Теор_Вер

b) P4 (3)= C43 p3q4−3 = 3!4!1! 0,93 0,11 = 0,2916 , c) P4 (2)= C42 p2q4−2 = 2!4!2! 0,92 0,12 = 0,0486 .

Пример:

Какова вероятность того, что при 10 бросаниях игральной кости два раза выпадут два очка?

Решение:

p = 16 , n=10, m=2, q = 1- p = 56 .

Пример:

На самолете установлены 4 турбины.

Вероятность исправности каждой из них – 0,99. Какова вероятность нормального полета, если он обеспечивается при 2-х работающих турбинах?

Решение: Р=Р4(2)+Р4(3)+Р4(4)=0,9963.

!Если рассмотреть разложение по степеням x функции (px + q)n ,то, по

формуле бинома Ньютона,

n

(px + q)n = ∑Cnm pmqn−m xm = qn +Cn1 pqn−1x +Cn2 p2qn−2 x2 + ...+ pn xn ,

m=0

т.е., вероятности Pn(m) являются коэффициентами при xm в разложении бинома (px + q)n . В связи с этим совокупность вероятностей Pn(m) назы-

вают биномиальным законом распределения вероятностей (это понятие будет обсуждаться при рассмотрении случайных величин).

!Формула Бернулли допускает следующее обобщение. Пусть в результате единичного опыта возможны элементарные исходы A1, A2 ,…, Ak , обра-

зующие полную группу событий и происходящие с вероятностями p1, p2 ,…, pk , p1 + p2 +…+ pk =1. Вероятность того, что в серии из n не-

Совокупность величин Pn (m1,m2 ,...mk ) называют полиномиальным рас-

пределением.

2.7. Предельные случаи формулы Бернулли

Если серия состоит из большого числа испытаний, пользоваться формулой Бернулли достаточно трудно, отношение факториалов сложно вычислить с достаточной точностью. Для упрощения вычислений используются формулы, полученные из формулы Бернулли в результате предельных переходов.

2.7.1. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа

ТЕсли вероятность p появления события А в каждом испытании отлична от нуля и единицы (0<p<1), то вероятность P n (m) того, что при n неза-

висимых испытаниях событие А появляется m раз при n →∞ удовлетворяет соотношению

График функции Гаусса приведен на рисунке. Функция достаточно быстро убывает по мере удаления от начала координат –

ϕ (5)≈10−6 .

условиях (npq<2) ошибка приближения около 3 %.

2.7.2. Интегральная предельная теорема Муавра - Лапласа

ТЕсли вероятность p события А в каждом испытании отлична от 0 и 1 (0<p<1), то при n → ∞ вероятность того, что событие А наступит в n ис-

координат – 12 −Ф(5)≈10−6 .

В приложении приведены таблицы значений функций Гаусса и Лапласа. Так как первая – четная, а вторая – нечетная, значения приведены только для неотрицательных значений аргумента.

Пример:

Вероятность поражения мишени при одном выстреле 0,75. Чему равна вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 и не более 80 раз?

Решение:

Ф(x1 ) =Ф(−1,15) = −Ф(1,15) = −0,3749 (функция Лапласа нечётна).

Ф(x2 ) =Ф(1,15) = 0,3749 .

P100 (70,80)≈Ф(1,15) −Ф(−1,15) = 2Ф(1,15) = 0,7498 .

2.7.3. Формула Пуассона

Если n велико, а p мало, мы имеем дело с редкими событиями, та же вероятность P n (m) вычисляется приближенно по формуле Пуассона:

применения которых надо лишь вычислить λ и знать m. Формула Пуассона получается из формулы Бернулли при n → ∞.

Таким образом, получаем формулу Пуассона:

На рисунке приведены значения вероятности, вычисленные по формуле Пуассона для p = 0,001 и различных значений n. Смысл имеют значения только при целых m.

Лекции 3 – 5 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

В лекциях рассматривается одно из важнейших понятий теории вероятностей – случайные величины. Рассмотрены различные виды случайных величин, способы их описания, различные числовые характеристики, функции от случайной величины. Обсуждаются наиболее часто встречающиеся законы распределения случайных величин и наиболее часто встречающиеся их функции.

3.1.Случайные величины. Виды случайных величин. Закон распределения случайной величины

3.1.1.Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Поток событий

3.2.Функция распределения случайной величины

3.3.Непрерывная случайная величина. Плотность распределения

3.4.Числовые характеристики случайных величин

3.4.1.Математическое ожидание

3.4.2.Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение

3.4.3.Мода, медиана, квантили

3.4.4.Моменты случайных величин

4.1.Основные законы распределения непрерывных случайных величин и их числовые характеристики

4.1.1.Биномиальное распределение

4.1.2.Распределение Пуассона

4.1.3.Равномерное распределение

4.1.4.Показательное распределение

4.1.5.Нормальное распределение (распределение Гаусса)

5.1.Функции от случайной величины

5.2.Числовые характеристики функции случайной величины

5.3.Распределения, связанные с нормальным

5.3.1.Распределение χ2 (Пирсона)

5.3.2.t – распределение Стьюдента

5.3.3.F – распределение Фишера – Снедекора

3.1.Случайные величины. Виды случайных величин. Закон распределения случайной величины

Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение.

Возможные значения случайных величин образуют множество Ξ (кси), которое называется множеством возможных значений случайных величин.

Пример:

1.Опыт – бросание игральной кости; случайная величина Х – число выпавших очков. Множество возможных значений Ξ={1,2,3,4,5,6}.

2.Опыт – работа электрического устройства после ремонта; случайная величина Т – время работы устройства до первого сбоя. Множество возмож-

ных значений Ξ: вся правая половина оси Оt (т.е. t≥0). На практике этот участок ограничен справа, но эта граница не определена. Ξ в этом случае несчетно.

Опыт – ведется тестирование изделий до появления первого исправного изделия. Случайная величина Х – число тестов, которое было проведено. Ξ={1,2,3,…,n,…} – бесконечно, но счетно.

ОЕсли множество Ξ конечно (пр.1) или счетно (пр.3), случайная величина называется дискретной, если несчетно (пр.2) – непрерывной.

Таким образом, случайная величина Х – функция элементарного события: Х=ϕ (ω), где ω Ω. При этом множество Ξ возможных значений случайной величины Х состоит из всех значений, которые принимает функция ϕ (ω).

ОЗаконом распределения случайной величины называют любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что случайная величина примет какое-то значение или попадет на ка- кой-то интервал).

Возможны различные способы задания закона распределения. Рассмотрим наиболее типичные.

1. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные зна-

чения случайной величины Х: х1, х2, …, хn, …, а вторая – вероятность этих значений Р1, Р2, …, Рn,…, где Рi=P{Х=хi} – вероятность того, что в результате опыта случайная величина Х примет значение хi (i=1, 2, …,

n,…). События х1, х2, …, хn, …, несовместны и образуют полную группу,

n

т.о. ∑Pi =1. Такой закон распределения называется рядом распределе-

i=1

ния.

Пример:

Имеется 3 независимо работающих прибора.

Вероятность нормальной работы 1-го равна 0,2, 2-го – 0,4, 3-го – 0,5. Случайная величина Х – число работающих приборов.

Построить ряд распределения случайной величины Х. Решение:

Возможные значения случайной величины Х: 0,1,2,3. Обозначим работающий прибор «+», а неработающий – «–». Соответствующие вероятности:

P1 = P(X = 0)={−−−} = 0,8 0, 6 0,5 = 0, 24,

Основные свойства функции распределения:

1.F (x2 )≥ F (x1 ) при x2 > x1 ;

2.F (−∞)= 0 ;

3.F (+∞)=1.

Покажем геометрически свойство 1: Событие C ={X < x2 }, C = A + B ,

C

Таким образом, функция распределения является неубывающей функцией и ее значения заключены между 0 и 1.

Из равенств следует, что вероятность того, что случайная величина Х в результате опыта попадает на участок от х1 до х2 (включая х1) равна приращению функции распределения на этом участке, т.е. P{х1≤Х<х2}=F(х2) - F(х1). Пусть точка х2 неограниченно приближается к точке х1. В пределе имеем

P( X = x1) = lim (F(x2 ) − F(x1)).

x2 →x1

Таким образом, вероятность того, что случайная величина Х примет значение х1, равна скачку ее функции распределения в точке х1 (если функция F(x) разрывна). Если же функция распределения непрерывна в точке х1, то эта вероятность равна О. Если функция F(х) везде непрерывна, то вероятность каждого отдельного значения случайной величины Х равна 0.

Функция распределения дискретной случайной величины

Зная ряд распределения дискретной случайной величины, построим ее функцию распределения. Рассмотрим приведенный ранее ряд распределения случайной величины Х:

1.х≤0, т.к. число приборов отрицательным быть не может,

то для х≤0 F(х)=0;

2.0<х≤1 F(x)=P{X=0}=0,24;

3.1<x≤2 F(x)=P{X<x}= P{X=0}+P{X=1}=0,24+0,46=0,70;

4. 2<x≤3 F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0,24+0,46+0,26=0,96;

5.х>3 F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=1.

Представим ряд распределения и функцию распределения F(x) графически

3.3.Непрерывная случайная величина. Плотность распределения

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения является непрерывной и дифференцируемой в любой точке. В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин, введем понятие плотности распределения или плотности вероятности. Пусть ∆х - бесконечно малый интервал на оси Ох. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное между х и х+∆х, равна Р{x≤X<х+∆х}. Разделим ее на ∆х, получим плотность вероятно-

Таким образом, плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины Х в точке х называется производная ее функции распределения в этой точке.

Обозначение: f ( x ) = F′( x ) = dxd F( x ). График плотности распределения ƒ(x)

называется кривой распределения.