MatAn_thory

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f(x)dx f(x)dx f(x)dx .

Проверять это свойство не будем.

Свойство 5 (об интегрировании неравенств). Если

на a,b , то

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

1.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

му выделим из неправильной дроби ее целую часть, поделив числитель на знаменатель. В результате деления получим

x4 1	x 1	x2 1	.	(13.2)
x3 x2
		x3 x2

Теперь знаменатель получившейся правильной дроби разложим на множители x3 x2 x2 x 1 , а саму правильную дробь на простейшие дроби:

x2 1

(13.3)

x3 x2

x2 x 1

x x2

x 1

Умножив это равенство на x2 x 1 , получим:

x2 1 Ax x 1 B x 1 Cx2 .

(13.4)

Подставив в это равенство значения

x 0

и x=1, получим

B 1,

C 2.

Для отыскания коэффициента A можно либо в равенстве (13.4) подставить еще одно частное значение x, либо в правой и левой частях равенства (13.4) прирав-

нять коэффициенты при одинаковых степенях x, например, при x2 :				1 A C .
Тогда A 1 C 1. Подставляя найденные	A 1,	B 1,	C 2	в равенство
(13.3) и используя равенство (13.2), окончательно получим

	x4 1				1	1
			dx	x 1
x3		x2			x		x	2

2		x2			1

	dx		x ln	x		2ln	x 1	C.

x 1		2			x

Пример 13.11. Найти интеграл	dx
		.
	x x7 2

Здесь разложение знаменателя на линейные и квадратичные множители и разложение дроби на простейшие требуют громоздких выкладок. Значительно

проще вынести из скобки

x x7

x8 1 2x 7

и воспользоваться тем, что

x 8dx

dx 7

d 2x 7

d 1 2x 7

Тогда

1 2x 7

x 2

1 2x

x3dx

Пример13.12. Найти интеграл

Решение. Как и в предыдущем примере, разложение знаменателя на линейные и квадратичные множители и разложение дроби на простейшие требуют громозд-

ких выкладок. Удобнее воспользоваться тем, что																	x3dx					dx4		.		Тогда
ких выкладок. Удобнее воспользоваться тем, что																	x3dx							.		Тогда
																							4
	x3dx					1					dx4							1		d x4 1
	x8 2x4 3					4			4	2			4					4	x		4		1		2	4
	x8 2x4 3					4			4	2			4					4			4				2
								x		2x				1 4

	1		1				x4 1 2					C			1		x4 1			C .


					ln		x4 1 2									ln
		4		4	ln		x4 1 2								16	ln	x4 3

											71

13.4. Интегрирование по справочникам

Для отыскания неопределенных интегралов издаются обширные справочники (см. [5], [6]). При пользовании такими справочниками надо внимательно познакомиться с принципами, по которым в них группируются интегралы. Для успешного использования справочников надо знать свойства неопределенных интегралов и основные методы интегрирования, так как многих интегралов в справочниках нет, но их легко можно привести к табличным интегралам с помощью некоторых преобразований.

Например, интеграл x2 x2 x 1dx отсутствует в справочниках. Прежде чем использовать справочники, надо выделить из квадратного трехчлена полный

квадрат		2		1	2	3	и сделать замену переменной x	1	t , dx dt .
	x		x 1 x
				2				2
						4

Тогда				1	2	3
	x2 x2 x 1dx	x2
			x				dx
				2		4

	1	2
	1	2		2	3
t			t			dt
t	2		t		4	dt
	2				4

t2	t2	3	dt t	t2	3	dt	1	t2	3	dt.

	4			4		4		4

Каждый из трех получившихся интегралов есть в справочниках. После их отыс-

кания надо подставить t x 1 .

13.5. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

Мы рассмотрели классы элементарных функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции.

На практике часто встречаются и такие элементарные функции, интегралы от которых нельзя выразить через элементарные функции.

Отметим ряд интегралов, не выражающихся через элементарные функции, но имеющих большое прикладное значение:

e x2dx,

sinx2dx,

cosx2dx,

sin x

dx,

cosx

dx,

ln x

С некоторыми из этих интегралов вы позднее встретитесь, например с первым интегралом – в теории вероятностей, со вторым и третьим интегралами – в физике.

Глава 4. Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла возникло в связи с вычислением площадей и объемов фигур. К нему приводят и многие физические задачи, например, отыскание массы и центра тяжести неоднородного стержня.

14.Понятие определенного интеграла и его свойства

Вшкольном курсе математики определенный интеграл был введен с помощью первообразной. Мы рассмотрим другой подход − через интегральные

суммы. Этот подход является более общим; с его помощью вводятся и другие типы интегралов − двойные, тройные, криволинейные, поверхностные.

Рассмотрим одну из задач, приводящую к понятию определенного интеграла.

14.1. Задача о массе стержня

Рассмотрим тонкий стержень, поперечными размерами которого можно

пренебречь. Стержень мысленно представим в виде отрезка a,b

на осиOx .

Пусть известна плотность распределения массы x

в каждой точке x стержня и

функция (x) непрерывна на a,b .

Для вычисления массы стержня разобьем отрезок a,b на n частей (яче-

ек) с длинами x1, x2 ,..., xn (рис.36). В этих ячейках

выберем произвольно точки

,...,

. В силу не-

0 a

прерывности функции (x) и малости каждой ячей-

Рис. 36

ки плотность в точках ячейки можно приближенно считать постоянной, равной плотности в выбранной точке. Тогда масса ячейки приближенно равна произведению плотности на длину ячейки. Обозначив массы ячеек m1, m2,..., mn , по-

лучим:

m1 (x1) x1, m2 (x2) x2 ,..., mn (xn) x.

Суммируя массы всех ячеек, получим приближенноезначение массы mстержня m (x1) x1 (x2) x2 ... (xn) xn .

Для краткой записи такой суммы используют специальный символ, рядом с ним записывают произвольное k-е слагаемое (xk) xk и указывают, что k меняется

от 1 до n. Итак, m (xk) xk . Это приближенное равенство будет тем точ-

k 1

нее, чем меньше длины всех ячеек (или максимальная из длин ячеек, обозначим ее d). Точное значение массы стержня определяется как предел этой суммы при d стремящемся к нулю:

	n
m lim	(	x	k) xk .	(14.1)
d 0	k 1

Этот предел обозначается (x)dx и называется определенным интегралом от

функции (x) по отрезку a,b .

К пределам такого типа приводят и другие задачи, например, о площади плоской фигуры или о работе переменной силы по прямолинейному перемещению. Абстрагируясь от конкретных задач, дадим общее понятие определенного интеграла.

14.2. Понятие определенного интеграла

Пусть на отрезке a,b задана функция f x . Так же, как и в задаче о массе стержня, разобьем отрезок a,b произвольным образом на n ячеек с длинами

x1, x2 ,..., xn . В этих ячейках выберем произвольно точки x1,x2 ,...,xn (см. рис.36).

Составим сумму f (xk) xk . Эта сумма называется интегральной суммой

	k 1
функции f x	по отрезку a,b . Найдем предел интегральной суммы при стрем-
лении к нулю максимальной из длин d ячеек.

	n
Определение.	Если существует предел интегральной суммы f (	x	k) xk при
	k 1

d 0, не зависящий от способа разбиения отрезка a,b и от выбора промежуточных точек xk , то этот предел называется определенным интегралом функции

f x по отрезку a,b и обозначается f(x)d x.

			b	n
Таким образом,			f(x)dx lim f(		x	k) xk	.	(14.2)
			a	d 0k 1
При введении определенного интеграла мы предполагали, что a b .								При a b
b	a					a
полагают f(x)dx f(x)dx .		При a b		полагают f(x)dx 0.
a	b					a
Функция	f x , для которой на отрезке a,b существует определенный ин-

теграл, называется интегрируемой на этом отрезке. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, отрезок a,b − промежутком интегрирования, x − переменной интегрирования.

Пример 14.1. Показать, что dx b a.

Решение. Воспользуемся определением интеграла для функции f x 1 и тем,

что сумма длин ячеек равна длине всего промежутка интегрирования. Тогда

b		n					n
	dx lim		f (	x	) x	lim		x	lim (b a) b a.
	d 0			k	k	d 0		k	d 0
a		k 1					k 1

14.3. Свойства определенного интеграла

Установим, исходя из определения, некоторые свойства определенного интеграла. Будем при этом предполагать, что все рассматриваемые ниже интегралы существуют.

Свойство 1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, то есть

b b

f(x)dx f(t)dt .		(14.3)
a	a
	74

Действительно, от обозначения переменной значения функции, а значит, и инте-

гральной суммы и интеграла не изменится.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, то есть

b b

f(x)dx f(x)dx .

(14.4)

Действительно, для любого разбиения отрезка a,b

на ячейки и любого выбора

промежуточных точек

k имеем:

f(x)dx lim f(

k) xk lim

k) xk

lim f(

xk) xk f(x)dx.

d 0k 1

d 0

k 1

d 0k 1

Свойство 3. Определенный интеграл от суммы двух функций равен сумме

определенных интегралов от слагаемых, то есть

b b b

[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx .			(14.5)
a	a	a

Вывод этого свойства аналогичен предыдущему. Заметим, что свойство 3 справедливо для любого конечного числа слагаемых.

Свойство 4. Для любого расположения точек a, b, c

b c b

Действительно, так как

f(x)dx

b b

f(x)dx g(x)dx.		(14.7)
a	a

f(x) g(x) на a,b , то

	n			n		b
lim	f(	x	k) xk lim	g(	x	k) xk g(x)dx.
d 0 k 1			d 0 k 1			a

Свойство 6 (об оценке интеграла). Если		m f x M			на отрезке a,b , то

	b
	m(b a) f(x)dx M (b a)			.		(14.8)
	a
						b
Оценка интеграла следует из свойства 5 и того факта, что						dx b a.
						a
Действительно, так как f(x) m на a,b , то			b		b	b
Действительно, так как f(x) m на a,b , то			f(x)dx mdx m dx m(b a).
			a		a	a
75

Аналогично, так как f(x) M на

a,b ,

то

f(x)dx M dx M dx M (b a).

Свойство 7 (об оценке модуля интеграла).

f x

f(x)dx

(a b).

(14.9)

f x

Оценка модуля интеграла следует из свойств модуля:

f (x)

Тогда из свойства 5 следует, что

f x

dx ,

dx f (x)dx

и, следовательно,

f(x)dx

f x

dx.

Пример 14.2. Оценить интеграл

sin x8 dx.

1 x

Решение. Так как

sin x

1, а 1 x8 x8

x 10, то

sin x

1 x8

108

1 x8

Тогда, используя соотношение (1.9), получим

sin x

sin x8

(16 10)

1 x

f x

Свойство 8 (теорема о среднем). Если функция

непрерывна на отрезке

a,b , то на этом отрезке найдется точка

такая, что

f(x)dx f(c) (b a)

(14.10)

Выведем эту формулу. Так как функция

f x

непрерывна на отрезке

a,b , то

она достигает на этом отрезке наименьшего m и наибольшего M значений. По-

этому m f(x) M	на a,b . Тогда из соотношения (14.8) следует:
					b
		m(b a) f(x)dx M (b a).
					a
Разделим это неравенство на положительное число b a :
			1			b
			1			f(x)dx M .	(14.11)
			m
			m	b a
						a
			1		b
Рассмотрим число	,	равное	1		f(x)dx. Из равенства (14.11)		следует, что
Рассмотрим число	,	равное	b a		f(x)dx. Из равенства (14.11)		следует, что

m M . Так как функция f x непрерывна на отрезке a,b , то она принимает на этом отрезке все промежуточные значения между m и M. В частности, функ-

ция f x принимает промежуточное значение							в некоторой точке с отрезка
a,b , то есть	f c . Отсюда	1			b	и	b
		1			f(x)dx		f(x)dx f(c)(b a).
		f(c)	b a		f(x)dx		f(x)dx f(c)(b a).
					a		a
Замечание. Значение f c из теоремы о среднем называют средним зна-
чением функции f x на отрезке a,b и обозначают fср. Таким образом,
		1			b
		1			f (x)dx	.	(14.12)
		fcp		b a	f (x)dx	.	(14.12)
					a

Понятие среднего значения функции на отрезке является обобщением средне-

арифметического значения на случай непрерывной величины. Именно так опре-

деляется в технике среднее значение давления пара, среднее значение мощности переменного электрического тока и т. п.

14.4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

x	a,b соответствует
Рассмотрим интеграл f (t)dt . Каждому x из отрезка	a,b соответствует
a

определенное число − значение этого интеграла, то есть интеграл является

функцией от x, определенной на a,b . Обозначим эту функцию	Ф(x). Итак,
x
f t d t Ф x .	(14.13)
a

Теорема. Пусть функция f t непрерывна на отрезке a,b . Тогда производная

определенного интеграла от этой функции по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции на верхнем пределе, то есть

Доказательство. Для вычисления производной функции Ф(x) придадим x приращение x и вычислим приращение функции Ф(x), воспользовавшись равенством (14.13) и свойством 4:

				x x			x
Ф(x) Ф(x x) Ф(x)						f(t)dt f(t)dt
					a		a
x	f(t)dt	x x		x	f (t)dt		x x	f (t)dt.
	f(t)dt		f (t)dt		f (t)dt			f (t)dt.

a		x		a			x

Кполученному интегралу применим теорему о среднем:

		Ф(x)		f(t)dt f(	x	) x ,
		Ф(x)		f(t)dt f(	x	) x ,		x
			x			x			x x	x
						x			x x	x
где	x	заключено между x		и x + x (рис. 37). Тогда			Рис. 37
							Рис. 37
				77

Ф(x) f(x) x f(x).

x x

Перейдем в этом равенстве к пределу при x 0 и воспользуемся непрерывно-

стью функции f x

и тем, что

при x 0 (рис. 37). Тогда

Ф(x)

lim

f(x) lim

f (x) f(x).

Ф(x) lim

x 0

15.Вычисление определенного интеграла

15.1.Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция

f x

непрерывна на отрезке a,b

и F x − одна из ее пер-

вообразных на этом отрезке. Функция

также является первооб-

Ф(x) a

f(t)dt

разной для функции

f x

на a,b , так как Ф

x f x

в силу равенства (14.14).

Две первообразные

функции

f x

отличаются на

константу, то

есть

Ф x F x C для x [a,b] или

(15.1)

f(t) dt F(x) C.

В частности, при x a равенство (15.1) примет вид:

(15.2)

f(t) d t F(a) C.

Вычтем из равенства (15.1) равенство (15.2) и учтем, что

f(t)dt 0. Тогда

f(t)dt F(x) F(a),

x [a,b].

При x b это равенство примет вид

f(t)dt F(b) F(a) .

(15.3)

f t −

Полученная формула называется формулой Ньютона-Лейбница. В ней

функция, непрерывная на a,b , F t − любая ее первообразная.

Разность F b F a

принято условно записывать в следующем виде:

F(b) F(a) F(t)

b , или F(b) F(a) F(t)

b .

Тогда формула (15.3) примет вид f(t)dt F(t) |ba F(b) F(a), или:

b	b
b
f(x)dx F(x)		F(b) F(a)	.	(15.4)
f(x)dx F(x)	a	F(b) F(a)	.	(15.4)
a
a
78

Если вместо произвольной первообразной F(x) записать неопределенный интеграл, то формула Ньютона-Лейбница примет вид

b		b
b
f(x)dx	f(x)dx		.	(15.5)
f(x)dx	f(x)dx	a	.	(15.5)
a
a

Формула (15.5) дает простой и удобный метод вычисления определенного интеграла от непрерывной функции через неопределенный интеграл.

Пример 15.1. Вычислить интеграл					1		dx	.
							dx
						x	2
					1	x	1
Решение. По формуле (15.5) имеем:					1
Решение. По формуле (15.5) имеем:
1	dx			1								.
1
		arctg x			arctg1 arctg( 1)
	2	arctg x			arctg1 arctg( 1)
1	1 x			1					4	4		2
1	1 x	3								x	,	0 x 1,
		3								x
Пример 15.2. Вычислить			f(x)dx	для функции f x					e
Пример 15.2. Вычислить			f(x)dx	для функции f x
									3 x, 1 x 3.
		0

Решение. Воспользуемся сначала свойством 4 определенного интеграла, а затем формулой (15.5). Тогда

3	1	3	1	3		3 x 2	3	(e 1) 0 2 e 1 .
					1
f(x)dx f(x)dx f (x)dx exdx (3 x)dx ex					0	2	1
0	0	1	0	1

Пример 15.3. Вычислить среднее значение функции f(x)

1 ln2 x

на отрезке 1,e .

Решение. Среднее значение функции

fср. вычисляется по формуле (14.12):

f (x)dx

fcp

b a

e 1

1 ln

1 x

Для вычисления интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница (15.5) и

тем, что

d (ln x). Тогда

d(lnx)

arcsin(ln x)|

arcsin(lne) arcsin(ln1) arcsin1 arcsin0 ,

1 x 1 ln x

1 ln x

(e 1)

15.2. Интегрирование по частям

Пусть u x , v x − дифференцируемые функции. Для неопределенного ин-

теграла была получена формула интегрирования по частям

udv uv vdu.

Воспользуемся этой формулой и формулой (2.5) Ньютона-Лейбница:

udv

uv vdu

vdu .

Мы получили формулу интегрирования по частям для определенного интеграла

b	b
udv uv\|ab	vdu	.	(15.6)
a	a

Рекомендации по применению этой формулы такие же, как для неопределенного интеграла.

Пример 15.4. Вычислить xln x dx.

Решение.

Положим

u lnx, dv xdx .

Тогда du (ln x) dx x dx, v xdx

Используя формулу (15.6), получим:

x2 1

1 x2 2

xln xdx

ln x|1

x dx

2ln2 2ln1 2

|1 2ln2

4 .

Пример 15.5. Вычислить

xcosxdx.

Решение. Положим

u x,

dv cos xdx . Тогда du dx ,

v cos x dx sin x . Исполь-

зуя формулу (15.6), получим:

xcosxdx xsin x|02

sin xdx

2 sin

2 cosx|02

2 cos 2 cos0

15.3. Интегрирование заменой переменной

Пусть

требуется

вычислить

определенный интеграл

от функции

f(x)dx

f x , непрерывной

a,b .

на отрезке

Сделаем

замену

переменной,

положив

x (t) . При этом будем предполагать, что выполняются следующие условия: 1) множеством значений функции x (t) при t , является отрезок a,b ;

2)( ) a, ( ) b;

3)функция x (t) и ее производная (t) непрерывны на отрезке , .

Тогдаимеетместоследующаяформулазаменыпеременнойвопределенноминтеграле

		(15.7)
f(x)dx f( (t)) (t)dt .		(15.7)
a

Таким образом, при замене переменной в определенном интеграле следует:

1)заменить переменную x на удачно подобранную функцию (t);

2)заменить dx на d (t) (t)d t ;

3)заменить отрезок a,b изменения переменной x на отрезок [ , ]

изменения переменной t, найдя и из условий ( ) a, ( ) b; 4) вычислить получившийся определенный интеграл.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.02.201521.14 Кб90Mass Media in the USA.docx
#
22.02.2015945.15 Кб57matan.doc
#
23.02.20151.02 Mб15Matan.pdf
#
23.04.20191.37 Mб8matan_AAAAAA.doc
#
23.02.20151.37 Mб22MatAn_practice.pdf
#
23.02.20151.84 Mб18MatAn_thory.pdf
#
23.02.20151.78 Mб26Matan__teoria.pdf
#
23.02.2015698.48 Кб15Matematika_2_semestr_RTF_1_.pdf
#
22.02.201557.34 Кб18matematika_for_all.doc
#
13.03.2016495.31 Кб30matem_statistika[1].docx
#
22.02.2015169.99 Кб52Materialy_SK_Myshlenie_i_rech.docx