и Лагранжа . . . . . . 116
27.6.Запись формулы Тейлора
через дифференциалы . . . . . . . . . . . . . . 117
27.7.Формула Тейлора с остаточным членом
в форме Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 27.8. Частные случаи формулы Тейлора . . . . . . . 118
Глава 6. Исследование функций |
|
при помощи производных |
120 |
§ 28. Условие постоянства функции . . . . . . . . . . . . . . 120 § 29. Условие монотонности функции . . . . . . . . . . . . . 121
§30. Экстремумы и строгие экстремумы функции . . . . . 123
§31. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба . 127
31.1. Выпуклость и вогнутость в точке . . . . . . . . 128 31.2. Выпуклость и вогнутость на интервале . . . . 131 § 32. Абсолютный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Глава 7. Дифференциальная геометрия |
134 |
§ 33. Вектор-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
134 |
33.1. Предел и непрерывность . . . . . . . . . . . . . |
134 |
33.2.Дифференцирование вектор-функций . . . . . 136
33.3. Формула Тейлора для вектор-функции |
. . . . 137 |
|
§ 34. Понятие кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . 138 |
|
34.1. |
Элементарная кривая . . . . . . . . . . . |
. . . . 139 |
34.2. |
Касательная к кривой . . . . . . . . . . |
. . . . 140 |
34.3. |
Соприкасающаяся плоскость . . . . . . |
. . . . 142 |
34.4. |
Нормальная параметризация . . . . . . |
. . . . 144 |
34.5. |
Кривизна . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . 144 |
34.6. |
Круг кривизны . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . 146 |
34.7. |
Кручение кривой . . . . . . . . . . . . . |
. . . . 147 |
8
Часть III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ |
|
ИСЧИСЛЕНИЕ |
149 |
Глава 8. Неопределенный интеграл |
150 |
§ 35. Первообразная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
150 |
35.1. Задача нахождения функции |
|
по ее производной . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 35.2. Понятие первообразной . . . . . . . . . . . . . . 153 § 36. Основные свойства неопределенного интеграла . . . . 157
Глава 9. Определенный интеграл |
160 |
||
§ 37. |
Определенный интеграл Римана . . . . . . . . . . . . |
160 |
|
§ 38. |
Функции, интегрируемые по Риману . . . . . . . . . . |
163 |
|
§ 39. |
Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . |
173 |
|
§ 40. |
Свойства интеграла Римана . . . . . . . . . . . . . . . |
178 |
|
|
40.1. Интеграл как функция отрезка |
|
|
|
|
интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
178 |
|
40.2. |
Интеграл как функционал . . . . . . . . . . . . |
179 |
|
40.3. |
Интеграл, как функция верхнего предела |
|
интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 § 41. Вычисление определенных интегралов . . . . . . . . . 186
41.1.Добавление к теории неопределенных
интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
41.2.Основная формула интегрального исчисления 187
|
41.3. |
Основные методы интегрирования . . . . . . . |
188 |
Глава 10. Приложения интегрального исчисления |
191 |
||
§ 42. |
Вычисление площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
191 |
|
§ 43. |
Формула Тейлора с остаточным членом |
|
|
|
в интегральной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
192 |
|
§ 44. |
Квадратурные формулы (формулы для вычисления |
|
|
|
определенных интегралов) . . . . . . . . . . . . . . . . |
194 |
|
|
44.1. |
Формула прямоугольников . . . . . . . . . . . . |
195 |
|
44.2. |
Формула трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . |
195 |
|
44.3. |
Формула парабол (формула Симпсона) . . . . |
198 |
§ 45. |
Длина кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
199 |
|
45.1.Функции ограниченной вариации (функции с
ограниченным изменением) . . . . . . . . . . . 199 45.2. Спрямляемые кривые . . . . . . . . . . . . . . . 201
9
45.3. Задача о выражении длины кривой |
|
|
|
интегралом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
204 |
45.4. |
Дифференциал дуги . . . . . . . . . . . . . . . |
206 |
§ 46. Различные приложения интегрального исчисления . . |
207 |
|
46.1. |
Объем тела вращения . . . . . . . . . . . . . . |
207 |
46.2. |
Поверхность тела вращения . . . . . . . . . . . |
208 |
46.3. |
Работа силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
209 |
46.4. |
Статический момент кривой . . . . . . . . . . . |
209 |
46.5. |
Центр тяжести материальной кривой . . . . . |
210 |
Часть IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ |
|
|
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ |
|
|
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ |
211 |
|
Глава 11. Функции многих переменных |
212 |
|
§ 47. Метрическое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . |
212 |
|
§ 48. Множества в метрических пространствах . . . . . . . |
216 |
|
48.1. |
Окрестность точки |
|
|
в метрическом пространстве . . . . . . . . . . . |
216 |
48.2. Открытые и замкнутые множества |
|
|
|
в метрическом пространстве . . . . . . . . . . . |
219 |
48.3. Объединение и пересечение открытых |
|
|
|
и замкнутых множеств . . . . . . . . . . . . . . |
221 |
§ 49. Отображение метрических пространств . . . . . . . . |
222 |
|
49.1. |
Предел последовательности . . . . . . . . . . . |
222 |
49.2. |
Предел отображения . . . . . . . . . . . . . . . |
224 |
§ 50. Непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
231 |
|
50.1. |
Непрерывность функции в точке . . . . . . . . |
231 |
50.2.Непрерывность функции на множестве . . . . 232
50.3.Непрерывные отображения метрического пространства в евклидово . . . . 233
§ 51. Компактность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
234 |
|
51.1. |
Относительная компактность . . . . . . . . . . |
234 |
51.2. |
Компактность и замкнутость . . . . . . . . . . |
236 |
51.3. |
Пересечение компактных множеств . . . . . . . |
237 |
51.4.Компактные множества
в евклидовых пространствах . . . . . . . . . . . 238 § 52. Непрерывность и компактность . . . . . . . . . . . . . 242
52.1. Сохранение компактности |
|
при непрерывном отображении . . . . . . . . . |
242 |
10