09_10_Оценки_пар
.pdfСтатистические оценки параметров распределения |
103 |
A = |
∂2 ln L |
|
|
|
, B |
= |
∂2 ln L |
, C = |
|
∂2 ln L |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случайная величина |
|
|
X |
распределена по нормальному закону с плотностью |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
e− |
(x−a)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
распределения |
= |
|
|
|
|
|
|
2σ2 |
|
и неизвестными параметрами a и σ . Ме- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
σ |
2π |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 ,x2 ,...,xn |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
тодом максимального правдоподобия по выборке |
оценить значение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
этих параметров. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим логарифмическую функцию правдоподобия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
e− |
(x1 −a)2 |
|
|
1 |
|
|
|
e− |
(x2 −a)2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
e− |
(xn −a)2 |
||||||||||
ln L (x1 ,x2 ,...,xn ;a,σ )=ln |
|
|
|
|
2σ2 |
|
|
|
|
|
|
2σ2 ... |
|
|
|
|
2σ2 |
= |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ 2π |
|
|
|
σ |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
2π |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
∑(xi −a)2 |
|
|
|
|
|
n |
ln ( |
2π )− |
1 |
|
|
∑(xi −a) |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
=ln |
|
|
|
|
|
|
e |
|
2σ |
|
|
|
|
|
= −n lnσ − |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
n |
( |
2π ) |
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
2σ |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Уравнения правдоподобия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∂ln L |
= |
∑xi |
−na |
= 0 , |
|
|
∂ln L |
|
|
|
|
|
n |
|
|
∑(xi −a)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
∂a |
|
|
|
σ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
σ3 |
|
|
= 0 , |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂σ |
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
их решение (критическая точка): a = |
(∑xi ) |
= |
|
|
, σ |
2 = |
∑(xi |
−a)2 |
= D . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
B |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
B |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка выполнения достаточных условий экстремума показывает, что при этих значениях действительно достигается максимум функции правдоподобия.
10.1. Интервальные оценки
При получении точечной оценки необходимо знать лишь выражение для оценки Θ* (X1 ,X 2 ,...,X n ) как функцию данных выборки, а для получения интервальной оценки необходимо также знать закон распределения Θ* (X1 ,X 2 ,...,X n ), с помощью которого рассчитывается вероятность, вид ге-
нерального распределения и значение параметров распределения, которые и подлежат оценке.
Первое затруднение преодолевается тем, что иногда вид генерального распределения может постулироваться (нормальное распределение, равномерное распределение и т.д.). В некоторых случаях при достаточно большом объеме выборки реальную функцию распределения оценки с достаточной точностью можно заменить асимптотической (соответствующей n → ∞). В частности, из теоремы Ляпунова следует, что распределения выборочной
средней |
|
= |
X1 + X 2 + ...+ X n |
или относительной частоты значения призна- |
|
X B |
|||||
n |
|||||
|
|
|
|
104 |
Лекции 9 -10 |
ка wi = nni распределены асимптотически нормально независимо от вида ге-
нерального распределения.
Попытки разрешения второго затруднения приводят к двум способам построения интервальной оценки: приближенному и точному.
Приближенный способ состоит в замене неизвестных параметров гене-
ральной совокупности, от которых зависит распределение Θ* , на их точечные оценки, полученные в результате выборки. Далее оценка строится, как если бы параметры распределения были бы известны.
Точный способ может быть использован лишь в том случае, когда известен закон генерального распределения. При этом строятся вспомогательные случайные величины, распределение которых не зависит от неизвестных параметров генеральной совокупности, но зависит лишь от объема выборки. В частности, при оценке среднего значения нормально распределенной генеральной совокупности можно использовать оценку
|
M [X ]− |
|
|
|
|||
* |
X B |
|
|
||||
Θ = T = |
|
|
|
|
|
|
n , |
|
n |
|
D |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
n −1 |
|
|
|||
|
|
|
B |
|
|
которая подчиняется распределению Стьюдента, зависящему только от объема выборки n .
Синтервальной оценкой связано решение трех типов задач:
1)определение доверительной вероятности по заданному доверительному интервалу и объему выборки;
2)определение доверительного интервала по заданной доверительной вероятности и объему выборки;
3)определение необходимого объема выборки по заданным доверительной вероятности и доверительному интервалу.
10.2.Интервальная оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины
при известном σ.
Пусть случайная величина Х генеральной совокупности распределена по
|
|
|
1 |
e− |
( x−a )2 |
|||
нормальному закону |
f ( x ) = |
|
2σ2 , где σ = D[Х], a = M [Х] = |
|
, |
|||
|
X |
|||||||
σ |
2π |
|||||||
|
|
|
|
|
|
при этом среднее квадратическое отклонение σ считаем известным.
Пусть сделана выборка объема n и вычислена X B , которая является точечной оценкой математического ожидания a генеральной совокупности.
Статистические оценки параметров распределения |
105 |
|||||
Так как |
|
= |
X1 + X 2 + ...+ X n |
– среднее арифметическое случайных величин |
||
X B |
||||||
n |
||||||
|
|
|
|
|
X1 ,X2 ,...,Xn , распределенных так же, как и признак генеральной совокупно-
сти X, то закон распределения |
|
|
|
также нормален, M [X B ]= M [X ]= a , а |
||||
X B |
||||||||
дисперсия случайной величины |
|
|
в n раз меньше дисперсии случайной |
|||||
|
X B |
|||||||
величины X: σ2 |
|
|
|
= σ2 . |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|||
|
B |
n |
|
|
|
|
1). Определим, с какой надежностью математическое ожидание а покры-
вается |
доверительным интервалом |
|
при заданной точности ε, т.е. найдем |
||||||||||||||||||||||||
P ( |
|
|
−a |
|
<ε) или P ( |
|
−ε < a < |
|
|
|
+ε). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
X B |
|
X B |
X B |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
ε n |
|
|
|
ε n |
|
||||||
Тогда, |
P ( |
Хв −a |
< ε)= 2Ф |
|
= 2Ф |
|
= 2Ф(t )= γ , где |
t = |
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ (Хв ) |
|
|
σ |
|
|
|
σ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Ф(t) – функция Лапласа. Зная σ, ε и n, можно найти по таблице значений функции Лапласа надежность γ оценки X B математического ожидания a.
2). По выборочному значению математического ожидания X B и извест-
ному σ найти доверительный интервал, который с заданной надежностью γ покрывает математическое ожидание а генеральной совокупности. Это и есть
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задача получения интервальной оценки |
|
X B . |
Используя таблицы значений |
||||||||||||||
функции Лапласа, по γ определяют t = |
ε |
|
n |
, отсюда ε = |
tσ |
|
. Таким образом |
||||||||||
|
|
|
n |
|
|||||||||||||
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tσ |
|
|
|
|
|
|
tσ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
получают искомый доверительный интервал |
X B − |
|
,X B |
+ |
|
, с надеж- |
|||||||||||
n |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
ностью γ |
покрывающий неизвестный параметр а; точность оценки ε = |
tσ |
. |
||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
3). |
|
По заданным σ, ε и γ, используя соотношение |
|
ε |
n |
= |
γ , найти |
||||||
|
2Ф |
σ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
объем выборки n. Решая уравнение 2Ф(t)=γ , по γ находим t , |
а затем из |
||||||||||||
t = |
ε |
n |
|
|
tσ 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
σ |
находим минимальный объем выборки n = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Измерение массы 50 случайно отобранных после изготовления деталей дало |
||||||||||
|
|
|
|
X B* |
= 10 г. Есть основания полагать, что |
генеральная |
дисперсия |
σ2 = 0,09.
Решение:
1) Определить с вероятностью P = 0,95 доверительные границы для средней
106 |
Лекции 9 -10 |
массы деталей X во всей партии. На основании теоремы Ляпунова можно исходить из предположения о нормальном распределении массы деталей.
Дано: n = 50, |
|
X B* |
= 10 г, |
σ2 = 0,09 и P = |
0,95. |
Из равенства |
|||
P = 2Ф(t )= 0,95 |
по таблицам функции Лапласа находим t |
= 1,96, откуда |
|||||||
ε = |
tσ |
= 1,96 0,3 |
= 0,083. Таким |
образом, получаем, |
что с |
вероятностью |
|||
n |
|||||||||
|
50 |
|
|
|
|
|
|
0,95 средняя масса содержится в промежутке [9,917; 10,083].
2) Определить при тех же условиях, с какой доверительной вероятностью можно гарантировать ошибку выборки, не превышающую 0,05. По величине
ε = 0,05 вычисляем t = |
ε |
n = |
0,05 50 |
=1,1785 . По таблицам функ- |
|
σ |
|
0,3 |
|
ции Лапласа P = 2Ф(1,1785)≈ 0,76 .
3) Определить объем выборки, при котором указанная предельная ошибка ε = 0,05 гарантируется с вероятностью P = 0,95. Из P = 0,95 находим t =
tσ 2 |
1,96 0,3 |
2 |
≈140 . |
||||
1,96, откуда n = |
ε |
|
= |
0,05 |
|
≈138,2976 |
|
|
|
|
|
|
|
10.3. Интервальная оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестном σ.
Для решения поставленной в заголовке задачи используется закон рас-
пределения |
случайной |
величины |
T={t}, |
t = |
|
Х |
в |
−a |
, |
где |
|||||
s / |
n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
||
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sв = |
∑(xi − |
|
в )2 несмещенная оценка среднего квадратичного откло- |
||||||||||||
Х |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
n −1 i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нения.
Стьюдент (псевдоним английского математика Госсета) показал, что закон распределения случайной величины T (плотность вероятности) описыва-
|
n |
|
|
|
|
|
|
−n |
|
|
Г |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 + |
t |
|
2 . |
||||
ется выражением fn (t )= |
|
2 |
|
|
|
||||
|
n −1 |
|
n −1 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
π( n −1)Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∞
Здесь Г( x ) = ∫tx −1e−tdt - гамма–функция Эйлера. Это распределение на-
0
зывается распределением Стьюдента. График fn (t ) похож на график плотности вероятности нормального закона, но fn ( t ) определяется только объемом
Статистические оценки параметров распределения |
107 |
||||||||
выборки n и не зависит от неизвестных па- |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
t2 |
|
|
раметров а и σ lim fn (t )= |
e− 2 |
. Оче- |
|
||||||
2π |
|
||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
видно, что P ( |
|
t |
|
< tγ )= t∫γ |
fn ( t )dt =γ . |
|
|
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
−tγ |
|
|
|
|
|
Функция fn ( t ) |
|
четная, поэтому можно за- |
|
||||||
tγ |
|
|
|
|
|
|
|
писать γ = 2∫ fn ( t )dt . Это равенство по-
0
зволяет найти tγ по заданным n и γ. Во всех книгах по математической статистике имеются таблицы, по которым можно найти tγ , зная n и γ. Учитывая,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
−a |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Х |
в |
|
|
|
|
|
Хв |
|
|
|
|
||||||||||
что |
|
t = |
|
, |
можно записать |
P ( |
t |
< tγ )= P |
|
|
< tγ |
|
=γ , или |
|||||||||||||||
|
s / |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
в |
/ |
n |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
P |
|
|
Хв −a |
< |
|
γ |
в |
|
|
=γ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, определив tγ по таблице Стьюдента, можно найти дове-
рительный интервал, покрывающий c надежностью γ математическое ожидание а генеральной совокупности.
Итак, по имеющейся выборке x1 ,x2 ,...,xn находим Хв и sв . Затем, зада-
ваясь надежностью γ, определяем доверительный интервал, покрывающий математическое ожидание а. Другими словами, находим интервальную оценку математического ожидания.
Пример:
Случайная величина Х имеет нормальное распределение. С надежностью γ = 0,95 найти доверительный интервал для оценки неизвестного математиче-
ского ожидания a, если при объеме выборки n=36 получено Хв =24, s = 3. Решение. По таблицам распределения Стьюдента при n = 36 и γ = 0,95 нахо-
дим tγ = 2,03. Тогда точность оценки tγns = 2,0336 3 =1,015 .
Доверительный интервал для a (Хв −1,015; Хв +1,015)= (22,985;25,015).
!Так как при n→∞ распределение Стьюдента стремится к нормальному, то практически при n > 30 можно пользоваться вместо распределения Стьюдента нормальным распределением.
108 |
Лекции 9 -10 |
10.4.Интервальная оценка среднего квадратического отклонения σ нормального распределения
Пусть случайная величина Х распределена нормально и требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение (с.к.о.) σ по исправленному выборочному с.к.о. s . Как было показано при рассмотрении точечных оценок, выборочное с.к.о. служит точечной оценкой параметра σ . Поставим теперь вопрос об интервальной оценке σ , т.е., о построении доверительного интервала, покрывающего параметр σ с заданной надежностью γ .
При рассмотрении распределений, связанных с нормальным, обсуждалось распределение χ2 (Пирсона). Рассматривая выборку как совокупность случайных величин X1 ,X 2 ,...,X n , распределенных так же, как и признак гене-
ральной совокупности X, заметим, что величины Xi − X B являются центри-
рованными M (Xi − |
|
)= 0 , а |
Xi − |
X B |
|
– стандартными ( m = 0 , σ =1). Сум- |
|
X B |
|||||||
σ |
|
||||||
|
|
|
|
|
ма квадратов этих величин пропорциональна исправленной выборочной дис-
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
персии, s2 = |
∑(Xi |
− |
|
)2 , и распределена по закону χ2 . Поскольку эти |
||||||||
X B |
||||||||||||
|
||||||||||||
|
n −1 i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
X1 + X 2 + ...+ X n |
|
||
величины связаны еще одной зависимостью, |
|
= |
, то число |
|||||||||
X B |
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
s2 |
(n −1) |
|
|
|
n |
||||
степеней свободы –, |
= χ2 равно n −1. Формула для плотности этого |
|||||||||||
|
σ2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
распределения и примерный вид графиков приведены в соответствующем параграфе (распределения, связанные с нормальным).
Рассмотрим симметричный доверительный интервал |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
P (s −δ <σ < s +δ )=γ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
и преобразуем двойное неравенство (учитывая, что σ > 0 ): |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − δ < σ <1 + |
δ ; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
s |
|
|
s |
|
|
|
|
|||||||
обозначив |
δ = q , получим |
|
1 − q < |
σ |
<1 + q , что дает |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при q <1 : 1 − q < |
σ <1 + q , |
1 |
|
< |
|
s |
< |
1 |
|
, |
|
n −1 |
< |
s |
n −1 |
< |
n −1 |
; |
|||||||
1+ q |
σ |
1−q |
|
|
σ |
1−q |
|||||||||||||||||||
|
0 < σ |
s |
|
|
|
|
|
1+ q |
|
|
|||||||||||||||
при q ≥1: |
<1 + q (так как σ и s |
положительны), |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
< |
s |
|
< ∞, |
|
n −1 |
< |
s n −1 |
< ∞. |
|
|
|
||||||||||
|
|
1 + q |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
1+q |
|
|
σ |
|
|
|
|
Статистические оценки параметров распределения |
109 |
|
|
|
|
|
|
|
Величину |
s |
n −1 |
естественно обозначить через χ = |
χ2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда полученные ранее неравенства можно записать в виде |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
χ |
|
< χ < χ |
|
( q <1 ) или χ |
|
< χ < ∞ ( q ≥1), где χ = |
|
n −1 |
, χ |
|
= |
n −1 |
. |
||||||||||
1 |
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1+ q |
1 |
−q |
||||||||
Плотность распределения величины χ имеет вид: |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn−2e− |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
f (x,n)= |
|
2 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
n−3 |
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Γ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не зависит от оцениваемого параметра σ , но зависит от объема выборки n . Ниже приведены графики плотности этой величины для нескольких значений объема выборки n .
Исходное условие для доверительного интервала принимает вид:
n−1
1−q
∫ f (x,n)dx =γ .
n−1
1+q
Решения этого уравнения q = q (n,γ ), также как и квантили нормально-
го и связанных с ним распределений можно найти в статистических таблицах и найти ширину симметричного доверительного интервала.
110 |
Лекции 9 -10 |
Так как более доступны таблицы квантилей распределения χ2 , изложим еще один способ построения доверительного интервала, покрывающего генеральное с.к.о. σ с заданной доверительной вероятностью. Запишем его в виде:
где границы s −δ− |
и s +δ+ |
пока не определены. Неравенства для σ |
могут |
|||||||||||
быть преобразованы в неравенства для χ2 = |
s2 |
(n −1) |
: P (χ2 |
− < χ2 < χ2 |
+ )=γ |
|||||||||
|
σ |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− )= 1 −γ =α , |
||
и величины χ2 |
− |
и |
χ2 |
+ |
определяются из условий: |
P (χ2 ≤ |
χ2 |
|||||||
P (χ2 ≥ χ2 |
+ )=α , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
P (χ2 |
≤ χ2 |
+ )=1 −α , т.е. являются квантилями распределе- |
ния χ2 уровня α и уровня 1−α , соответственно.
! Часто в таблицах приводятся не квантили qp ( P (X < qp )= p ) , а кри-
тические точки распределений kp ( P (X > kp )= p ). Неравенства пре-
дыдущего раздела с использованием критических точек будут выглядеть так:
P (χ2кр(−) < χ2 < χ2кр(+) )=γ ,
P (χ2 > χ2кр(+) )= 1−2γ =α ,
P (χ2 > χ2кр(−) )=1 −α .
Пример:
Известно, |
что с.в. Х распределена нормально. По выборке объема n = 25 |
|||
найдено исправленное выборочное с.к.о. |
s = 0,8 . Найти доверительный ин- |
|||
тервал, покрывающий генеральное с.к.о. с надежностью 0,95. |
||||
Решение: |
|
q = q (n,γ ) и данным n = 25 |
и γ = 0,95 находим |
|
1). Способ. По таблице |
||||
q = 0,32 . |
Искомый |
доверительный |
интервал |
(симметричный): |
s (1−q)<σ < s (1+q), 0,8(1−0,32q)<σ < 0,8(1+0,32) или 0,544 <σ <1,056 . 2). Способ. По γ = 0,95 находим α = 0,025 и критические точки для n = 25 :
|
χ2кр(−) =13,12 , |
χ2кр(+) = 40,65 |
||||
и интервал (несимметричный) для σ : |
|
|||||
|
s n −1 |
<σ < |
s |
n −1 |
, |
0,625 <σ <1,113 . |
|
|
|
|
|||
|
χ2 |
χ2 |
|
|||
|
кр(+) |
кр(−) |
|
Заметим, что оба полученных доверительных интервала с вероятностью 0,95 покрывают неизвестное генеральное с.к.о. σ ; второй интервал, несиммет-
ричный относительно s , несколько уже: 1,056 - 0,544 = 0,512; 1,113 - 0,625 = 0,488.