Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ch_7_Integraly_po_figure

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

3.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

			π										sin 4φ										π
			π																				π
cos 4φdφ																								0 ;
cos 4φdφ																								0 ;
			π											4									π
			π											4								2
2																						2
2
	π							sin 2φ							π
	π														π
cos2φdφ																	0;
cos2φdφ																	0;
	π								2						π
	π								2					2
2														2
2
	π															1				π
cos 2φ cos 4φdφ																1			cos 6φ cos 2φ dφ
cos 2φ cos 4φdφ																			cos 6φ cos 2φ dφ
	π													2						π
	2																			2
1				sin 6φ						sin 2φ										π
1				sin 6φ						sin 2φ										π
																							0;
						6			2														0;
2						6			2												π
J2					1		π		π		.								2
					1		π		π
									4
				2		2			4
		π			2 cos φ				25			ρ2 sin2 φ
												ρ2 sin2 φ													25		π
									4
V 2 dφ ρdρ																		dz								π		6π .
V 2 dφ ρdρ																		dz								π	4	6π .
		π				0			0													4					4
		2

Найдите объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями y 2x2 7 , y 5 ,

z 1 2x2 3y2 , z 4 2x2 3y2 .

	РЕШЕНИЕ:
	Тело однозначно проектируется на плоскость
	OXY . Поверхность y 2x2	7 представляет
	собой параболический цилиндр с направляющей
	y 2x2 7 и образующей, параллельной оси
№ 12	Oz ; y 5 − плоскость, параллельная плоскости
	OXZ . Ниже изображена проекция тела на
	плоскость OXY .	8

Аппликаты поверхностей	z 1 2x2 3y2 и
z 4 2x2 3y2 отличаются	на постоянную
величину (вторая получается	из первой сдвигом

в положительном направлении оси Oz на 3 единицы).

Объем V равен

4 2x2 3 y2

V dxdydz					dxdy							dz
V					D		1 2 x2 3 y2
1	2 x2 7		4 2 x2 3 y2							1		2 x2 7
2 dx	dy					dz 2 3 dx								dy
0	5		1 2 x2 3 y2							0			5
1								x	3		1
											1

6 dx 2 2x2					12 x							8.
6 dx 2 2x2					12 x							8.
0							3				0
0											0
Найдите объем тела, заданного
ограничивающими его поверхностями
							x2 y2
z 36 x		2	y	2	, z		x2 y2					.
z 36 x			y		, z		3					.
							3

РЕШЕНИЕ:

Поверхность z 36 x2 y2 представляет собой верхнюю ( z 0 ) часть сферы

x2 y2 z2 36 с центром в начале координат и

радиусом 6.
	1				− верхняя ( z 0 )
Поверхность z	1			x2 y2
Поверхность z				x2 y2
3
часть конуса z2		1	x2 y2 .
часть конуса z2			x2 y2 .
3

№ 13

72π

x ρcosφ,

В полярной системе координат

y ρsinφ, (ρ 0) , уравнения поверхностей имеют вид:

z 36 ρ2 и z 1 ρ . Найдем их линию

пересечения: 36 ρ2	1	ρ2 , ρ 3		.
			3

3

Объем V равен:

		36	ρ2
2π	3 3	36	ρ2		2π	3 3				1
2π	3 3				2π	3 3			2	1
V dφ ρdρ					dz dφ		ρ	36 ρ				ρ dρ .


0	0	1		ρ	0	0					3
				ρ
		3

Вычислим

													36 ρ						2				t,
													36 ρ										t,

												dt 2ρdρ,
3		3																				dt

	ρ 36 ρ2 dρ ρdρ																								,
	ρ 36 ρ2 dρ ρdρ																								,
	0																			2
												ρ 0,t 36,


												ρ 3								3,t 9
		9	dt					1 t3 2							9
		9													9
						t											63,

			2					2 3 2
			2					2 3 2
		36													36			3
		36													36
				3																		3
			1			3					1					ρ	3
						3											3
				ρ2dρ																				27 .


			3	0				3 3										0
			3	0				3 3										0

		2π		3					36 ρ2															2π
		2π		3			3		36 ρ2															2π
Тогда V dφ ρdρ														dz 36 dφ 72π .
		0			0					1		ρ									0
												ρ
								3

Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями z 10(x2 y2 ) 1,

	z 1 20y .
	РЕШЕНИЕ:
	Поверхность z 10(x2	y2 ) 1 представляет
	собой параболоид вращения, ось симметрии
	которого совпадает с осью Oz , поднятый на
	единицу вверх относительно плоскости OXY ,
	поверхность z 1 20y − плоскость,
№ 14	параллельная оси Ox , проходящая через точку		5π
№ 14	(0; 0; 1). Ниже приведено сечение тела		5π
	(0; 0; 1). Ниже приведено сечение тела
	плоскостью OYZ :

Найдем линию пересечения поверхностей z 10(x2 y2 ) 1 и z 1 20y :

10(x2 y2 ) 1 1 20y , x2 y2 2y 0 , x2 y 1 2 1.

Линия пересечения поверхностей – эллипс, лежащий на пересечении кругового цилиндра x2 y 1 2 1 и плоскости z 1 20y ; на плоскость OXY тело проектируется в круг

x2 y 1 2 1. Проекция тела на плоскость

OXY – область D :

Объем V равен:

	1 20 y
V dxdy		dz

D10 x2 y2 1

1 20y 1 10x2 10y2 dxdy

10 x2 y2 2y dxdy .

Перейдем в полярную систему координат и найдем уравнение границы в полярных координатах:

x ρcosφ,	ρ2 2ρsin φ ,	x2 y2 2y 0 ,
	ρ2 2ρsin φ ,	x2 y2 2y 0 ,
y ρsin φ,

ρ 2sinφ или ρ 0 , т.е. 0 ρ 2sin φ.

Значения угла φ в области D : φ 0, поскольку область D симметрична относительно оси Ox , а подынтегральная функция четна по x , можно перейти к интегралу по половине области D , а результат удвоить:

						0			2sinφ
V 20								dφ						ρ 2ρ sin φ+ρ2 dρ
							π			0
							2
							2
				0							3						ρ	4			2 sinφ
																					2 sinφ

20 dφ 2													sin φ+
20 dφ 2										3			sin φ+
					π					3						4				0
					2															0
					2
			0					16				4						4							80	0				4
20									sin				φ+4 sin						d							sin					d
20								3	sin				φ+4 sin						d						3	sin					d
				π				3																	3			π
				2																							2
				2																							2
	20	0
	20	1 cos 2 2													d
	3	1 cos 2 2													d
	3		π
			2
			2
	20	0
	20	π 1 2cos 2φ cos2 2 d
	3	π 1 2cos 2φ cos2 2 d

			2
			2
	20					sin 2										sin 4							0		20	3			π		5π.
	20															sin 4							0		20	3			π


	3												2			2 4								π	3		2		2
	3												2			2 4								π	3		2		2
																						2

Найдите объем тела, заданного неравенствами

16 x2 y2 z2 100 , 0 z			x2 y2	,	y 0 ,
16 x2 y2 z2 100 , 0 z			24	,	y 0 ,
	x		24
y	x	.
y		.
3

РЕШЕНИЕ:

Тело представляет собой шаровой слой от плоскости OXY до верхней части конуса. Перейдем в сферическую систему координат

	ρ,θ,φ .
№ 15	x ρsinθcosφ,					52π

	y ρsinθsinφ,

	z ρcosθ.
	Тогда x2 y2 z2	ρ2		x2	y2
			;			tgθ ;
			;			tgθ ;

4 ρ 10,

24 tgθ

	11π.
π φ

Объем V вычисляется так:

																			11		π		π							10
																		6			π	2
																		6				2
	V ρ2 sinθdρdθdφ dφ																											dθ ρ2 sinθdρ
			V																π arctg							24				4
	11π						π								3		10			11π					π
		6					2						ρ		3		10			6					2							1000 64
		dφ									dθsinθ		ρ					dφ											dθsinθ			1000 64
		dφ									dθsinθ					3		dφ											dθsinθ
		π arctg															4				π	arctg											3
									24																		24						3
									24																		24
				11		π																		5π
				6											π									5π						1
				6											π
	312						dφ( cosθ)								2						312
	312						dφ( cosθ)								2						312
														arctg				24				6								2
					π																										1 tg θ
					π																										1 tg θ			24
	312				5π			1				52π.
	312											52π.
				6						25
	Тело V задано ограничивающими его
	поверхностями, μ - плотность. Найти массу
	тела.
	4 x2 y2 z2 , x2 y2 1,
		y 0, z 0 (y 0, z 0) ; μ 10 x2 y2 .
	РЕШЕНИЕ:
	Линии пересечения поверхностей 4 x2 y2 z2
	и x2 y2									1		лежат в плоскостях z 2 .
	Тело расположено внутри цилиндра x2 y2																																		1
№ 16	(ρ 1) между плоскостью z 0 и конической																																			4π
	поверхностью 4(x2 y2 ) z2																											(2ρ z ), причем
		y 0 . Ниже приведены сечение тела плоскостью
	OYZ и проекция на плоскость OXY

μ 10 x2 y2 10ρ2 .

	Объем V :
			π	1	2ρ					π	1
	2			1	2ρ					2	1		02ρ
	V 2 dφ ρdρ 10ρ2				dz 20 dφ ρ3dρ z


	0			0	0					0	0
		π				π			1			π
	2			1	2		ρ	5			2
	2			1	2			5			2
	40 dφ ρ4 dρ 40 dφ									8 dφ 4π.
	40 dφ ρ4 dρ 40 dφ						5			8 dφ 4π.
	0			0	0				0		0
	0			0	0				0		0
3. Криволинейные интегралы первого рода и их приложения

№ п/п	Задание													Ответ

Вычислите (x2 y2 ) dl , где

L − контур треугольника ОАВ с вершинами в точках

О 0,0 , А 1,0 , В 0,1 .

РЕШЕНИЕ:

(x2 y2 ) dl = (x2 y2 ) dl
L												OA
(x2 y2 ) dl (x2 y2 ) dl .
AB															BO
1) (x2 y2 ) dl OA : y 0,0 x 1,dl dx =
	OA
1		2					x3			1					1
1		2					x3			1					1
x				dx						0							;
x				dx													;
0							3								3
0							3								3															7		2 1
№ 17																AB : y 1 x, 0 x 1,														7		2 1
																															12

2) (x2 y2 ) dl																						dy 2						=
2) (x2 y2 ) dl																						dy 2						=
	AB															dl 1								dx		2dx
	AB															dl 1								dx		2dx
																						dx
1																					x3		1 x 4		1		7
1			2						3																			2
			2						3																			2
x					1 x											2 dx 2													;
x					1 x											2 dx 2							4						;
																					3		4		0		12
0
0
3) (x2 y2 ) dl BO :x 0,0 y 1,dl dy =
	BO
1		3					y4				1				1
1		3					y4				1				1
y				dy														.
y				dy														.
0							4				0				4
0							4								4
(x2 y2 ) dl													(x2 y2 ) dl
L													ABO
														7						1	.
	1			7				1											2
	1			7		2		1											2

3					12				4						12

Вычислите ydl , где L − участок параболы

y2 2 px от начала координат до точки x , y

РЕШЕНИЕ:

ydl

dx .

1 (yx )

Продифференцируем неявное уравнение кривой

L : y2

2 px , получим

2 yy 2 p yy p .

№ 18

Подынтегральное выражение:

y02 p2

2 p3

2 px

y 1 (yx )

(yx )

dx t 2 px p2 , dt 2 pdx

ydl

2 px p2

2 px

t dt

t 2

2 p

2 p 3

2 px0

p2 2

y02 p2 2 p3

Вычислите ydl , где L −

дуга параболы y2 2 px ,

	отсекаемая параболой
		x2		2 py .
	РЕШЕНИЕ:
	Точка пересечения парабол
				2																x		2
	y					2 px, y														x					,
	y					2 px, y														2 p					,
	x2					2 py														2 p
		x4													3								3						x1 0,													p2
		x4													3								3						x1 0,													p2
№ 19						2 px, x											8 p												x 2 p.														5 5 1
№ 19		4 p2				2 px, x											8 p												x 2 p.													3	5 5 1
																															2
							2 p																			2 p
							2 p																			2 p									y2
		ydl y																2	dy																y2
																												y			1					2 dy
												1 (yx )																y			1				p	2 dy
		L					0																		0										p
	1				2 p														1 2																				2p

																																						3
											2			2																		2					2	3
					0		y p						y			dy														p			y							0
			p		0		y p						y			dy					2p					3				p			y							0
	1																																	1
										2						2	3										2		3									3			3
										2						2	3										2		3									3			3
							p					4p												p													p			5 5 p
							p					4p												p										3p			p			5 5 p
			3p																															3p
				2
			p			5			1 .
			p					5
			3					5

Вычислите y2 dl , где L − первая арка

x a t sint ,

циклоиды L :

y a 1 cos t .

РЕШЕНИЕ:

Первой арке соответствует изменение параметра

№ 20

0 t 2 .

256

2π

y2dl a2 1 cost 2

a2 1 cost 2 a2 sin2 t dt

2π

a3 1 cost 2

1 2cost cos2 t sin2 t dt

2π

a3 1 cost 2

2 2cost

2π

4 t

2π

2 t

sin

dt 16a

1 cos

d cos

3 2π

2 t

4 t

16a

1 2cos

cos

d cos

5 t

256

16a

cos

2cos

cos

Найдите массу первого витка винтовой линии, если ее линейная плотность обратно пропорциональна квадрату модуля радиусвектора ее точки.

РЕШЕНИЕ:

№ 21	a2 b2	arctg 2 b
	ab	a

r		r
			r	x2	y2	2
	xi yj zk ,					z .

ρ(x, y, z) x2 y2 z 2 .

Уравнение винтовой линии в параметрическом виде имеет вид

x a cos t,

L : y a sin t,z bt,

первому витку соответствует изменение параметра 0 t 2 .

2π

a2 sin2 t a2 cos2 t b2

m ρ(x, y)dl

cos

sin

2π

a2 b2

o a

2 b2

2 b

arctg

Найдите

массу

кардиоиды

a 1 cos ,

если ее линейная плотность постоянна и равна 5. РЕШЕНИЕ:

№ 22	asin ,		40a
	dl
	dl	a2 sin2 a2 1 cos 2	d

asin2 1 2cos cos2 d

a 2 2cos d 2a cos d ,

		2
		π
m ρ(x, y)dl 5 2 2a cos				d
m ρ(x, y)dl 5 2 2a cos			2	d
L		0	2
20a 2sin		40a.


	0
2	0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.2015220.05 Кб15Chast_7_4_RR.pdf
#
23.02.20152.2 Mб32Chast_8_Teoria_polya.pdf
#
01.07.202544.91 Кб1Chelovek_i_Potrebnosti.docx
#
01.03.2025457.22 Кб3chertov9-46.doc
#
22.02.20151.39 Mб28chistovik.docx
#
23.02.20153.03 Mб46Ch_7_Integraly_po_figure.pdf
#
01.05.2025535.04 Кб3CLU (3).doc
#
13.03.2016726.51 Кб7CodeSeekerHelp.pdf
#
22.02.201567.58 Кб8codexes PR.doc
#
01.04.202552.89 Кб0Communication tools of graphic design.docx
#
01.07.20252.21 Mб0Computer Networks. Telecommunication Кетова 200...doc