Волны

(рис. 5.4, начальная фаза колебаний считается равной нулю: ϕ0 = 0 ). При

Рис. 5.4

Отметим, что для потенциальной и кинетической энергий период гармонических колебаний оказывается в два раза меньше, чем для смещения х.

5.5. Квазиупругая сила. Математический и физический маятники. Гармонический осциллятор

Докажем следующее утверждение: если в системе результирующая

сила является квазиупругой, то в такой системе происходят гармонические колебания. Под квазиупругой силой FRу понимают силу,

которая подчиняется закону Гука, но не является по своей природе упругой силой.

Докажем это утверждение. Учтем, что, для FКу выполняется одновременно и второй закон Ньютона и закон Гука, из которых можно получить дифференциальное уравнение колебаний в системе

где k – коэффициент жесткости системы, х- смещение тела (м.т.) от положения равновесия.

Как уже было отмечено выше, решением такого дифференциального уравнения является гармоническое колебание (5.7), что и требовалось доказать.

11

В качестве примера справедливости этого утверждения рассмотрим колебания математического маятника - это материальная точка массы m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длины l (рис. 5.5,а)

Найдем проекцию на ось Ох результирующей силы, действующей на груз математического маятника. Учитывая малые значения угла отклонения α

(sinα ≈ tgα ≈ xl ) запишем

Итак, при малых отклонениях от положения равновесия (при малых амплитудах колебаний) колебания груза будут гармоническими. Это позволяет найти период колебаний

Как следует из формулы (5.14), период колебаний математического маятника будет зависеть от длины нити l и числового значения ускорения g свободного падения.

Рассмотрим теперь общий случай - случай колебаний физического маятника.

Физическим маятником называют твердое тело, способное под действием силы тяжести совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси (точка О, рис. 5.5,б). При этом ось вращения не проходит через центр тяжести (центр масс) тела (точка О', рис. 5.5,б). Расстояние между точками О и О' обозначено буквой а (ОО' =а).

Покажем, что при малых углах отклонения α (sin α ≈ α) от положения равновесия (ему соответствует расположение точек О и О' на одной вертикальной прямой) колебания физического маятника будут гармоническими. Для этого запишем второй закон Ньютона для вращательного движения в векторном виде и в проекциях на ось вращения (см. раздел "Механика", формула (1.46))

Как уже было отмечено выше, решением полученного дифференциального уравнения является гармоническое колебание. Тогда для периода колебаний физического маятника можно записать следующую формулу:

12

где введена приведенная длина физического маятника ln - это такая

длина математического маятника, при которой периоды колебаний физического и математического маятников совпадают.

Рассмотренные выше примеры (колебательный контур, математический и физический маятники, колебания груза на пружине) являются частными случаями движения гармонического осциллятора. Под осциллятором (от латинского слова oscillo-качаюсь) понимают любую физическую систему, совершающую колебания. Если колебания в системе будут гармоническими, то такой осциллятор называют гармоническим осциллятором. Для механических систем результирующая сила в этом случае является квазиупругой, а потенциальное поле, в котором движется тело, имеет параболический вид (U (x) = kx2 / 2 ), что наблюдается при малых отклонениях х системы от положения равновесия.

Если отклонение x нельзя считать малым, то тогда в разложении U (x) по

уравнения движения становятся нелинейными, а сам осциллятор в этом случае называют ангармоническим осциллятором.

Понятие осциллятора применяется также и к немеханическим колебательным системам. В частности, колебательный контур является электрическим осциллятором.

5.6. Гармонические электромагнитные колебания в закрытом идеальном колебательном контуре

В такой контур не подается внешнее напряжение (UВНЕШ=0) и в нем отсутствуют потери энергии на нагревание проводников (β=0), поэтому общее дифференциальное уравнение колебаний (5.1) для такого контура запишется таким образом:

Используя таблицу аналогий между механическими и электромагнитными колебаниями (табл. 5.1), можно переписать формулы (5.9) - (5.13) для случая колебательного контура. Таким способом можно получить зависимости от времени силы тока I, напряжения на конденсаторе UC,

напряжения на катушке UL, ЭДС самоиндукции εS , энергий электрического

поля конденсатора WC и магнитного поля катушки WL, полной энергии колебаний W и проекций вектора напряженности EX электрического поля конденсатора и вектора магнитной индукции BX магнитного поля катушки. Итак, эти формулы имеют следующий вид:

13

катушки (она представляет собой длинный соленоид); µ0 – магнитная постоянная.

5.7.Сложение гармонических колебаний

5.7.1.Векторная диаграмма. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Возьмем ось Ox . Из начала оси (точка О) отложим вектор А под углом ϕ0 к

оси Ox (рис. 5.6). Если этот вектор вращать вокруг точки O с угловой скоростьюω , то тогда проекция вектора А на ось Ox будет изменяться по гармоническому закону

x(0) = Acosϕ0 , x(t) = Acos(ωt + ϕ0 ) .

Такое построение называют векторной диаграммой. Гармоническое колебание на векторной диаграмме совершает проекция вектора А на ось Ox . Причем циклическая частота ω колебаний будет равна по модулю угловой скоростиω вращения вектора А.

Пусть тело (м.т.) одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих в одном направлении, причем амплитуды и начальные фазы колебаний различны ( A1 ≠ A2 ,ϕ01 ≠ ϕ02 ):

Результирующее движение, равное сумме колебаний x1 и x2 , будет также гармоническим колебанием той же циклической частоты ω

Рис. 5.6

14

x = x1 + x2 = Acos(ωt + ϕ0 ) .

Необходимо найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Это можно сделать с помощью векторной диаграммы. Для этого проведем из точки О векторы с амплитудами А1 и А2 под углами ϕ01 и ϕ02 к оси Ox и

приведем их во вращение с угловой скоростью ω (рис. 5.7).

Проекции векторов А1 и А2 на ось Ox при этом совершают гармонические колебания в соответствии с уравнениями (5.24). Результирующее колебание

т.е. если разность фаз складываемых колебаний равна четному числу π, то колебания максимально усиливают друг друга.

т.е., если разность фаз

складываемых колебаний равна нечетному числу π, то колебания максимально ослабляют друг друга.

На рис. 5.8 приведены результаты сложения гармонических колебаний в рассмотренных выше случаях 1,2 и 3, при условии, что

ϕ01 =0 и А1> А2.

Рис. 5.7

Полученные условия максимального усиления (5.27) и ослабления (5.28) колебаний при сложении колебаний одного направления и одинаковой частоты будут использованы при изучении интерференции когерентных волн.

15

5.7.2. Сложение N гармонических колебаний одного направления, одинаковой амплитуды и частоты, начальные фазы которых образуют арифметическую прогрессию

Рассмотрим сложение N гармонических колебаний, происходящих вдоль оcи Ox

x1 = Acos(ωt + ϕ0 ) , x2 = Acos(ωt + ϕ0 + δ) , x3 = Acos(ωt + ϕ0 + 2δ) ,…, xN = A cos (ωt +ϕ0 +(N −1)δ) .

Рис. 5.8

Найдем с помощью векторной диаграммы амплитуду АР результирующего колебания (рис. 5.9). Для этого отложим вектор первого колебания амплитуды А из точки О, он будет составлять угол φ0 с осью Ох; вектор второго колебания будем откладывать из конца первого вектора, угол между вторым вектором и осью Ох будет равен (φ0+δ) и т.д. В результате получается ломаная линия, вписанная в окружность радиуса R. Вектор результирующего колебания замыкает эту ломаную линию и

определяется следующим образом

Рис. 5.9

что позволяет написать

16

Полученная формула будет использована при расчете результата многолучевой интерференции на дифракционной решетке.

5.7.3.Биения

Биения – это колебания, которые получаются в результате сложения двух гармонических колебаний х1 и х2 одного направления с близкими частотами ( ω2 ,ω1 >> ∆ω = ω2 −ω1 )/

x = x1 + x2 , x1 = A1 cos ω1t , x2 = A2 cos ω2t .

Рассмотрим подробнее результат сложения таких колебаний. Для простоты

Итак, биения можно представить как колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Эти колебания не являются гармоническими колебаниями.

В общем случае амплитуда биений изменяется в пределах, заключенных от A1 − A2 до ( A1 + A2 ). При этом период изменения амплитуды (период биений ТБ )

и циклическая частотаΩ биений будут определяться по формулам

смещения x м.т. от времени t.

17

В общем случае в результате сложения этих колебаний материальная точка будет двигаться по траектории, определяемой соотношением их частот ( ω1 ,ω2 ), амплитуд ( A1, A2 ) и разности начальных фаз∆ϕ. Эти траектории можно описать

уравнениями, которые не содержат явно время t и определяют зависимость координаты у от х. Форма этих траекторий и уравнения, описывающие их, и представляют интерес при таком сложении колебаний.

Рассмотрим некоторые примеры сложения взаимно перпендикулярных колебаний.

Пример 1. ω1 = ω2 = ω, . ∆ϕ = 0, π

Делим одно уравнение (5.33) на другое и получим

y = A2 x , A1

т.е. траектория результирующего движения представляет собой прямую линию, лежащую в первой и третьей четвертях (рис. 5.11,а).

Если разность фаз ∆ϕ складываемых колебаний равна π, то тогда прямая линия будет располагаться во второй и четвертой четвертях (рис. 5.11,б). Угол α на рис. 5.11– это угол наклона прямой к оси Ox , он определяется отношением

амплитуд складываемых колебаний ( ∆ϕ = 0 : tgα = A2 A1 , ∆ϕ = π: tgα = − A2 A1 ).

Рис. 5.11

Получаемое при этом движение м.т. является гармоническим колебанием, так как изменение координаты r , определяющей положение м.т. на траектории движения, происходит по гармоническому закону

r = x2 + y2 = A12 + A22 cosωt .

Такое движение м.т. также называют линейно поляризованным колебанием. Оно повторяется через время, равное периоду складываемых

колебаний T = 2πω.

19

т.е. траектория результирующего движения является эллипсом, оси которого совпадают с осями Ox и Oу (рис. 5.11,в).

В этом случае результирующее движение м.т., движущейся по эллипсу,

называют эллиптически поляризованным колебанием (для одинаковых амплитуд колебаний A 1 = A2 траектория движения становится окружностью, и

движение м.т. называют колебаниями, поляризованными по кругу). Такие движения повторяются через время, равное периоду складываемых

гармонических колебаний (T = 2πω).

Рассмотрим направление движения м.т. по эллиптической траектории. В момент времени t=0 м.т. находится в точке с координатами х=А, у=0. Для

разности фаз ∆ϕ = π2 ее движение по эллиптической траектории будет

происходить по направлению движения часовой стрелки, и соответственно против движения часовой стрелки для разности фаз, равной∆ϕ = 3π2 .

Действительно, если ∆ϕ = π2 , то тогда для малых значений времени t

координата у будет меньше нуля ( у = −sin ωt < 0 ), что соответствует движению по направлению часовой стрелки.

Если взять произвольное значение ∆ϕ ( ∆ϕ ≠ π, π 2, π, 3π 2 ), то тогда траектория результирующего движения будет также эллипсом, но ориентация его осей будет зависеть от амплитуды складываемых колебаний и разности фаз∆ϕ (рис .5.11,г).

Приведенные на рис. 5.11 траектории движения м.т. называют фигурами Лиссажу. Они, в общем случае, получаются при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний, отношение циклических частот

времени, равный наименьшему кратному периодов двух складываемых колебаний T1 = 2πnω и T1 = 2πmω , движущаяся материальная точка возвращается

в начальное положение - получается замкнутая линия, она называется фигурой Лиссажу.

Если в рассмотренных примерах 1 и 2 угловые частоты складываемых колебаний незначительно отличаются друг от друга ( ω2 = ω1 +∆ω, ∆ω ω1, ω2 ),

то такое различие в частотах можно трактовать как медленное изменение во времени разности фаз складываемых колебаний

∆ϕ(t) = (ω2 (t) + ∆ϕ) −ω1t = ∆ωt + ∆ϕ.

20