Лекции Стечкина по матану

Например, lim f (x) = −∞ означает, что B > 0 N x R ,

x→∞

x > N , f (x) < −B .

Пусть дана функция натурального аргумента, т. е. числовая последовательность {an} .

Определение. Число A есть предел последовательности {an} ,

обозначается lim an = A , если для любого ε > 0 найдется такое

n→∞

натуральное число N = N (ε) , что для всех n ≥ N |an − A| < ε . Замечание. Пусть даны числовая последовательность {an} и возрастающая последовательность {mn} натуральных чисел. Будем называть {amn } подпоследовательностью последовательности

{an} . Можно доказать, что если существует lim an = A , то суще-

n→∞

41

Определение. Число A называется пределом многозначной функ-

ции f (x) при x → a , обозначается lim f (x) = A , если ε > 0

x→a

δ > 0 x M , 0 < |x − a| < δ , y {f (x)} |y − A| < ε .

§ 10. Свойства пределов

10.1. Теоремы о пределах

Теорема 1. Пусть дана функция y = f (x) , x M , a M ′ и

существует lim f (x) = A > B . Тогда найдется такая окрест-

x→a

42

T

ность O(a) точки a, что x O(a) (M \a) f (x) > B .

Рис. 3.6. К теоремам о пределах. f (x) > B .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем 0 < ε0 < A − B (рис. 3.6). По

и существует lim f (x) = A < C , тогда найдется окрестность

ется ограниченной на этом множестве, если множество ее значений

ограничено.

Таким образом, функция на множестве M является ограниченной, если K > 0 x M |f (x)| ≤ K .

Теорема 3. Если функция y = f (x) имеет предел A в точке a , то существует такая окрестность O(a) точки a , в которой

число K = max {|B| , |C| , |f (a)|} .

Замечание. Дальше, вплоть до односторонних пределов, для простоты обозначений будем считать, что функции определены в окрестности точки a . Формулировки следующих теорем и утверждений

без труда переносятся и на случай пределов в предельной точке 43

множества определения функций.

Теорема 4 (единственность предела). Если у функции существует предел, то он единственен.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A1 =6 A2 и оба числа A1 и A2 являются пределами функции в точке a . Пусть для определенности

A1 < A2 . Возьмем C такое, что A1 < C < A2 . Тогда по теоремам 2 и 1 O1(a) x O1(a)\a f (x) < C и O2(a) x O2(a)\a

Противоречие.

Теорема 5 (переход к пределу в неравенстве). Пусть в про-

Замечание. При переходе к пределу строгое неравенство может превратиться в нестрогое.

10.2. Действия над пределами

Определение. Если lim f (x) = 0 , то f (x) называется бесконечно

x→a

малой функцией при x → a .

Лемма 1. Пусть α(x) и β(x) – бесконечно малые при x → a . Тогда α(x) + β(x) – бесконечно малая при x → a .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим ε > 0 . Тогда найдется окрестность

где f (x) = A + α(x) , g(x) = B + β(x) , γ(x) = Bα(x) − Aβ(x) → 0 (x → a) .

§11. Признаки существования предела функции

11.1. Односторонние пределы

Определение. A есть предел функции слева, f (x) → A (x → a−0) ,

если в определении предела рассмотреть функцию на множестве

T

(−∞, a) M . Аналогично, A есть предел функции справа, f (x) → A

(x → a + 0) , если рассмотреть функцию на (a, ∞) T M . Замечание. Можно доказать, что f (x) → A (x → a) тогда и

только тогда, когда f (x) → A (x → a−0) и f (x) → A (x → a+0) .

Упражнение. Доказать это утверждение.

11.2. Оценочный признак

Теорема (оценочный признак существования предела функции). Если g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) и g(x) → A при x → a ,

h(x) → A при x → a , то f (x) → A при x → a .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем ε > 0 . Тогда найдется окрестность O(a) такая, что x O(a)\a h(x) < A + ε , g(x) > A − ε . Значит,

x O(a)\a

A − ε < g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) < A + ε ,

откуда следует, что |f (x) − A| < ε .

Теорема. Первый замечательный предел lim sin x = 1 .

x→0 x

46

Рис. 3.7. Оценочный признак существования предела.

D

B

Рис. 3.8. Первый замечательный предел.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем окружность радиуса 1 и пусть π2 > x > 0 . Из рассмотрения площадей OAB , кругового сектора

Рис. 3.9. Предел монотонной функции.

Замечание (точки разрыва монотонной функции). Пусть f (x) возрастает на интервале (α, β) R . Если x0 (α, β) , то

Таким образом, f (x0 − 0) ≤ f (x0) ≤ f (x0 + 0) для каждой точки x0 из интервала (рис. 3.9). Если x стремится к концу интервала, то

функция имеет либо конечный предел, либо бесконечный. Значит точки разрыва монотонной функции могут быть точками разрыва только первого рода.

11.4. Число E

Теорема (число E ). Существует предел последовательности

49

Отсюда следует, что an < an+1 , и значит, последовательность an ↑

(возрастает).

Следовательно, по теореме о пределе монотонной функции (см. п. 11.3) предел последовательности {an} существует (мы можем

рассматривать последовательность как функцию натурального аргумента).

Предел, рассмотренный в теореме, обозначают e, приблизительно число e равно 2,718281828459045. . . .

§ 12. Пределы по Коши и по Гейне

12.1. Последовательность Гейне