Тема 3_интеграл по фигуре

ЗАДАЧА 1.

Изменить порядок интегрирования: dx

f (x, y)dy

dx f (x, y)dy .

0

x

1

x3

ЗАДАЧА 2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

x2 y2 z2 c2 0, x 0, z 0, x

3

y, z 0 .

ЗАДАЧА 3.

Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности :

треугольник с вершинами A 0;0 , B

, C

,

x2 y2.

2;

2

2,

6

Вариант 2

8

10x x2

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dx

f (x, y)dy .

0

x 2

2

x2 y2

4 2;

cos x2

y2

.

4

ЗАДАЧА

4. Вычислить

площадь заданной

поверхности или ее

части:

z2 2xy при

0 y 4, 0 x 2, z 0.

ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры:

дуга x et cost, y et

sint, z et, t 0; x, y, z const .

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: x2 y 1 3, отсечена прямой y 4.

ЗАДАЧА 7. Найти момент инерции относительно начала координат: тело,

ограниченное

поверхностями z

x2 y2

, z

R2 x2 y2

при z R .

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции

f (x, y,z) на фигуре:

f (x, y,z) 2z 1 на по-

верхности y z 1, ограниченной плоскостями

x 0, x 1, y 0, z 0.

1

y2 1

2

2

ЗАДАЧА

1.

Изменить порядок интегрирования: dy

f (x, y)dx

dy f (x, y)dx.

0

y2

1

y2

ЗАДАЧА

2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

x2 y2 z 2 0, x2 y2 4z 13 0.

ниченное плоскостями 2x 3y 12,

x 0, y 0, z 0

и

цилиндрической поверхностью

z 1 y2 .

2

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: sin

3

.

3

ЗАДАЧА 7. Найти

момент

инерции

относительно

начала

координат:

дуги x 2cost,

y 2sint, z 4t, 0 t 2 при

1.

ЗАДАЧА 8. Найти

среднее

значение функции

f (x, y)

на

фигуре:

f (x, y) x y на

x y 2, 0 y x.

2

2

2 x

ЗАДАЧА 1.

Изменить порядок интегрирования:

dx f (x, y)dy.

2

2

x2 4x

4

ЗАДАЧА 2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

x2 y2 z 0, x 2, y 3, x 0, y 0, z 0.

ЗАДАЧА 3.

Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : тело,

ограниченное поверхностями z x2 y2 , z c ,

c 0 ; (x2 y2 z)4.

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь

заданной поверхности или ее части: часть цилиндра

y2 z2 R2 , заключённого внутри

цилиндра x2 y2

R2 .

поверхности y

9 z2 , отсечённой плоскостями x 0,

x 2 ; поверхностная

плотность

x, y,z ky x z .

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: asin .

ЗАДАЧА 7. Найти момент инерции относительно начала координат дуги

x e t cost,

y e t sint, z e t , 0 t 1 при 1.

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции f (x, y) на фигуре: f (x, y) x y

на x y 1,

x y 1, x 0.

Вариант 5

2

2

y

2

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dy

f (x, y)dx.

1

y 1

ЗАДАЧА

5.

Найти координаты

центра тяжести заданной фигуры: часть

плоскости

x y z 1,

заключённой

в

первом

октанте,

поверхностная

плотность

x, y,z 1 x z 2 .

ЗАДАЧА

6. Вычислить длину дуги кривой:

x et cost, y et sint, z et от A 1;0;1 до

B 0;e 2 ;e 2

ЗАДАЧА 7. Найти момент инерции относительно начала координат: дуги y

2

x1,5,

z 0,

0 x 1 при k x2

3

y2 z2 .

ЗАДАЧА

8. Найти

среднее значение функции f (x, y) на фигуре: f (x, y) x y на

x2 y2 1,

x 0, x y .

Вариант 6

4

y2 8 2

ЗАДАЧА 1.

Изменить порядок интегрирования: dy

f (x, y)dx .

4

y2 4 4

ЗАДАЧА 2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

x 2y z 4, x 2y2, y 0, z 0

кости, ограниченная кривой

x2 y2

16;

1

.

25 x2

y2

ЗАДАЧА

5. Найти координаты центра тяжести заданной

фигуры: однородная дуга

y ch x, 0 x ln 2.

ЗАДАЧА

6. Вычислить длину дуги кривой: x 2acost acos2t,

y 2, z 2asint asin2t,

0 t 2 .

Вариант 7

y2 2

2

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования:

dy

f (x, y)dx.

2

y2

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dx

f (x, y)dy .

ЗАДАЧА

5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: однородная плоская

фигура, ограниченная линиями y2 4x 4, y2 2x 4 .

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: 1 cos .

ЗАДАЧА

7.

Найти момент инерции относительно начала координат: часть поверхности

конуса z

x

2 y2

, вырезанная поверхностями y x2, y x 2, y 0 при 1.

Вариант 9

4

2x x2

3

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dx

f (x, y)dy .

0

x2 /2

ЗАДАЧА

5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: однородная поверх-

ность параболоида y2 z2 10x, отсечённая плоскостью x 10.

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: acos

3

.

3

ЗАДАЧА

7. Найти момент инерции относительно начала координат: дуга

x t sint,

y 1 cost,

z 4sin

t

, 0 t при 1.

2

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции f (x, y) на фигуре: f (x, y) x y

на y x,

0 y 1, x 2 .

1

1/ y

x

2

y2

x

y

фигура, ограниченная эллипсом

1

и его хордой

1.

25

9

5

3

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой:

x cos2t, y sin 2t, z 4t

от A 1;0;2 до

B 1;0;0 .

ЗАДАЧА

7. Найти момент инерции относительно начала координат: тело, ограниченное

поверхностями y x, y 3x, z 3x , x 2 , z 0 при 1.

ЗАДАЧА

8. Найти среднее значение функции f (x, y,z) на фигуре: f (x, y,z) 2z 1 на