Matan__teoria

Рассмотрим вопрос о дифференцировании неявных функций y1 = y1(x1, x2 ,..., xn ), ..., yk = yk (x1, x2 ,..., xn ), определяемых системой уравнений (3.16).

Правило, которым удобно пользоваться при дифференцировании неявных функций, определяемых системой уравнений, аналогично правилу отыскания производной неявной функции, определяемой одним уравнением.

Для отыскания частных производных по переменной xi от функций y1 = y1(x1, x2 ,..., xn ), ..., yk = yk (x1, x2 ,..., xn ), заданных системой уравнений (3.16), следует продифференцировать каждое уравнение системы по xi , учитывая, что x1, x2 ,..., xn – независимые переменные, а y1, y2 ,..., yk − функции от x1, x2 ,..., xn .

Часто удобно вычислять не производные, а дифференциалы.

u, v как функции от x, y ? Найти производные первого порядка от этих функций.

изводных этих функций вычислим дифференциалы:

dx = 2u du + 2vdv,dy = 3u2du + 3v2 dv.

Решим систему относительно du и dv . Для этого сначала умножим 1(е уравне( ние на 3v, 2(е уравнение на −2 и сложим, потом умножим 1(е уравнение на 3u , 2(е уравнение на −2 и сложим:

21

3.7. Формула Тейлора

Напомним формулу Тейлора для функции одной переменной:

o((x − x0 )n )= o(f (n) (x0 )(x − x0 )n )= o(d n f (x0 )), запишем формулу Тейлора в виде

Аналогичная формула справедлива и для функции нескольких переменных. Об этом следующая теорема.

Пусть функция f (M ) нескольких переменных n раз дифференци(

Доказательство для простоты проведем для функции двух переменных. Рассмот(

ты x = x0 + t x, y = y0 + t y есть линейные функции от t ; в этом случае имеет место свойство инвариантности дифференциалов, т.е.

dF (0) = d f (x0 , y0) = d f (M0), ... , d nF (0) = d n f (x0 , y0) = d n f (M0).

Сучетом этого и равенств (3.21) формула (3.20) примет вид

f (M ) = f (M0 )+ d f 1!(M0) +...+ d n fn(!M0) + o(d n f (M0)).

22

4. Геометрические приложения

F (x, y, z) = 0

Теорема 4.1. Касательные прямые, проведенные к всевозможным линиям поверхности F(x, y, z) = 0 в точке M0 , лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскостью. Нормальный вектор касательной плоскости (называемый также нормальным вектором поверхности) есть вектор

= { ′ ( ) ′ ( ) ′ ( )}.

N Fx M0 , Fy M0 , Fz M0

Доказательство. Пусть произвольная линия L, лежащая на поверхности и проходящая через ее точку M0 , задана параметрическими уравнениями:

x = x(t) , y = y(t), z = z(t).

Пусть точке M0 соответствует значение параметра t = t0 . Так как линия L лежит на поверхности, то координаты любой ее точки удовлетворяют

уравнению поверхности F(x, y, z) = 0 , т.е. F(x(t), y(t), z(t)) ≡ 0. Продифференциру( ем это равенство по t :

Fx′ xt′ + Fy yt′ + Fz′ zt′ = 0.

Равенство верно для любого t , в частности для значения t = t0 , соответствующе( го точке M0 , поэтому

Fx′(M0) xt′(t0) + Fy′(M0) yt′(t0) + Fz′(M0) zt′(t0) = 0.

N S = 0 , т.е. векторы S и N перпендикулярны.

Вектор S , как известно, есть касательный вектор к линии L, заданной пара( метрическими уравнениями x = x(t) , y = y(t), z = z(t). Вектор N определяется только уравнением поверхности и не зависит от линии L. Таким образом, каса( тельные прямые, проведенные к произвольным линиям поверхности в точке M0 , перпендикулярны одному и тому же вектору N , т.е. лежат в одной плоскости − в плоскости, перпендикулярной вектору N .

Зная нормальный вектор N = {Fx′(М0), Fy′(М0), Fz′(М0)} касательной плоскости и точку касания M0 (x0, y0, z0 ) , можно записать уравнение касательной плоскости

23

Прямая, перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касания M0 , называется нормалью к поверхности в точке M0 . Нормальный вектор

Условием параллельности двух векторов является пропорциональность их од( ноименных координат, т.е. 66x0 = 21y0 = 44z0 = λ . Тогда x0 = λ , y0 = λ2 , z0 = λ . Точка касания M(x0, y0, z0 ) лежит на заданной поверхности, значит ее координа( ты x0 = λ , y0 = λ2 , z0 = λ удовлетворяют уравнению поверхности , т.е.

При λ = 2 получим точку M1 (2,1,2) ; при λ = −2 получим точку M2 (−2,−1,−2).

Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной параметрически

Для задания кривой параметрическими уравнениями требуется один параметр; для задания поверхности требуется два параметра. Пусть поверхность задана па( раметрическими уравнениями:

x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v) или

Введем понятие координатных линий lu , lv , проходящих через точку P0 (u0 ,v0). Координатная линия lu − это множество точек поверхности, у

которых параметр u меняется, параметр v фиксирован, v = v0 ; при этом r = r (u,v0) есть векторно(параметрическое уравнение линии lu ; вектор ru′(u0 ,v0) является касательным вектором к ли( нии lu (рис. 10).

24

у которых параметр v меняется, параметр u фиксирован, u = u0 ; при этом r = r (u0 ,v) есть векторно(параметрическое уравнение линии lv ; вектор rv′(u0 ,v0)

является касательным вектором к линии lv (рис. 10).

Нормальный вектор N касательной плоскости (рис. 10) перпендикулярен двум векторам ru′(u0 ,v0), rv′(u0 ,v0); поэтому N = ru′(u0,v0) × rv′(u0,v0).

Зная нормальный вектор N касательной плоскости можно записать уравнения касательной плоскости и нормали.

Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой

Рассмотрим два способа задания пространственной кривой.

чит, перпендикулярен нормальной плоскости. Поэтому уравнение нормальной плоскости к линии L в точке P0 имеет вид:

x′(t0 ) (x − x0 )+ y′(t0 ) (y − y0 )+ z′(t0 ) (z − z0 ) = 0 .

2). Рассмотрим другой способ задания пространственной кривой.

Кривую можно задать как пересечение двух поверхностей, но не всегда.

25

Пусть ранг этой матрицы равен двум, т.е. один из определителей второго поряд(

s = N1 × N2 .

Вектор s является направляющим вектором касательной к линии L и нормаль( ным вектором для нормальной плоскости к линии L . Зная их, можно записать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к линии L .

то записать уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к этой кри( вой в точке, имеющей абсциссу x = 2 и аппликату z > 0.

Решение. Найдем все координаты точки касания P0 : из второго уравнения y = 2 , из первого уравнения z = 2 (с учетом условия z > 0). Теперь составим матрицу Якоби в точке P0 :

Ранг этой матрицы равен двум, поэтому исходная система уравнений опреде( ляет кривую в пространстве. Найдем направляющий вектор касательной к этой кривой в точке P0 :

Направляющим вектором касательной будет являться также вектор s0 = 14 s = −i + j + 2k = {−1, 1, 2}.

26

5. Экстремумы функции

5.1.Локальный экстремум функции

Локальный экстремум (то есть максимум или минимум) для функции не( скольких переменных определяется так же, как и для функции одной перемен(

и f (M0) > 0 для точки минимума.

Для исследования функции на экстремум используют необходимое усло( вие и достаточное условие экстремума.

Теорема 5.1 (необходимое условие экстремума)

Пусть функция f (M ) имеет экстремум в точке M0 . Тогда в этой точке

каждая ее частная производная равна нулю или не существует.

Доказательство для простоты проведем для функции двух переменных .

Следствие. Пусть функция f (M ) дифференцируема и имеет экстремум в точке M0 . Тогда в этой точке d f (M0) = 0 .

Действительно, в точке экстремума M0 для дифференцируемой функции fx′ (M0) = fy′ (M0) = 0, и поэтому d f (M0) = fx′ (M0)dx + fy′ (M0)dy = 0 .

Замечание. Необходимый признак экстремума не является достаточным. Например, для функции z = x2 − y2 её частные производные z′x = 2x, z′y = 2y рав( ны нулю в точке (0,0), но z(0, y) < z(0,0), а z(x,0) > z(0,0) , поэтому в точке (0,0)

экстремума нет.

Таким образом, для исследования функции на экстремум нужно

27

1)найти точки, в которых частные производные равны нулю или не су( ществуют (их называют критическими точками),

2)исследовать функцию в критических точках, используя достаточные условия экстремума или определение экстремума.

Рассмотрим достаточные условия экстремума.

Теорема 5.2 (первое достаточное условие экстремума).

Пусть M0 критическая точка функции f (M ) и функция f (M ) дважды

имеет максимум,

3) если d 2 f (M0) меняет знак в окрестности точки M0 , то функция f (M ) в точке

M0 экстремума не имеет,

4)если d 2 f (M0) = 0 в окрестности точки M0 , то нужно дополнительное ис( следование (в частности, если d 3 f (M0 ) ≠ 0 в точке M0 экстремума нет).

Доказательство. Воспользуемся формулой Тейлора (3.18) при n = 2 .

В критической точке M0 для дифференцируемой функции имеем: d f (M0) = 0 . Поэтому равенство (5.1) примет вид:

f (M) − f (M0) = 12 d 2 f (M0) + o(d 2 f (M0)).

Величина o(d 2 f (M0)) является бесконечно малой более высокого порядка, чем

исследования этой величины нужно провести дополнительное исследование, например, взять формулу Тейлора более высокого порядка; более подробно на этом останавливаться не будем.

На практике исследовать знак дифференциала второго порядка в окрестности критической точки не очень удобно; проще использовать другое достаточное

28

условие (теорему 5.3), основанное на значениях производных в критической точке, а не в ее окрестности.

Теорема 5.3 (второе достаточное условие экстремума).

1) если 1 , 2 ,..., n , – положительны, то M0 − точка минимума функции f (M );

2) если знаки 1 , 2 ,..., n чередуются, начиная со знака минус, то максимума функции f (M ).

Доказательство для простоты проведем для функции двух переменных.

Исследуем знак d 2 f (M0) , используя формулу (3.8):

Выражение в квадратных скобках является квадратным трехчленом относи( тельно xy . Его дискриминант D = 4 A122 − 4 A11 A 22 = −4 2 .

По условию теоремы 2 > 0 , поэтому дискриминант квадратного трехчлена

D < 0. Тогда знак d 2 f (M0) совпадает со знаком A11 = 1 (рис.12,а, 12,б):

при A11 > 0 имеем d 2 f (M0 ) > 0 и по теореме 5.2 функция f (M ) имеет минимум в точке M0 ;

при A11 < 0 имеем d 2 f (M0 ) < 0 и функция f (M ) имеет максимум в точке M0 .

Замечание. Если 2 < 0 в точке M0 , то функция двух переменных в точке M0

не имеет экстремума.

Действительно, если 2 < 0 , то дискриминант квадратного трехчлена D = −4 2 > 0 . Тогда d 2 f (M0) изменяет знак в окрестности точки M0 (рис.12,в, 12,г). Поэтому по теореме 5.2 функция f (M ) не имеет экстремума в точке M0 .

Рис.12

29

Пример 5.1. Исследовать на экстремум функцию

f (x, y, z) = x3 + y2 + z2 +12 x y + 2 z .

Решение. Найдем критические точки функции из системы уравнений

В точке M2 (24,−144,−1) имеем 1 > 0, 2 > 0, 3 = 2 2 > 0 , поэтому по теореме 5.3

M2 есть точка минимума функции f (x, y, z) и fmin = f (M2) = −6913.

В точке M1(0,0,−1) имеем 1 = 0, 2 < 0, 3 = 2 2 < 0 , поэтому теорема 5.3 не(

применима. Воспользуемся теоремой 5.2. Для этого вычислим дифференциал второго порядка

d2 f (M 1) = 2(dy)2 + 2(dz)2 + 24dxdy.

При dy = 0 имеем d2 f (M 1) = 2(dz)2 > 0 ;