Лекции Стечкина по матану

12)

§ 24. Производная N -го порядка

24.1. Производные высших порядков

Пусть функция y = f (x) определена для x из интервала U , имеет производную y′ = f ′(x) при x U и пусть точка x0 U . Тогда y′ = f ′(x) определена как функция в некоторой окрестности

O(x0) . Обозначим ϕ(x) = f ′(x) ( x O(x0) ).

Определение. Если существует ϕ′(x0) – производная от первой производной функции f , то она называется второй производной функции f в точке x0 т. е.

′

f ′′(x0) = (f ′(x))x=x0 .

Аналогично, третьей производной функции f в точке x0 назы-

вается

′

f ′′′(x0) = (f ′′(x))x=x0

и так далее,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

³´

f (n)(x0) = f (n−1)(x)

– n-ая производная, или производная n-го порядка, функции f в

точке x0 .

Примеры.

1) f (x) = ax ( a > 0 ); f ′(x) = ax ln a ; f (n)(x) = ax lnn a .

101

2)f (x) = ex ; f (n)(x) = ex .

3)f (x) = sin x ; f ′(x) = cos x = sin(x+ π2 ) ; f (n)(x) = sin(x+n π2 ) .

Формула доказывается методом математической индукции. Так как

формула верна при n = 1 , то предположив, что формула верна для некоторого натурального n, покажем, что она верна для n + 1 :

f (n+1)(x) = cos ³x + nπ2 ´ =

=sin ³x + n π2 + π2 ´ = sin ³x + (n + 1) π2 ´ .

4)Аналогично, для f (x) = cos x методом математической индукции доказывается формула f (n)(x) = cos(x + n π2 ) .

Упражнение. Проверить методом математической индукции. Пусть для функций u = u(x) и v = v(x) существуют производ-

ные любого порядка k = 1, 2, ..., n . Отметим некоторые свойства оператора дифференцирования n-го порядка.

1). Оператор дифференцирования n-го порядка – линейная опе-

рация, т. е.

k=0

Доказательство проведем методом математической индукции. Обозначим y = uv . При n = 1 имеем y′ = u′v + uv′ . Пусть формула

102

верна для некоторого натурального n . Тогда

y(n+1) = u(n+1) · v + ¡1 + Cn1 ¢ u(n) · v(1)+

+¡Cn1 + Cn2 ¢ u(n−1)v(2) + ... + uv(n+1) =

=u(n+1) · v + ¡Cn1+1¢ u(n) · v(1)+

+¡Cn2+1¢ u(n−1)v(2) + ... + uv(n+1) .

Пример. Пусть y = (sin 2x) x2 . Тогда по формуле Лейбница

y(n) =

= (sin 2x)(n) · x2 + n (sin 2x)(n−1) · 2x + n(n − 1) (sin 2x)(n−2)2 + 0 = 2

= 2nx2 sin ³2x + n π2 ´ + n2nx · sin ³2x + (n − 1) π2 ´ +

+ n(n − 1)2n−2 sin ³2x + (n − 2) π2 ´ .

3). Используя формулу Лейбница, можно написать формулу

24.2. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция y = f (x) определена для x из интервала U , имеет производную y′ = f ′(x) для x U , и пусть точка x0 U . Тогда

dy = f ′(x) dx = y′dx .

Пусть далее x = dx , и x будет постоянно при определении дифференциалов высших порядков. Тогда dy – функция от x в U.

Вторым дифференциалом функции в точке x0 называется дифференциал от dy в точке x0 , т. е.

d2y = d (dy)|x=x0 .

И так далее,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dny = d ¡dn−1y¢¯

¯

103

– дифференциал n-го порядка.

Если x – независимая переменная, и x = const , то

dy = y′ dx ,

d2y = d (y′ dx) = dx dy′ = y′′ (dx)2 = y′′dx2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dny = y(n)dxn .

Из последней формулы следует что y(n) =

Пусть теперь y = F (x) , x = ϕ(t) – зависимая переменная, y = F (ϕ(t)) – сложная функция от независимой переменной t . Тогда (здесь все производные по x )

dy = y′dx ,

d2y = d (y′ · dx) = dy′dx + y′d (dx) = y′′dx2 + y′d2x .

Мы видим, что формулы для вторых дифференциалов в случаях, когда x – независимая переменная, и когда x = ϕ(t) , различные, инвариантности формы второго дифференциала нет. Но если ϕ(t)

– линейная, то d (dx) = 0 и формула сохранится.

24.3. Механический смысл второй производной

Пусть материальная точка движется по прямой. Если s = s(t)

– расстояние от точки до начала отсчета, то s′(t0) – скорость, а s′′(t0) – ускорение в момент времени t0 .

§ 25. Теоремы о конечных приращениях

Теорема Ферма. Пусть функция y = f (x) определена в окрестности O = O(x0) и пусть

а) f (x0) ≥ f (x) x O (или f (x0) ≤ f (x) x O ), т.е. в

точке x0 экстремум;

б) существует f ′(x0) . Тогда f ′(x0) = 0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем теорему для случая f (x0) ≥ f (x)

x O . По определению f ′(x0) = lim f (x)−f (x0) . Для x > x0

x→x0 x−x0

104

f ′(x0) ≥ 0 . Итак, 0 ≤ f ′(x0) ≤ 0 . Следовательно, f ′(x0) = 0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как f непрерывна на [a, b] , то она достигает на этом отрезке своих верхней и нижней граней: x0, x1 [a, b] M = sup f (x) = f (x0) , m = inf f (x) = f (x1) . Рассмотрим два слу-

а) M = m . В этом случае на отрезке [a, b] f (x) = C = const , и значит, c (a, b) f ′(c) = 0 .

б) M и m различны, и тогда m < M . В этом случае по крайней мере одна из точек x0, x1 принадлежит (a, b) (ввиду условия в) теоремы). Пусть x0 (a, b) = O , тогда x0 – точка максимума функции f , f ′(x0) = 0 по теореме Ферма, и c = x0 .

Теорема Лагранжа. Пусть y = f (x) определена на [a, b] и а) f непрерывна на [a, b] ;

б) f дифференцируема на (a, b) .

105

Тогда найдется точка c (a, b) такая, что

f ′(c) = f (b) − f (a) . b − a

Рис. 5.7. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим вспомогательную функцию F (x) = f (x) − k x . Подберем константу k так, чтобы F (a) = F (b) ,

k функция F удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Значит, существует точка c (a, b) такая, что F ′(c) = 0 т. е f ′(c) − k = 0 .

Откуда f ′(c) = f (b)−f (a) .

b−a

Следствие (формула Лагранжа – формула конечных приращений). Пусть y = f (x) непрерывна на отрезке [x1, x2] и

дифференцируема на интервале (x1, x2) . Тогда найдется точка ξ , x1 < ξ < x2 , такая, что приращение функции на отрезке

равно f (x2) − f (x1) = (x2 − x1)f ′(ξ) .

Замечания. 1 (геометрическая интерпретация). Теорема Лагранжа утверждает, что найдется точка c (a, b) , в которой каса-

тельная к графику функции имеет угол наклона такой же, что и хорда, соединяющая точки графика с абсциссами a и b (рис. 5.7) (в теореме Ролля в точке c касательная горизонтальна (рис. 5.6)).

2. Теорему Лагранжа можно доказать применяя свойства аффинных преобразований.

3. Для отрезка [x, x + x] теорема Лагранжа утверждает, что

Итак, если функция y = f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x , то ее приращение y = f ′(x + θ x)Δ x , где 0 < θ < 1 .

Лекция 22 (22.11.67)

4.Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [x0, x0 + δ] ,

δ> 0 , и дифференцируема на интервале (x0, x0 + δ) , и пусть

существует lim f ′(x) = A . Тогда существует

x→x0+0

Докажем это утверждение. Возьмем произвольную точку x из интервала (x0, x0 + δ) . По теореме Лагранжа найдется точка ξ из интервала (x0, x) такая, что

¯¯

Из этих утверждений следует, что производная некоторой непрерывной функции не может иметь точек разрыва первого рода. Иными словами, не может быть такого графика производной непрерывной функции, как на рис. 5.8. Производная как на следующем рис. 5.9 может быть.

Определение. f+′ (x) и f−′ (x) называются, соответственно, пра-

вой и левой производными функции f (x) в точке x .

Теорема Коши. Пусть две функции f и g определены на [a, b] и а) функции f , g непрерывны на [a, b] ;

б) f , g дифференцируемы на (a, b) ; в) g′(x) =6 0 на (a, b) .

107