Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Matan__teoria

.pdf
Скачиваний:
26
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
1.78 Mб
Скачать

 

n

f (P)dσ = lim f (Pk ) σk .

(σ )

d0 k=1

Удобно разбить поверхность (σ ) на ячейки координатными линиями

лим одну из таких ячеек (рис. 51). Рассмотрим радиус(векторы

точек

P, P ,

P

:

r

= r (u,v), r

= r (u + u,v), r

P

= r

(u,v + v).

 

 

1

2

 

P

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

= r

r

= r (u + u,v)r (u,v) =

 

 

r r u,

 

 

PP

u

 

 

 

1

 

P

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=r

r

= r (u,v + v)r

(u,v) =

 

 

r r

v,

 

 

PP

v

 

2

 

P2

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

rP

и площадь ячейки σ

 

 

 

 

 

 

 

u v.

 

 

 

 

PP

× PP

 

r

× r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

u

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

По аналогии с этим элемент площади поверхности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d σ =

ru× rv

dudv

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lu , lv . Выде(

P1

 

lu

 

P

 

 

P2

 

 

rP2

l

v

 

 

Рис.51

 

 

(7.34)

Можно показать (строгое доказательство опускаем), что

 

 

f (P)dσ = f (x, y, z)dσ = ∫∫ f (x(u,v), y(u,v), z(u,v))

 

ru×rv

 

du dv.

(7.35)

 

 

(σ)

(σ)

(S)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, получили следующее правило:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для вычисления поверхностного интеграла f (P)dσ = f (x, y, z)dσ следует

 

 

 

 

 

(σ)

 

(σ)

 

 

 

 

 

1) в подынтегральной функции подставить вместо

x, y, z

их значения на

 

 

поверхности (σ ), т.е.

x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v),

 

 

 

 

 

 

 

2) заменить элемент площади dσ на выражение d σ =

 

ru× rv

 

du dv ;

 

 

 

 

 

 

 

 

3) вычислить получившийся двойной интеграл по области (S) изменения

 

 

переменных (u,v).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Случай 2. Пусть гладкая поверхность (σ ) задана уравнением, разрешенным от(

носительно z :

z = z(x, y). Присоединив два очевидных тождества, получим па(

раметрические уравнения поверхности (σ )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i j k

 

 

 

i j k

 

 

 

 

y = y, (x, y параметры); тогда

rx× ry=

xx

yx zx

 

 

 

1 0 zx

 

 

=

 

 

= −zx i

zy j

+ k ,

z = z(x, y),

 

 

 

 

 

 

xy yy zy

 

 

 

0 1 zy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и по формуле (7.34) получим

dσ =

 

1+ (zx)2 + (zy)2 dxdy

 

. Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dσ = 1+ (z)2 + (z)2

dx dy;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x, y, z(x, y))

 

 

 

 

 

 

 

(7.36)

 

σ

f (x, y, z)dσ =

∫∫

f

1+ (z)2

 

+ (z)2

dxdy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

(

 

)

(σxy)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

71

Итак, для вычисления поверхностного интеграла f (P)dσ = f (x, y, z)dσ следует:

(σ) (σ)

1)вподынтегральнойфункциизаменить z егозначением z(x, y) наповерхности (σ ),

2)заменить элемент площади dσ на выражение 1+ (zx)2 + (zy)2 dxdy,

3)вычислить получившийся двойной интеграл по проекции (σ x y ) поверхности

(σ ) на плоскость XOY .

Случай 3. Пусть гладкая поверхность (σ ) задана уравнением, разрешенным от( носительно x : x = x(y, z). Тогда

dσ = 1+ (xy)2 + (xz)2 dy dz;

f (x, y, z)dσ = ∫∫ f (x(y, z), y, z)

1+ (xy)

2

+ (xz)

2

dy dz.

(7.37)

 

 

 

( )

(σ y z)

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

Здесь (σ yz ) есть проекция поверхности (σ ) на плоскость YOZ .

Случай 4. Пусть гладкая поверхность (σ ) задана уравнением, разрешенным от( носительно y : y = y(x, z) . Тогда

 

dσ =

2

)

2

dxdz;

 

 

1+ (y )

 

+ (y

 

 

 

 

x

 

z

 

 

 

 

 

 

f (x, y, z)dσ = ∫∫

f (x, y(x, z), z) 1+ (yx)2 + (yz)2 dxdz.

(7.38)

( )

(σx z)

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь (σ xz ) есть проекция поверхности (σ ) на плоскость XOZ .

Пример 7.25.Найти массу однородной поверхности x2 + y2 = z2 , (0 z 3) , если γ = z .

Решение. Построим поверхность x2 + y2 = z2 методом сечений. В сечении x = 0 получаем y2 = z2 или y = ± z . Это – пара прямых в плоскости YOZ (рис. 52). В сечении z = 3 получаем окружность x2 + y2 = 32 . Таким образом, уравнение x2 + y2 = z2 определяет ко( ническую поверхность. Массу поверхности найдем с помощью поверхностного интеграла: m = γ dσ = z dσ .

(σ) (σ)

Для вычисления этого интеграла уравнение поверхности удобно разрешить относительно z : z = x2 + y2 . Найдем zx , zy и затем dσ

формул (7.36):

z

3

0 y

x

Рис. 52

Рис. 52

по первой из

 

zx =

 

1

 

 

2x =

 

 

x

 

 

 

 

zy =

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x2 + y2

 

 

x2 + y2

 

 

 

 

x2 + y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

dσ = 1+ (z)2

+ (z)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxdy =

1+

 

+

 

 

 

dxdy = 2 dxdy .

x2

+ y2

 

x2 + y2

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь вычислим z dσ , подставляя значение z на поверхности (z = x2 + y2 ) и

(σ)

значение dσ = 2 dx dy :

72

f (x, y,z)

m =

z dσ = ∫∫ x2 + y2

2

dxdy .

(σ)

(σxy)

Здесь (σ xy ) есть проекция конической поверхности (σ ) на плоскость XOY , т.е. круг

радиусом 3

(рис. 52). Двойной интеграл по кругу удобнее вычислять в полярной

системе координат. Для этого заменим x2 + y2

на ρ2 , а dxdy на ρ dρ dϕ . Получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

3

 

 

2π

ρ3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

m = 2 ∫∫

 

x

 

+ y

 

dxdy =

2 ∫∫ ρ dρdϕ = 2

dϕ ρ

dρ =

2

 

 

 

dϕ =18π 2 .

 

 

 

 

 

 

(σxy)

 

 

 

 

 

 

(σxy)

0

0

 

 

0

3

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 7.26. Найти момент инерции относительно начала координат полусфе( ры x2 + y2 + z2 = R2 , (z 0) , если плотность γ = z .

Решение. Момент инерции относительно начала координат поверхности найдем с помощью поверхностного интеграла по второй из формул (6.13) :

I0 = (σ) (x2 + y2 + z2) γ dσ .

На поверхности сферы x2 + y2 + z2 = R2 , γ = z = R2 x2 y2 . Поэтому

I0 = (σ) R2 R2 x2 y2 dσ .

Для вычисления этого интеграла разрешим уравнение поверхности относитель(

но z , найдем zx , zy

и затем dσ по первой из формул (7.36):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zx =

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

zy =

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = R2 x2 y2 ,

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2 x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2 x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

R dxdy

.

 

dσ =

 

1+ (z)2 + (z)2 dxdy =

1+

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

dxdy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

R2

x2 y2

 

 

R2

x2 y2

 

 

 

 

 

 

R2 x2 y2

 

Подставляя выражение для dσ в интеграл, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rdxdy

== R3

 

 

 

I =

 

R2

 

R2 x2 y2 dσ = R2

 

R2 x2 y2

 

dxdy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

(σ)

 

 

 

 

 

 

 

(σ∫∫x y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2 x2 y2

 

 

(σ∫∫x y)

 

Проекция (σ x y )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(σ∫∫xy)

 

полусферы на плоскость XOY

 

 

 

есть круг радиусом R ;

dxdy

равен площади π R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(σ∫∫x y)

 

 

 

 

π R2

 

= π R5 .

 

этого круга. Поэтому

I0 = R3

 

dxdy = R3

 

 

Глава 3. ТЕОРИЯ СКАЛЯРНОГО И ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

8. Скалярное поле

Скалярное поле – это область пространства, в которой задана скалярная функция f (x, y,z) , называемая функцией поля. Например, это может быть поле температур, поле давлений и т.д.

Множество точек поля, в которых функция поля принимает посто( янное значение c , образует поверхность с уравнением f (x, y,z) = c , называемую поверхностью уровня поля. Если плоское скалярное поле, например, находится

73

в плоскости XOY , то его функция поля f (x, y) зависит от двух переменных x и y , а множество точек, в которых f (x, y) = c , образуют линию уровня. Линии уровня используются при составлении географических карт (для изображения точек, расположенных на одинаковой высоте над уровнем моря), при составлении ме( теорологических карт (для изображения линий одинаковых температур – изо( терм и линий одинакового давления – изобар).

8.1. Производная поля по направлению

Для характеристики скорости изменения поля f (x, y,z) в направлении век(

тора l введем понятие производной поля по направле(

 

 

нию. Пусть задана точка M и вектор

l , выходящий из

l

точки M (рис. 53). Рассмотрим точку

M1, лежащую на

M1

 

векторе l , и величину f (M1) f (M) = f (M) – приращение

M

l

Рис. 53

функции поля f (M) в точке M в направлении l .

Определение. Производной поля f (M) в точке M в направлении l называют величину

 

 

 

 

 

 

f (M) = lim

 

 

f (M)

=

 

lim

 

f (M1) f

(M)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

l0

 

 

l

 

 

 

M 1M

 

M1 M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства производной по направлению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1). Скорость изменения функции f (M)

в точке M в направлении l

равна

f

(M) .

l

2).Поле f (M) вточке M внаправлении l

возрастаеттогдаитолькотогда,когда

f

(M) 0 .

l

3).Поле f (M) вточке M внаправлении l

убывает тогдаитолькотогда,когда

f

(M) 0 .

l

4).Если l || ox , то lf = xf

; если l

|| oy , то lf = yf .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно, 1) f (M)

есть изменение функции f (M)

на участке MM1 ,

 

f (M)

есть средняя скорость изменения функции

 

f (M)

на участке MM1 ,

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

f (M)

есть скорость изменения функции

f (M) в точке M внаправлении l ;

 

 

 

 

l0

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) в направлении l поле

f (M) возрастает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (M1) > f (M )

 

 

f

(M1)f (M )

> 0

 

f

(M) 0

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M M1

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) следующее свойство проверяется так же, как предыдущее свойство;

 

4) если, например, l || ox , то

 

f =

 

f и потому

f

= f .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

l

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула для вычисления производной по направлению

 

 

Пусть функция f (M) = f (x, y,z)

– дифференцируема в точке M(x, y,z) . Тогда

 

 

 

 

 

 

f (M) = f

(M) x + f

(M) y + f

(M) z + o(ρ) ,

(8.1)

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

74

где ρ = ( x)2 + ( y)2 + ( z)2 = l

Поделим равенство (8.1) на l

и lim

o(ρ) = lim

o( l)

= 0.

 

ρ0

ρ l0

l

:

 

f (M)

= fx(M)

x + fy(M)

y

+ fz(M) z

+

o( l)

.

(8.2)

 

 

 

l

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

l

 

l

 

 

 

 

 

Рассмотрим вектор grad f (M) ={fx(M), fy(M),

 

fz(M)},

называемый

градиентом

 

=

x

,

y

,

z

 

, равный единичному вектору направления l .

поля f (M) , и вектор l

0

{ l

l

l }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда равенство (8.2) можно записать в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (M)

 

 

 

 

 

 

 

o( l)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= grad f (M) l

 

+

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

0

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где первое слагаемое есть скалярное произведение векторов grad f (M)

и l0 .

В пределе при l , стремящемся к нулю, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (M)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= grad f (M) l

 

 

,

 

 

 

 

 

 

(8.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где grad f (M) ={fx(M),

fy(M),

fz(M)}─ градиент скалярного поля f (M ), l0 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

─ единичный вектор направления l .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.2. Градиент скалярного поля и его свойства

 

 

 

 

 

Вектор grad f (M) ={fx(M),

fy(M), fz(M)} является важной характеристикой ска(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лярного поля. Введем условный оператор =

 

 

 

i

+

 

 

j

+

 

k (оператор Гамильто(

 

 

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на или вектор “набла”). С его помощью удобно записать градиент скалярного поля

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad f = {

f ,

f ,

f }= f.

 

 

 

 

 

x

y

z

 

 

 

 

Отметим ряд свойств градиента.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1). Скалярное поле f (M) в точке M0

быстрее всего возрастает в направ(

 

 

 

 

лении вектора grad f (M0) со скоростью, равной

grad f (M0)

.

 

 

2). Скалярное поле f (M) в точке M0 быстрее всего убывает в направлении,

 

 

противоположном вектору grad f (M0) , со скоростью, равной

grad f (M0)

.

3). Вектор grad f (M0)

направлен по нормали к поверхности уровня поля

f (M) , проходящей через точку M0 .

 

4). Дифференциальные свойства:

 

 

4.1) grad(u + v) = gradu + grad v,

 

4.2) grad(u v) = u gradv + v gradu,

4.3) grad(u)=

v gradu u gradv

,

4.4) grad f (u) = fugradu,

 

v

2

v

 

 

 

 

4.5) grad r =

r

,

 

 

 

4.6) grad(a r) = a.

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим эти свойства.

1. Из формулы (8.3) и определения скалярного произведения следует, что

75

 

 

 

f (M0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= grad f (M ) l

 

=

grad f (M )

 

 

l

 

cosϕ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

0

 

0

 

0

 

 

 

0

 

 

 

где ϕ ─ угол между векторами grad f (M0)

 

и l . Так как длина единичного векто(

ра l0 равна единице, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (M0)

=

 

grad f (M )

 

cosϕ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

f (M0)

принимает наибольшее значение, равное

 

grad f (M )

 

, когда cosϕ =1,

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

то есть угол ϕ между векторами grad f (M0)

и l равен нулю и grad f (M0) ↑↑ l .

2. Производная

f (M0)

будет принимать наименьшее значение, когда cosϕ = −1,

 

 

l

 

 

 

 

 

т.е. угол ϕ =π и grad f (M0) ↑↓ l .

 

 

 

 

3. Поверхность уровня поля

f (x, y,z)

имеет уравнение f (x, y,z) = c . Нормальный

 

= { f

, f ,

f }

 

 

вектор этой поверхности N

 

совпадает с grad f (M ) . Значит, вектор

 

 

 

x

y

z

M0

0

grad f (M0) направлен по нормали к поверхности уровня поля f (M) , проведенной в точке M0 .

4.1. grad(u + v) = {(u + v)x , (u + v)y , (u + v)z }= {ux , uy , uz}+{vx , vy , vz} = gradu + gradv;

аналогично проверяются свойства 4.2), 4.3), 4.4);

для проверки свойства 4.5)

учтем, что r = {x, y, z},

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

=

x

; аналогично,

r =

 

x2 + y2 + z2 ,

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x2 + y2 + z2

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ry′ =

y

rz′ =

z

и поэтому grad r = {rx,ry,rz}

= {

x

 

y

 

z

}=

1

{x, y, z} =

r

 

,

 

 

,

 

,

 

 

 

 

;

r

r

r

r

r

 

r

r

4.6. grad(a r )

= grad(a x + a

2

y + a

3

z) = {a , a

2

, a } = a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из первого и третьего свойств следует инвариантное определение градиента, т.е. определение, не зависящее от системы координат:

Градиент скалярного поля f (M ) в точке M0 есть вектор, который

а) по величине равен наибольшей скорости возрастания поля f (M ) в точке M0 ,

б) направлен по нормали к поверхности уровня поля f (M) , проходящей че( рез точку M0 , в сторону наибольшего возрастания поля.

Пример 8.1. Найти наибольшую скорость возрастания поля f (r) = r3 в точке A(1,2,2).

Решение. Найдем градиент поля:

grad f (r) = gradr3 = 3r2 grad r = 3r2 rr = 3r r . Наибольшая скорость возрастания поля в точке A равна

grad f (r) A = 3r r A = 3r2 A = 3 (x2 + y2 + z2) A = 27.

Пример 8.2. Доказать оптическое свойство эллипса: лучи, выходящие из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса проходят через другой фокус эллипса.

Решение. Пусть F1, F2 фокусы эллипса; r1 = F1P, r2 = F2P (рис. 54). Рассмотрим

76

скалярное поле f (P) = r1 + r2 . По определению эллипса точка P принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда f (P) = r1 + r2 = const , т.е. эллипс есть линия

уровня скалярного поля f (P) ; поэтому grad(r1 + r2)=

r1

+

r2

направлен по норма(

r

r

1

2

 

ли к эллипсу в точке P . Кроме того, этот вектор направлен по диагонали параллелограмма, построен(

ного на векторах r1 , r2 . Длины этих векторов равны

r1 r2

единице, поэтому параллелограмм является ромбом и его диагональ является биссектрисой угла ромба, т.е.α1 = α 2 . Тогда β1 = β 2 , как углы дополнительные

до прямого. Так как γ 1 = β1, γ 2 = β 2 , то γ 1 = γ 2 , т.е. луч, выходящий из фокуса F1 эллипса, после отра( жения от эллипса пройдет через другой фокус F2 .

 

 

 

 

 

grad(r1 + r2)

 

r2

 

 

 

 

 

r1

 

 

r2

β1

α1

α

2

 

 

 

r1

 

 

 

 

β

2

 

 

γ 2

 

 

 

 

 

γ 1

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1

r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F1

 

 

 

F2

 

 

 

Рис. 54

9. Векторное поле и векторные линии

Векторное поле – это область пространства, в каждой точке M которой за( дан вектор a(M) .

Пример 9.1. Пусть на материальную точку в области D действует сила F(M ).

Тогда в области D определено векторное поле F(M ).

Пример 9.2. Пусть в области D происходит течение жидкости и в каждой точке M задан вектор v(M ) скорости частицы жидкости. Тогда в области D опреде( лено векторное поле скоростей жидкости.

Пример 9.3. Поместим заряд + q в начало координат. Тогда сила, с которой этот заряд действует на единичный положительный заряд, помещенный в точку M , определяется по закону Кулона:

 

q

 

r

 

E =

 

 

 

,

r2

r

 

 

 

где r ─ вектор, идущий из начала координат в точку M (радиус(вектор точки M ), r ─ его длина. Имеем векторное поле напряженностей E(M) , создаваемое зарядом q .

Мы будем рассматривать только стационарные поля, для которых вектор поля a(M ) зависит от точки M и не зависит от времени. Проекции вектора a(M ) на оси координат обозначим P(M ), Q(M ), R(M ). Тогда:

a(M ) = P(M )i +Q(M ) j + R(M )k .

Далее всюду предполагаем, что функции P, Q, R непрерывны вместе со свои( ми частными производными; в противном случае точку поля назовем особой.

Одной из характеристик векторного поля являются векторные линии.

Векторной линией векторного поля называют линию, в каждой точке которой касательный вектор коллинеарен вектору поля (рис. 55).

77

dxP = dyQ = dzR

Векторные линии в конкретных полях имеют ясный физический смысл.

В поле скоростей текущей жидкости векторные линии –

a (M )

это линии тока этой жидкости, т. е. линии, по которым

 

движутся частицы жидкости.

M

 

В электрическом поле векторные линии – это сило(

 

вые линии и их расположение очень важно в физике.

Рис. 55

 

Выведем

уравнения векторных линий

для

поля

 

a

 

 

 

 

не выписаны).

(M) = Pi + Q j + Rk (для краткости аргументы функций P, Q, R

 

Пусть уравнения векторной линии x = x(t),

y = y(t), z = z(t) ,

(t параметр). Ка(

сательным вектором этой линии является вектор

r (t) = {x(t), y(t), z(t)} и вектор

r (t)dt = {x(t)dt, y(t)dt, z(t)dt}={dx, dy, dz}.

 

 

 

По определению векторной линии ее касательный вектор r (t)dt и вектор поля a = {P, Q, R} коллинеарны. Поэтому координаты этих векторов пропорциональны, т. е.

. (9.1)

Мы получили систему дифференциальных уравнений для отыскания векторных линий поля a . Как решается такая система, покажем на примерах 9.4 и 9.5.

Пример 9.4. Магнитное поле H(M) создано электрическим током силы J , текущим по бесконечно длинному прямому проводу l . Найти силовые линии этого поля.

Решение. Если провод l принять за ось Oz некоторой декартовой системы ко( ординат, то, как известно из физики,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ xj .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H(M ) = 2J yi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем уравнения векторных линий для поля H(M) :

 

 

 

dx

 

=

 

dy

=

dz

или

dx

= dy

, dz = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

2J

y

 

 

2J

x

0

 

 

y

x

 

 

x2 + y2

 

 

x2 + y2

 

 

 

 

 

 

 

Из первого уравнения имеем xdx = −ydy, xdx = −ydy,

x2 = −y2 + C . Из второго

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнения z = h. Таким образом, силовые линии поля H(M) есть окружности

x2 + y2 = C , расположенные в плоскостях z = h, параллельных плоскости XOY .

Пример 9.5. Найти векторные линии поля

 

 

 

 

+ (z x)2

 

a

= zi

j + xk .

Решение. Учитывая, что P = z,

Q = (z x)2, R = x , запишем систему (9.1):

 

 

 

 

 

 

dx =

 

dy

= dz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z x)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

x

 

 

 

 

В одном из уравнений этой системы

 

dx

=

dz

 

разделим переменные: xdx = zdz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

x

 

 

 

 

 

 

 

Теперь проинтегрируем xdx = zdz и получим

 

 

 

 

 

x

2

=

z

2

+

C

 

или

 

 

2

z

2

= C .

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

78

n(M )
M
Рис. 56

Чтобы решить другое уравнение системы, воспользуемся известным свойством

пропорций: если

a

=

c

, то

a =

c

=

λ a + 8 c

. В нашем примере удобно взять

 

 

 

λ b + 8 d

 

b

 

d

b d

 

λ = 1, 8 = −1 и записать систему уравнений следующим образом:

dy

= dx = dz = dx dz

или

dy

=

d(z x) .

(z x)2

(z x)2

z

x

z x

 

 

(z x)

Разделим переменные: dy = −(z x)d(z x) . Проинтегрируем dy = −(z x)d(z x) и

получим y = − (z x)2

+ C . Таким образом, векторные линии данного поля есть

2

2

 

 

 

 

 

линии пересечения поверхностей x2 z2 = C

и y = − (z x)2

+ C .

 

1

2

2

 

 

 

10. Поток векторного поля

Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать так называемую ориентиро( ванную поверхность, т. е. поверхность, в каждой точке ко( торой выбрано направление нормали с помощью единичного

вектора n(M) , причем n(M) является непрерывной вектор(

функцией точки M (рис. 56). Изменение направления нормалей на противоположное

будем называть изменением ориентации поверхности. Рассмотрим физическую задачу о потоке жидкости,

приводящую к понятию потока поля.

10.1. Задача о количестве жидкости

Пусть в некоторой части пространства течет жидкость, причем скорость ча( стицы жидкости зависит только от точки, через которую протекает жидкость, и не зависит от времени, т. е. v = v (M) . Требуется вычислить количество (объем) жидкости Π σ , протекающее в единицу времени через ориентированную по(

верхность (σ ) в выбранном направлении (предполагается, что жидкость может свободно протекать через эту поверхность).

Рассмотрим сначала простейший случай. Пусть (σ ) ─ плоская площадка с

нормальным вектором n , а скорость течения жидкости

v во всех точках одна и

та же. Тогда количество жидкости, протекающей через эту площадку в единицу

времени, равно (рис. 57) объему цилиндра с основанием σ и

 

 

образующей

 

v

 

 

. Так как высота этого

цилиндра

равна

 

n

 

 

 

 

 

пр v

 

 

(v,n)

 

 

 

 

 

(v,n)

 

 

 

(v,n)

 

 

 

 

 

 

=

 

=

 

 

, то его объем равен

 

 

σ . Эта ве(

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

личина и равна количеству жидкости, протекающей через (σ ).

 

 

Опустив знак абсолютной величины, мы получим величину

(σ )

 

(v,n) σ , которую называют потоком жидкости через (σ ). Если

 

 

угол между векторами v и n ─ острый, то говорят, что жид(

Рис. 57

 

кость течет в направлении вектора n ; в этом случае (v,n) > 0

 

 

 

и поток совпадает с количеством жидкости. Если угол между векторами v

и n

79

n(Mk )

тупой, то говорят, что жидкость течет в направлении, противоположном векто( ру n ; в этом случае (v,n) < 0 и поток отличается от количества жидкости зна(

ком. Если векторы v и n перпендикулярны, то жидкость течет вдоль площадки (σ ) и поток равен нулю.

Перейдем теперь к общему случаю. Для вычисления

 

потока жидкости через произвольную поверхность (σ )

 

разобьем эту поверхность на n частей ( σ1), ..., ( σn ) с

Mk

 

площадями σ1, ..., σn (рис. 58). На каждой площадке

 

( σk )

выберем произвольную точку Mk . Будем при(

 

ближенно считать, что все частицы, протекающие через

Рис. 58

малую

 

площадку ( σk) , имеют

одинаковые скорости

 

v v (M

k

); кроме того, площадку будем считать плоской и перпендикулярной

нормальному вектору n(Mk ) .

 

 

 

Тогда поток жидкости через площадку ( σk ) приближенно равен

 

 

 

Π σ

(v (Mk ),n(Mk )) σk .

 

 

 

 

k

 

 

Для потока через всю поверхность получим

 

 

 

n

 

n

 

 

 

Πσ = Π σk ∑ (v (Mk ),n(Mk )) σk .

 

 

 

k=1

 

k=1

 

Это приближенное равенство будет тем точнее, чем меньше d = max{ σ1, ..., σn} . Точное значение потока определяется как предел этой суммы при d → 0:

 

 

n

(v (Mk ),n(Mk )) σk .

Πσ

= lim

 

d0

k=1

 

Полученный предел равен

поверхностному интегралу I рода от скалярной

функции (v(M ),n(M )). Таким образом, поток жидкости через поверхность (σ )

вычисляется по формуле

Πσ = (v,n)dσ

.

(10.1)

(σ)

 

 

 

 

 

Отметим, что 1) если суммарный поток Πσ > 0 , то количество жидкости, протекающей в направ(

лении нормали n , больше количества жидкости, протекающей в направлении n ; 2) если суммарный поток Πσ < 0, то количество жидкости, протекающей в направ( лении нормали n , меньше количества жидкости, протекающей в направлении n ; 3) если Πσ = 0 , то количества жидкости, протекающей в том и другом направ( лении, одинаковы.

Интеграл в формуле (10.1) является поверхностным интегралом первого ро( да от скалярной функции (v,n) . Его также называют поверхностным интегра(

лом второго рода от вектор(функции v . Аналогичным образом определяют по( ток и для произвольного векторного поля a .

80

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]