09 Подпространства
.pdfЛекция 9: Подпространства
Б.М.Верников
Уральский федеральный университет,
Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики
Б.М.Верников |
Лекция 9: Подпространства |
Определение подпространства. Примеры подпространств (1)
Определение
Непустое подмножество M векторного пространства V называется подпространством пространства V , если выполняются следующие условия:
1)если x; y 2 M, то x + y 2 M (замкнутость подпространства относительно сложения векторов);
2)если x 2 M, а t произвольное число, то tx 2 M (замкнутость подпространства относительно умножения вектора на число).
Приведем ряд примеров подпространств.
Пример 1. Пусть V произвольное векторное пространство. Очевидно, что все пространство V и множество M = f0g являются подпространствами в V , причем V наибольшее подпространство в V . Следующее простое наблюдение показывает, что f0g наименьшее подпространство в V .
Замечание 1
Нулевой вектор содержится в любом подпространстве M пространства V .
Доказательство. Если x произвольный вектор из M, то по второму условию из определения подпространства 0 = 0 x 2 M.
Б.М.Верников |
Лекция 9: Подпространства |
Примеры подпространств (2)
Пример 2. Рассмотрим пространство R3, которое, как отмечалось в лекции 7, можно отождествить с обычным трехмерным пространством. Пусть M множество векторов, коллинеарных некоторой плоскости . Ясно, что сумма двух векторов, коллинеарных , и произведение вектора, коллинеарного , на любое число коллинеарны . Следовательно, M подпространство в R3. Аналогично доказывается, что множество векторов, коллинеарных некоторой прямой `, также является подпространством в
R3.
Пример 3. В силу теоремы 1 из лекции 3 общее решение произвольной однородной системы линейных уравнений с n неизвестными есть подпространство пространства Rn. Отметим без доказательства, что справедливо и обратное утверждение.
Замечание 2
Всякое подпространство пространства Rn является пространством решений некоторой однородной системы линейных уравнений с n неизвестными.
Б.М.Верников |
Лекция 9: Подпространства |
Примеры подпространств (3)
Пример 4. Пусть V произвольное векторное пространство и
a1; a2; : : : ; ak 2 V . Обозначим через M множество всевозможных линейных комбинаций векторов a1; a2; : : : ; ak . Пусть x; y 2 M, т. е.
x = s1a1 + s2a2 + + sk ak и y = t1a1 + t2a2 + + tk ak
для некоторых чисел s1; s2; : : : ; sk и t1; t2; : : : ; tk . Пусть, далее, t произвольное число. Тогда
x + y = (s1a1 + s2a2 + + sk ak ) + (t1a1 + t2a2 + + tk ak ) = = (s1 + t1)a1 + (s2 + t2)a2 + + (sk + tk )ak ;
tx = t(s1a1 + s2a2 + + sk ak ) = (ts1)a1 + (ts2)a2 + + (tsk )ak :
Мы видим, что x + y; tx 2 M, т. е. M подпространство пространства V . Оно называется подпространством, порожденным векторами a1; a2; : : : ; ak
или линейной оболочкой векторов a1; a2; : : : ; ak , и обозначается через ha1; a2; : : : ; ak i. Ясно, что
если a1; a2; : : : ; ak система порождающих (в частности, базис) пространства V , то ha1; a2; : : : ; ak i = V .
Из определения подпространства вытекает, что
ha1; a2; : : : ; ak i наименьшее подпространство пространства V , содержащее векторы a1; a2; : : : ; ak .
Б.М.Верников |
Лекция 9: Подпространства |
Размерность подпространства (1)
Очевидно, что подпространство векторного пространства само является векторным пространством. Это позволяет говорить о размерности и базисе подпространства.
Предложение 1
Пусть M подпространство векторного пространства V . Тогда
dim M 6 dim V , причем dim M = dim V тогда и только тогда, когда M = V .
Доказательство. Если M или V нулевое пространство, то оба утверждения теоремы выполняются тривиальным образом. Будем поэтому считать, что M и V ненулевые пространства. Зафиксируем базис
(a1; a2; : : : ; ak ) подпространства M и базис (b1; b2; : : : ; b`) пространства V . Если k > `, то в силу леммы 2 из лекции 8 система векторов a1; a2; : : : ; ak линейно зависима. Но это противоречит определению базиса.
Следовательно, k 6 `, т. е. dim M 6 dim V .
Б.М.Верников |
Лекция 9: Подпространства |
Размерность подпространства (2)
Пусть dim M = dim V , т. е. k = `. Тогда система векторов a1; a2; : : : ; ak является максимальной линейно независимой. В самом деле, в противном случае существует вектор a такой, что система a1; a2; : : : ; ak ; a линейно независима. Но она содержит k + 1 вектор, что противоречит лемме 2 из лекции 8. Таким образом, система векторов (a1; a2; : : : ; ak ) является базисом пространства V . Следовательно, любой вектор из V является линейной комбинацией векторов a1; a2; : : : ; ak . Поскольку эти векторы лежат в M, а M подпространство в V , это означает, что любой вектор из V лежит в M, т. е. V M. Обратное включение выполнено по условию, и потому M = V . Итак, если dim M = dim V , то M = V . Обратное утверждение очевидно.
Б.М.Верников |
Лекция 9: Подпространства |
Алгоритм нахождения базиса и размерности подпространства, порожденного данным набором векторов
Укажем способ нахождения базиса и размерности подпространства, порожденного данным набором векторов.
Алгоритм нахождения базиса и размерности подпространства пространства Rn, порожденного данным набором векторов
Запишем данные векторы в матрицу по строкам и приведем эту матрицу к ступенчатому виду. Ненулевые строки полученной матрицы будут базисом нашего подпространства, а число этих строк равно его размерности.
Обоснование этого алгоритма будет дано в лекции 12.
Б.М.Верников |
Лекция 9: Подпространства |
Алгоритм выяснения того, принадлежит ли вектор подпространству
Рассмотрим следующую задачу: даны вектор x 2 Rn и подпространство M пространства Rn, порожденное векторами a1; a2; : : : ; ak ; требуется выяснить, принадлежит ли вектор x подпространству M. Ясно, что x 2 M тогда и только тогда, когда x = t1a1 + t2a2 + + tk ak для некоторых
t1; t2; : : : ; tk 2 R. Расписав последнее равенство покомпонентно, мы получим систему n линейных уравнений с неизвестными t1; t2; : : : ; tk . В основной матрице этой сиситемы по столбцам записаны векторы
a1; a2; : : : ; ak , а в последнем столбце расширенной матрицы стоит вектор x. Вектор x лежит в M тогда и только тогда, когда эта система совместна. Вспоминая метод Гаусса решения систем линейных уравнений, получаем следующий алгоритм.
Алгоритм выяснения того, принадлежит ли вектор подпространству
Даны вектор x 2 Rn и подпространство M пространства Rn, порожденное векторами a1; a2; : : : ; ak . Составим матрицу размера n (k + 1), в первых k столбцах которой запишем векторы a1; a2; : : : ; ak , а в последнем столбцевектор x. Начнем приводить ее к ступенчатому виду, не переставляя при этом столбцов. Если в процессе преобразований возникнет строка, в которой все элементы, кроме последнего, равны 0, а последний отличен от 0, то x 2= M. Если же мы доведем матрицу до ступенчатого вида и такой строки не возникнет, то x 2 M.
Б.М.Верников |
Лекция 9: Подпространства |
Сумма и пересечение подпространств (1)
Введем две важные операции над подпространствами.
Определение
Пусть V векторное пространство, а M1 и M2 его подпространства. Суммой подпространств M1 и M2 называется множество всех векторов из V , являющихся суммой некоторого вектора из M1 и некоторого вектора из
M2. Пересечением подпространств M1 и M2 называется множество всех векторов из V , принадлежащих одновременно как M1, так и M2. Сумма подпространств M1 и M2 обозначается через M1 + M2, а их пересечение через M1 \ M2.
Замечание 4
Если M1 и M2 подпространства пространства V , то M1 + M2 и M1 \ M2 также являются подпространствами в V .
Доказательство. В силу замечания 1 каждое из подпространств M1 и M2 содержит нулевой вектор. Следовательно, 0 = 0 + 0 2 M1 + M2 и
0 2 M1 \ M2. В частности, множества M1 + M2 и M1 \ M2 непустые. Далее, пусть x; y 2 M1 + M2 и t произвольное число. Тогда x = x1 + x2 и y = y1 + y2, для некоторых x1; y1 2 M1 и x2; y2 2 M2.
Б.М.Верников |
Лекция 9: Подпространства |
Сумма и пересечение подпространств (2)
Учитывая, что M1 и M2 подпространства, получаем, что
x + y = (x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + y1) + (x2 + y2) 2 M1 + M2; tx = t(x1 + x2) = tx1 + tx2 2 M1 + M2:
Следовательно, M1 + M2 подпространство в V . Далее, пусть
x; y 2 M1 \ M2 и t произвольное число. Тогда x; y 2 M1 и x; y 2 M2. Поскольку M1 и M2 подпространства, имеем x + y 2 M1, x + y 2 M2 tx 2 M1 и tx 2 M2. Следовательно, x + y 2 M1 \ M2 и tx 2 M1 \ M2, и потому M1 \ M2 подпространство в V .
Замечание 5
Если M1 и M2 подпространства пространства V , то подпространство M1 + M2 содержит M1 и M2 и является наименьшим подпространством в V , обладающим указанным свойством.
Доказательство. Если x 2 M1, то x = x + 0. Поскольку 0 2 M2, имеем x2M1 + M2. Следовательно, M1 M1 + M2. Аналогично проверяется, что M2 M1 + M2. Пусть теперь M подпространство в V , содержащее M1 и M2. Предположим, что x 2 M1 + M2. Тогда x = x1 + x2 для некоторых
x1 2 M1 и x2 2 M2. Следовательно, x1 2 M и x2 2 M, откуда x = x1 + x2 2 M. Таким образом, M1 + M2 M.
Б.М.Верников |
Лекция 9: Подпространства |