Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MatAn_thory

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

1.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Список таких формул можно продолжить. Важно понять, как они получаются. Рассмотрим примеры на вычисление неопределенных интегралов методом

подведения под знак дифференциала.

			dx			1		d(3x 1)					1
								d(3x 1)
Пример 12.1.						3								(3x 1) 5d(3x 1)
Пример 12.1.		(3x 1)		5		(3x			1)	5				(3x 1) 5d(3x 1)
		(3x 1)				(3x			1)		3
	1		u 5 du		1		u 4		C			(3x 1) 4			C .
			u 5 du						C						C .
3				3				4						12

Мы использовали свойства дифференциалов

d (3x)

d(3x 1) и форму-

лу (1), п. 11.3.

Пример 12.2.

Найти интеграл

2ln x 3

Воспользуемся правилом подведения под знак дифференциала

d (ln x)

d (2ln x)

d (2lnx 3)

и введем новую переменную

u 2ln x 3.

Тогда

(2lnx 3)

du u

2lnx 3

В дальнейшем, когда появится навык,

можно вводить новую переменную u

только "мысленно".

Пример 12.3.

Найти интеграл

e3sin x cosx dx.

Воспользуемся правилом подведения под знак дифференциала

d(3sinx).

cosx dx (sinx) dx d (sin x)

Тогда I e3sinx cos xdx

e3sinxd(3sin x)

e3sinx

C . Здесь мы "мысленно" вве-

ли переменную u 3sin x

и воспользовались формулой (3), п. 11.3.

Пример 12.4. Найти интеграл

x2 dx

1 x6

Воспользуемся тем, что

x2 dx

dx3

x6 x3 2 , и формулой (12), п. 11.3:

x2 dx

dx3

arcsin x3 C.

1 x6

1 x3 2

Пример 12.5. Найти интеграл

sin3 6xcos6xdx.

Воспользуемся тем, что

cos6xdx

cos6x d(6x)

d (sin6x) . Тогда

sin3 6xcos6xdx

sin3 6xd(sin6x)

sin4 6x

Пример 12.6 . Найти интеграл

x (arcsin3x)2

dx.

1-9x2

Представим интеграл в виде суммы интегралов

dx,

(arcsin3x)2

d x .

1-9x2

Воспользуемся тем, что

dx2

1 1

d (arcsin3x).

xdx

d( 9x

)

d(1 9x

2 9

1 9x2

Тогда I1

(1 9x2)1 2

(1 9x2)

2 d(1 9x2)

1 9x2 C1,

1 2

(arcsin3x)3

(arcsin3x)2d

(arcsin3x)

C2 .

Окончательно имеем

(arcsin3x)3

C .

1 9x2

12.2.Метод замены переменной

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести данный интеграл к более простому. Такой метод называется методом замены переменной или методом подстановки.

Пусть функция x u непрерывно дифференцируема на промежутке и имеет обратную функцию u x . Тогда

f (x)dx	f u u du	u x	.	(12.5)

Выражение, стоящее в правой части этой формулы, означает, что после отыскания интеграла в равенстве (12.5) вместо u нужно подставить его выражение через x.

Вывод этой формулы опустим. Отметим, что в формуле (12.5) мы "выво-

дим функцию из под знака дифференциала"	dx d u u du .	В формуле
(12.4) мы "подводим под знак дифференциала"	x dx d x .
Остановимся подробнее на применении формулы (12.5).

При замене переменной в интеграле f x dx нужно
а) заменить переменную x на функцию u , заменить dx		на u du,

б) вычислить получившийся интеграл,
в) результат выразить через первоначальную переменную x.

Укажем некоторые рекомендации по выбору новой переменной. Пусть R x, y − рациональная функция, полученная из x, y с помощью сложения, вычи-

тания, умножения, деления. Рекомендации по выбору новой переменной приведены в следующей таблице.

Тип интеграла

Замена

I1 R x,

x2 dx

x a sinu

I2 R x,

a2 x2 dx

x a tgu

x a

sinu

ax b

ax b uk ,

I4 R x,

cx d

k - наименьшее общее кратное чиселm,n

Пример 12.7. Найти

x2 9 dx . Это − интеграл типа I3.

3 . Тогда

В соответствии с рекомендацией сделаем замену x

sinu

	3				3cosu							cosu
			2							9
		du 3 sinu	2					2		9
dx				cosudu		du,	x		9		9 3		.
dx				cosudu		du,	x		9		9 3	sinu	.
sinu					sin2 u					sin2 u		sinu

Подставляя выражения для x, dx, x2 9 в интеграл, получим:

3cosu

sinu

sin2 u

du 3

cos u

sin2 u

			sinu
	1 sin2 u		1
3		du 3
3	sin2 u	du 3	sin2 u
	sin2 u		sin2 u

du du 3ctg u 3u C .

Получившийся результат надо выразить через первоначальную переменную x.

Учитывая, что x 3 , получим

sinu

x2 9

cosu

x2 9

sinu

cosu

ctg u

u arcsin

sinu

Тогда

x2 9

C .

x2 9 3arcsin

dx. Это − интеграл типа I4 .

Пример 12.8. Найти

x 9

В соответствии

с рекомендацией сделаем

замену

x 9 t 2 . Тогда

x 9 t 2 ,

dx t2 9 dt 2tdt. Подставим выражения для x, dx, x 9 t в интеграл:

x 9	dx	t 2tdt			2	(t2	9) 9		dt 2	dt 9		dt		2t 18	1	arctg	t	C .

x		t	2	9		t	2	9			t	2	9		3		3

Получившийся результат надо выразить через переменную x. Учитывая, что

x 9

t 2 x 9, t

x 9, получим

x 9 6arctg

C .

Пример 12.9. Найти

x2 9

dx. Это − интеграл типа I2 .

В соответствии с рекомендацией (2) сделаем замену x 3tgt . Тогда

sin2 t

dx 3tg t

dt,

x2 9 9

cos2 t

cost

Подставляя выражения для

x, dx,

x2 9

в интеграл, получим

x2 9

cos t dt

cos t

cos

2 t

4 sin

sin

cos

4 t

sin 4 t d sint

sin 3 t

C .

27sin

Получившийся результат надо выразить через переменную x, учитывая, что tgt x . Удобно воспользоваться прямоугольным треугольником с острым уг-

лом t, противолежащим катетом x

и прилежащим катетом, равным 3 (рис. 35).

Тогда tg t

sint

x2 9

sint

x2 9

Окончательно получим

x2 9

C .

Рис.35

27 x

Пример 12.10. Найти

1 ex

Сделаем замену переменной 1 ex t2. Тогда

t2 1,

x ln t2 1 , dx

2tdt

t2 1

2tdt

t 1

C ln

1 ex

C .

t 1

1 ex

1) t

1 ex 1

12.3. Метод интегрирования по частям

Пусть

u x

v x – дифференцируемые функции. Найдем дифференциал

их произведения:

d uv udv vdu . Проинтегрируем это равенство и воспользу-

емся свойством

d uv uv . Тогда получим формулу

uv udv vdu

или

udv uv vdu

(12.6)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула применяется, когда вычисление интеграла vdu составляет задачу более простую, чем

вычисление интеграла udv.

Умение разбивать разумным образом подынтегральное выражение на множители u и dv вырабатывается в процессе решения задач. Укажем, когда и как это делается в некоторых случаях:

1) интегралы P x eaxdx, P x sinaxdx, P x cosaxdx,

где P(x) – многочлен, вычисляются многократным интегрированием по частям, причем следует взять u P x , а оставшееся выражение взять за dv;

при каждом применении формулы (12.6) степень многочлена будет понижаться на единицу;

2) интегралы вида P x lnxdx,	xarctgxdx,	arcsin xdx	также вычисляются мето-
дом интегрирования по частям,	но за u следует взять соответственно функции
ln x, arctg x, arcsin x .

Пример 12.11. Найти интеграл	x2e x dx.
Положим u x2, dv e xdx . Тогда	du 2xdx ,	v dv	e xdx e xd( x) e x .

При отыскании функции v мы взяли постоянную интегрирования C 0. Легко проверить, что это не повлияет на конечный результат. Теперь применим фор-

мулу (12.6):

x2e x dx x2 e x 2 xe xdx.

Еще раз применим формулу интегрирования по частям, положив u x, dv e xdx.

Тогда du dx, v e x ,

x2e x dx x2 e x 2 x e x e xdx e x x2 2x 2 C .

Заметим, что если в первоначальном интеграле положить u e x,

dv x2dx, то фор-

мула (12.6) приведет к интегралу

x3e xdx, более сложному, чем первоначальный.

Пример 12.12.

Найти

xarctg xdx .

Положим u arctg x, dv xdx. Тогда du arctgx dx

dx,

v dv xdx

1 x

и, используя формулу (12.6), получим

xarctg xdx

arctg x

dx.

1 x

Преобразуем подынтегральную функцию:

1 1

. Тогда

1 x2

dx x arctg x C.

1 x

Итак, окончательно,

xarctg xdx

x2 1

arctg x

C .

Пример 12.13. Найти интеграл

cos

dx.

sin

Положим

u cosx, dv

cosx

d sin x

Здесь такой выбор u

и dv менее оче-

sin3 x

виден, чем в предыдущих примерах. В выражение для

мы включили cosx ,

чтобы получить d sin x

и легко вычислить v:

d(sin

sin 2 x

. Тогда

sin

cosx

sin xdx

cosx

cos

C .

sin x

sin

2sin

2sin x

2sin

x 2

2sin

Пример 12.14.

Найти интеграл

I ex cosxdx.

Положим

u ex, dv cosxdx. Тогда du exdx,

dv cosxdx sin x,

I ex cosxdx ex sin x ex sinxdx.

(12.7)

Еще раз применим метод интегрирования по частям, положив u= ex, dv sin xdx .

Тогда	du exdx,	v dv	sin xdx cosx,
		ex sin xdx ex cosx ex cosxdx ex cosx I .
Подставляя полученное значение интеграла ex sin xdx				в равенство (12.7), по-
лучим:	I exsin x ex cosx I		или 2 I ex sin x cosx и	I	1	ex sin x cosx .

				2

Здесь мы получили одну из первообразных. Чтобы записать множество первообразных, нужно добавить произвольное число C . Итак,

I	ex cosxdx	1	ex sin x cosx C .

	2

Мы рассмотрели основные методы интегрирования – метод подведения под знак дифференциала, метод интегрирования по частям, метод замены переменной. Но эти методы далеко не всегда облегчают отыскание интеграла. Далее мы рассмотрим некоторые классы функций, для интегрирования которых есть свои специальные приемы.

13.Интегрирование некоторых классов функций

13.1.Интегрирование тригонометрических функций

1.Случай 1. sin x cos xdx,где хотя бы одно из чисел , – положительное

нечетное число. В этом случае следует отделить от нечетной степени sin x (или cosx ) одну степень и подвести ее под знак дифференциала.

Пример 13.1. Найти ctg3 xdx .

Подынтегральная функция ctg 3x cos3 x содержит cosx в нечетной положитель- sin3 x

ной степени. Поэтому отделим в числителе cosx и воспользуемся тем, что cosxdx d sin x , а cos2 x 1 sin2 x. Тогда

											ctg3xdx											cos2 xcosxdx																					1 sin2 x
																																																					d(sin x)
																											sin				3			x											sin			3	x				d(sin x)
																											sin							x											sin				x
												sin 3 xd(sin x)																			d(sin x)											sin 2 x							ln					sin x					C .
																															d(sin x)											sin 2 x

																																		sin x										2
																																		sin x										2
2. Случай 2.									sin xcos xdx ,где и –																													четные неотрицательные числа. В
этом случае следует понизить степень, используя формулы удвоения угла:
									sin2 x					1 cos 2x									,			cos2 x										1 cos 2x								,		sin xcosx														sin2x		.					(13.1)
																	2																				2																							2
Пример 13.2. Найти													sin2 xcos2 xdx.
Подынтегральная функция содержит sin x																																					и cosx									в четной степени. Поэтому
понизим степени, используя формулы (13.1):
								sin2 xcos2 xdx													sin2					2x											1 cos4x																1								sin4x
																													dx																		dx								x								C.
																						4							dx													8					dx						8		x								C.
																						4																				8											8				4
Пример 13.3.									Найти							cos6 xdx.
Подынтегральная функция содержит cosx																																						в четной степени. Поэтому восполь-
зуемся одной из формул (13.1) и формулой для куба суммы:
									cos6		x		1 cos2x 3															1			1 3cos2x 3cos2 2x cos3 2x .

																			2
																			2									8
							6			1																														2																3
Тогда			cos					xdx					dx 3								cos2xdx 3 cos																					2xdx									cos						2xdx .						При этом
Тогда			cos					xdx					dx 3								cos2xdx 3 cos																					2xdx									cos						2xdx .						При этом
					1					8								1
	cos2xdx				1				cos2xd(2x)									1		sin2x C ,
	cos2xdx								cos2xd(2x)											sin2x C ,
				2													2											1
																												1
				1															1									1																					x			sin4x
	cos2	2xdx							1 cos4x dx														dx										cos4xd 4x																										C,
	cos2	2xdx							1 cos4x dx										2				dx					4					cos4xd 4x															2							8				C,
				2															2									4																				2							8
	cos3					1			cos2 2x cos2x d 2x																	1											2 2x						d sin2x													1								sin	3	2x
		2x dx				1																				1					1 sin																									1		sin2x						sin		2x	.
		2x dx																													1 sin																											sin2x									.
				2																						2																														2									3
				2																						2																														2									3
Итак,				cos6 xdx						1					3									3						3									1											sin			3		2x
										1	x				3	sin2x								3	x					3		sin4x							1		sin2x									sin					2x			C
											x					sin2x									x							sin4x									sin2x																	C
										8			2									2						8									2														6
										8			2									2						8									2														6
													1				5																	3									1
																			x 2sin2x																sin4x										sin3 2x								C .
																	2		x 2sin2x															8	sin4x								6		sin3 2x								C .
													8				2																	8									6

3. Случай 3. sin x dx, где , – целые неотрицательные числа. cos x

Здесь единой рекомендации нет. Выделим следующие случаи.

а) 1 при четном применяется метод интегрирования по частям (см. пример 12.13); при нечетном имеем случай 1);

б)

2 подынтегральное выражение выразить через tgx

и d tgx или че-

рез ctgx и d ctgx ;

в)

увеличить

степень числителя, умножив его

на выражение

sin2 x cos2 x, равное единице;

г)

0 в числителе заменить sin2 x на 1 cos2 x или cos2 x на

1 sin2 x.

sin

Пример 13.4.

tg2 xd(tg x)

C ,

cos

ctg

cos

ctg5 xd(ctg x)

C .

sin

x sin

Пример 13.5.

		1			dx
sin	3	xcos	3
				x

sincosx3dxx 2

sin2 x cos2 x 2

sin4 x 2sin2 xcos2

x cos4 x

sin

xcos

sin

xcos

cosx

tgxd tg x 2

d tgx

ctg xd ctgx

sin x

cos

sin x

tgx

cosx

= tg2x 2ln tg x ctg2x C . 2 2

sin

x 1 cos

sin

Пример 13.6.

sin

cos

tg2 xd(tg x)

1 cos

tg3x

dx dx

tg3x

tg x x C .

cos

13.2. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

I1	dx		I2	mx n dx		I3		dx
		,			,				,
	ax2 bx c k			ax2 bx c k
							x	ax2 bx c

где k 1 или k 1 . Отметим, что интегралы 1-го и 2-го типа при k 1 возникают

при интегрировании дробно-рациональных функций (п. 13.3).

Укажем общие рекомендации по отысканию интегралов этих трех типов.

Винтеграле I1 выделить из квадратного трехчлена полный квадрат.

Винтеграле I2 выделить в числителе производную квадратного трехчлена.

В интеграле I3 вынести x из-под корня.

Пример 13.7.. Найти интеграл	dx	.

	x2 2x 4
	x2 2x 4
	68

Имеем интеграл первого типа при k 1 . Выделим из квадратного трехчлена

полный квадрат: x2 2x 4 x2

2x 1 3 x 1 2

Используя это равенство и формулу (13) п.11.3, получим

d x 1

x 1

x 1 2 3

x2 2x 4

x 1 2

Пример 13.8.

Найти интеграл

7x 1 dx

x2 2x 4

Имеем интеграл второго типа при k

. Найдем производную квадратного

2x 2

и выделим ее в числителе следующим образом:

трехчлена x2 2x 4

7x 1 2x 2

7 1 x2 2x 4

Тогда

x2 2x 4 dx

x2 2x 4

Второй интеграл в этой сумме был найден в примере 13.7:

x 1 x 1 2 3

C .

x2 2x 4

В первом интеграле воспользуемся тем, что

u x dx

du x

u 1/2du

u1/2

C 2

C .

u x

1/2

Обозначив C C1 C2, окончательно получим:

x2 2x 4 8ln

x 1

x2 2x 4

Пример 13.9. Найти интеграл

7x2 6x 1

Имеем интеграл третьего типа. Вынесем x из-под корня:

						dx										dx							.

														2			6 1
				x 7x2 6x 1									x	2			6 1
															7
								d x 1							7			x		x2
Воспользуемся тем, что			dx			2		d x 1							1							1						,
					x		dx						d						d						3
			x2		x		dx			1			d						d						3
			x2							1					x							x
																											2
						1			6														1
		6	1			1			6														1
	7										9	9 7							16					3		.
	7								x		9	9 7							16					3		.
		x x2				x2			x												x

Используя эти равенства и формулу (12) п.11.3, получим

			d		1	3
	dx

				x

x 7x2 6x 1					1			2
		16					3
		16					3
					x

1		3		1 3x
arcsin	x		C arcsin		C .

		4
				4x

13.3. Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью R x называ-

ют отношение двух многочленов:	R x	a xn	a xn 1	... a	n		a			.
		0	1			,		0,	b 0
		b xm	b xm 1
				... b			0		0
	0		1	m

Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. n m , то рациональная дробь называется правильной. В противном случае рациональная дробь называется неправильной.

Интегрирование дробно-рациональной функции проводится в несколько этапов. Сначала мы перечислим эти этапы, а потом подробно поясним каждый из них на примере. Итак, для интегрирования дробно-рациональной функции R x следует:

1) если рациональная дробь неправильная, то выделить из нее целую часть и

правильную рациональную дробь R	x :	R	x	Pk x	k m ;
правильную рациональную дробь R	x :	R	x		k m ;
0		0		Qm x
				Qm x
						x b	,
2) знаменатель дроби Qm x разложить на линейные множители x a ,						x b	,
и квадратные множители x2 px q	, … с действительными коэффициентами;
и квадратные множители x2 px q	, … с действительными коэффициентами;

3) правильную рациональную дробь разложить методом неопределенных коэффициентов на простейшие дроби

R (x)

Pk (x)

...

(x a)

(x b)

...(x

px q)

x a

C x D

...

;

x b

x2 px q

x b

px q

4) найти неопределенные (неизвестные пока) коэффициенты

A1,..., A , B1,...B , C1, D1,...,C ,D ;

5) найти интегралы от целой части и простейших дробей.

Поясним все сказанное на примерах.

Пример 13.10. Найти интеграл	x4 1				dx.
	x	3	x	2

Подынтегральная функция есть неправильная рациональная дробь, так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе. Поэто-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.02.201521.14 Кб90Mass Media in the USA.docx
#
22.02.2015945.15 Кб57matan.doc
#
23.02.20151.02 Mб15Matan.pdf
#
23.04.20191.37 Mб8matan_AAAAAA.doc
#
23.02.20151.37 Mб22MatAn_practice.pdf
#
23.02.20151.84 Mб18MatAn_thory.pdf
#
23.02.20151.78 Mб26Matan__teoria.pdf
#
23.02.2015698.48 Кб15Matematika_2_semestr_RTF_1_.pdf
#
22.02.201557.34 Кб18matematika_for_all.doc
#
13.03.2016495.31 Кб30matem_statistika[1].docx
#
22.02.2015169.99 Кб52Materialy_SK_Myshlenie_i_rech.docx