Теор_Вер

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Плотность распределения:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

904 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Случайные величины

Найдем математическое ожидание с.в., распределенной по закону Пуассона.

∞

k −1

M (X )= ∑k

e−λ = e−λ ∑

= e−λλ∑

k −1 = m

k =0

k =1 (k −1)!

k =1

(k −1)!

∞

= λe−λeλ = λ .

= λe−λ ∑

m=0

Таким образом, параметр распределения Пуассона λ – среднее количество событий за определенный промежуток времени (средняя интенсивность потока). Найдем дисперсию:

D (X )= M (X 2 )−(M (X ))2 = ∑k2 λ

e−λ −λ2 = e−λ ∑(k −1 +1)λ

−λ2

∞

k =0

k =1

(k −1)!

∞ (k −1)λk

∞

λk

∞

λk

∞

λk

= e−λ

∑k =1 (k −1)! + ∑k =1

−λ2

= e−

∑k =2

+ ∑k =1

−λ2

(k −1)!

(k − 2)!

(k −1)!

k −1 = m

= e−λ

∞

λn

∞

λm

−λ2 = e−λ (λ2 + λ)eλ −λ2 = λ ,

k − 2 = n

λ2

∑

+ λ∑

n=0

m=0

дисперсия также равна параметру распределения. Этим свойством пользуются при проверке гипотезы, что неизвестная с.в. распределена по закону Пуассона: если оценки математического ожидания и дисперсии, полученные на основании опытных данных, близки между собой, то есть основания считать, что исследуемая с.в. распределена по закону Пуассона.

Значения вероятностей обычно находятся по таблицам.

Пример:

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Какова вероятность того, что после 200 выстрелов цель будет поражена?

Решение:

Воспользуемся формулой Пуассона. Событие А = {цель поражена} является сложным (цель поражена одним выстрелом, цель поражена двумя выстрела-

ми, и т.д.). Рассмотрим противоположное событие A = {цель не поражена}, его вероятность легко находится: параметр λ = np = 2 ,

P (A)= P200 (0)≈ 200! e−2 ≈ 0,135 . P (A)=1− P (A)≈ 0,865 .

4.1.3. Равномерное распределение

Случайная величина Х имеет равномерное распределение на участке от а до b, если ее плотность ƒ(х) на этом участке постоянна

	0,		при x < a, и x > b,
f (x) =		1
				, при a < x < b.


	b - a

Лекции 3-5

Вероятность попадания случайной величины Х на любую часть участка,

например, участка (α,β)

P{α < X < β } =

β −α

b − a

Определим функцию распределения F(x): F( x ) = P{ X < x } = ∫x

f ( x )dx .

−∞

x<a,

ƒ(x)=0, F(x)=0.

a<x<b,

f ( x ) =

, F( x ) = ∫x

dx = ∫a

0 dx + ∫x

dx =

x − a

− a

−∞ b − a

−∞

a b − a

b − a

x>b,

F(x) = ∫a

f (x)dx + ∫b

f (x)dx + ∫x

f (x)dx = ∫b

= b − a

=1.

−∞

a b − a

b − a

График функции распределения:

0, при x < a,

F(x) = x - a , при a < x < b,b - a

1, при x>b.

Вычислим математическое ожидание случайной величины Х:

mx =

∞

xf ( x )dx =

b xdx

b2 − a2

b + a

∫

∫b

− a

2( b − a )

дисперсию

−∞

b + a

+∞

b + a

x −

(b − a)

Dx = ∫(x − mx ) f (x)dx = = ∫ x −

b − a

3(b − a)

−∞

среднеквадратическое

отклонение

= D

= b − a . Мода y

равномерного

распределения отсутствует.

Медиана (из соображений симметрии)

mx = a +b

= Mex

Из соображений симметрии µ3 = 0,

коэффициент

асимметрии Sk=0,

a +b 4

( b − a )4

µ4

∫a

x −

dx =

;

− a

Случайные величины

эксцесс εx = µ4 −3 = −1,2 ; эксцесс отрицателен.

σx4

Пример:

Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Найти плотность распределения случайной величины Т – времени, в течение которого ему придется ждать поезда, ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Решение:

	1						2		x	2	2		2
							2			2	2		2
f ( x ) =		= 1	(0<x<2);	m	x	=	∫	x 1 dx =			=1 ,	D =	( 2 −0 )	=	4	=	1	,
	2 −0	2			x		∫	2	4			x	12	12		3
							0				0
							0				0

σx = 33 .

4.1.4.Показательное распределение

Случайная величина Х имеет показательное

(экспоненциальное) распределение, если

λe−λx , x ≥ 0, f (x) =

0, x < 0.

λ>0 называется параметром распределе-

ниОшибка! Закладка не определена.я.

Функция распределения F(x): F( x ) = ∫x			f ( x )dx .
		−∞
	x<0, F(x)=0.
x>0, F(x) = ∫x	f (x)dx = ∫0	f (x)dx +∫x	f (x)dx =
−∞	−∞	0

λ∫x e−λxdx = −	λλ ∫x e−λxd(−λ
0	0
		−λx
Таким образом, F(x) = 1 −e			, x >
	0, x < 0.

x) = −e−λx	x	= −e−λx + e0 =1 −e−λx .

0,	0

Числовые характеристики показательного распределения

Математическое ожидание показательного распределения

	∞		∞		∞		λ
	∫		∫		∫		λ
mx =		xf (x)dx =		xλe−λxdx = λ		xe−λxdx =	1	;
mx =	−∞	xf (x)dx =	0	xλe−λxdx = λ	0	xe−λxdx =		;
	−∞		0		0

(для вычисления интеграла интегрируем по частям). Дисперсия

Лекции 3-5

∞

(x − m )2

f ( x )dx = ∞

( x −

) λe−λxdx =

∫

−∞

∞

−λx

∞

−λx

∞

−λx

= ∫

λx

dx − ∫

λe

dx + ∫

λe

λ2

Среднеквадратическое отклонение:

, т.е. m

=σ

Вычислим асимметрию показательного распределения, для этого:

∞

1 3

−λx

µ3 = ∫0 x −

λe

dx =

λ3

Коэффициент асимметрии S

µ3

= 2 > 0 , что и следовало ожидать.

σ3

Показательное распределение связано с простейшим потоком событий. Покажем, что интервал времени Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока.

f ( t ) = λe−λt , t ≥ 0 .			t
Найдем функцию распределения F (t)= P (T < t).

			t
Чтобы выполнялось неравенство T < t , нужно,	0	T	t

чтобы хотя бы одно событие потока попало на

участок длины t. Вероятность этого события описывает пуассоновское рас-

пределение: Pm = (λt)m e−λt . Вычислим вероятность противоположного собы- m!

тия T ≥ t : (m=0) P0 = e−λt ; P(T < t )=1 − P0 =1−e−λt , откуда F( t ) =1 −e−λt .

Дифференцируя, получаем: f ( t ) = F′( t ) = λe−λt - показательное распределение.

4.1.5. Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Нормальное распределение занимает в математике особое положение в силу своей важности.

где m,σ - параметры распределения.

Кривая распределения: максимум достигается при x=m.Мода Mox=m.

Математическое ожидание:

∞	1	∞	(x−m)2
mx = ∫ xf (x)dx =		∫ xe−	2σ 2 dx =...
	σ 2π
−∞		−∞

Случайные величины

замена переменной t =

(x − m)

, x = tσ

2 + m , dx =

2σdt

∞∫(σ

2 ∞∫te−t2 dt

∞∫ e−t2 dt =...

... =

2t + m)e−t2 dt = σ

π −∞

∞∫te−t2 dt равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных

−∞

пределах;

∞∫e−t2 dt = 2∞∫e−t2 dt =

π - интеграл Пуассона, тогда

−∞

mx =

π = m - центр рассеивания случайной величины Х.

∞

( x − m )2 e−

(x−m)2

Дисперсия Dx

= ∫( x − mx ) f ( x )dx = ∫

2σ2 dx =… заме-

2π

−∞

−∞ σ

на переменной …=

∞∫t2σ 2 2e−t2

2σdt =

σ 2

∞∫ 2t2e−t2 dt =... вычислим ин-

2π −∞

π −∞

теграл по частям:

σ 2

∞

σ2

−t2

−t 2

−t2

∫e

−t2

t = u,te

dt = du

,ϑ = −

... =

−te

−∞

dt =

=σ

−∞

e−t2 приt → ∞ убывает быстрее, чем любая степень t −te−t2

→ 0 ; D

=σ 2 .

Таким образом, параметр m для нормального распределения случайной величины Х является ее математическим ожиданием, а параметр σ – среднеквадратическим отклонением.

Рассмотрим изменение кривой распределения, в зависимости от параметров распределения. При изменении m кривая смещается вдоль оси абсцисс. При увеличении σ кривая распределения становится более плоской, растягивается вдоль оси абсцисс, при уменьшении σ – вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (площадь под кривой всегда равна 1).

На рисунке кривая I имеет σ=2/3, II - σ=1, III -

σ=3/2. ε	x	=	µ4			−3 = 0 , т.к. для нормального рас-

			σ		4
					x
пределения				µ4		= 3 .

			σ		4
					x

Вычислим вероятность попадания случайной величины Х на участок от α до β:

β	1	β	( x−m)2
P(α < X < β) = ∫ f (x)dx =		∫e−		dx =...
			2σ2

α	σ 2π α

48	Лекции 3-5

				β−m		t2
	x − m		1	σ	e−
Замена t =		, x=tσ+m, dx=σdt, ... =		∫		2 σdt =
	σ
			σ 2π α−m

2π

β−m σ∫

α−m

−t2

e 2 dt =...

Последний интеграл не выражается через элементарные функции, но его

	1	x	t2
можно выразить через специальную функцию Ф(x) =		∫e−	2 dt - функцию
	2π
		0

Лапласа, для которой существуют специальные таблицы. Таким образом,

P{α < X < β} =Ф( β σ− m) −Ф(α σ− m) .

Свойства функции Лапласа:

1)Ф(0)= 0 ,

2)Ф(−x)= −Ф(x) (нечетная),

3)Ф(∞)= 0,5.

Рассмотрим функцию распределения F(x):			1		х−m
F (x)= P(X < x)= P(−∞ < X < x)=

	α = −∞,β = х,Ф( −∞) = −0,5	=		+Ф
			2		σ

!В связи с широкой распространенностью нормального распределения для него часто используется специальное обозначение: нормальный за-

кон с математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением σ обозначается N (m,σ ).

!Закон нормального распределения очень широко распространен в случайных явлениях природы. Он возникает в тех случаях, когда складываются много независимых случайных величин Х1 ,Х2 ,...,Хn .Какими бы ни были законы распределения величин Х1 ,Х2 ,...,Хn , закон распределения их суммы будет близок к нормальному.

Примеры нормальных распределений: ошибки «точных измерений», ошибки стрельбы, вызывающие отклонение снарядов от точки прицеливания, ошибки вывода космического корабля в заданную точку пространства и т.п.

5.1. Функции от случайной величины

ОСлучайная величина Y называется функцией от случайной величины X, Y =ϕ(X ), если задан закон, по которому каждому значению X постав-

лено в соответствие только одно значение Y.

В более сложных случаях Yi =ϕi (X1, X2 , X3,..., Xn ) при i=1, 2, …, k, k ≠ n .

Случайные величины

Сформулируем задачу для случая непрерывной с.в.: зная плотность распределения случайной величины X f (x) и связь Y =ϕ(X ), найти плотность распределения g(y) cлучайной величины Y. Вначале рассмотрим случай, когда Y =ϕ(X )- строго монотонна (возрастает или убывает).

ТПусть: 1) задана f (x) и 2) Y =ϕ(X ) строго монотонна и дифференцируема на интервале (a,b), который может быть и бесконечным.

Тогда g

(

)

(

))

ψ′

(

)

, где x =ψ

(

)

– обратная к y =ϕ

(

)

функ-

= f ψ

ция.

Доказательство:

т.е. y =ϕ(x)

Пусть Y =ϕ(X )

возрастает,

возрастает, тогда существует

x =ψ (y)

–

функция,

обратная функции

y =ϕ(x) и функция

x =ψ (y)

является возрастающей.

Вычислим вероятность попадания случайной величины Y в промежуток

[y; y + ∆y):

P(y ≤Y ≤ y + ∆y) = P(ψ (y)≤ X ≤ψ (y + ∆y))=

=F (ψ (y + ∆y))− F (ψ (y))= F′(ψ (y)) (ψ (y + ∆y)−ψ (y))+ O1 (∆y) =

=F′(ψ (y)) ψ′(y) ∆y +O1 (∆y)+O2 (∆y) = f (ψ (y)) ψ′(y) ∆ + O(∆y).

Сдругой стороны,

P(y ≤Y ≤ y + ∆y) = G(y + ∆y)−G(y) = = G′(y) ∆ +O(∆y) = g (y) ∆y + O(∆y).

Следовательно, g( y) = f (ψ (y)) ψ′(y), если y =ϕ(x)возрастает.

Если y =ϕ(x) убывает,

g( y) = − f (ψ (y)) ψ′(y).

Объединяя, получаем

g (y) = f (ψ (y)) ψ′(y) .

В случае, если y =ϕ(x) немонотонна, для нахождения g (y) интервал (a,b) нужно разбить на промежутки монотонности y =ϕ(x), на каждом

участке найти обратную функцию, найти вклад в плотность вероятно-

50	Лекции 3-5

сти g (y) от каждого участка и результаты сложить:

g (y)= ∑f (ψi (y)) ψi′(y) .

i=1

Пример:

Случайная величина Х равномерно распределена на промежутке [0;2]; Y=X2. Определим закон распреде-

ления g(y). Решение:

0, x [0;2], f (x) =

1 , x [0;2].

По теореме g( y) =				′		2		,
				′		2
		f (x( y)) \| x ( y) \| , Y=X
следовательно, у=х2, x=				y ; x′ =	1		,
следовательно, у=х2, x=				y ; x′ =	2		,
					2	y
0, y [0;4];
	1	1
g (y)=	1	1		, y [0;4].
	2			, y [0;4].
	2	2	y

Пример:

Случайная величина Х равномерно распределена на промежутке [-1;1]; Y=X2 Определить g (y).

Решение: y=x2.

Имеем 2 участка монотонности: [-1;0] и [0;1]

для 1-го x1 = −				y ; для 2-го x2 =						y .
g (y)=	1		1	+	1		1	=	1	, y [0;1].
	2		y		2		y		y
		2				2		2

Для дискретной случайной величины вычисление ряда распределения для функции также может измениться в зависимости от того, будут ли повторяться значения функции.

Пример:

Случайная величина Х задана рядом распределения

	X	1	2	3
	p	0,3	0,5	0,2
Y=X2. Найти ряд распределения Y.
Решение:
	Y	1	4	9
	p	0,3	0,5	0,2

Пример:

Случайная величина Х задана рядом распределения

Случайные величины								51

		X		-1		1		2
		p		0,3		0,5		0,2
	Y=X2. Найти ряд распределения Y.
	Решение: так как с.в. Y принимает значение y =1 при x =1 и при x = −1,
	соответствующие вероятности суммируются:
			Y		1		4
			p		0,8		0,2

5.2.Числовые характеристики функции случайной величины Математическое ожидание

Если Y =ϕ(X ) и случайная величина Х имеет плотность распределения f (x), то M (Y )= mY = ∞∫ϕ(x)f (x)dx . (следствие теоремы).

−∞

Доказательство:

(приведено

для случая

монотонно

возрастающей

y =ϕ(x))

( )

∞

( )

∞

(

( ))

( )

∞

( ) ( )

∫

′

∫

M Y = y g y dy = y f ψ

y ψ

y dy = ϕ x f x dx , ч.т.д.

−∞

Дисперсия

Если Y =ϕ(X )

и случайная величина Х имеет плотность распределения

f (x), то D(Y )= ∞∫(ϕ(x))2 f (x)dx − ∞∫ϕ(x)f (x)dx 2 .

−∞

Доказательство: (приведено для случая монотонно возрастающей

y =ϕ(x)).

D(Y )= M ((Y − M (Y ))2 )= M (Y 2 )−(M (Y ))2 = ∞∫ y2 g (y)dy − ∞∫

yg (y)dy =

−∞

∞

( ( ))

( )

∞

( ( ))

( )

∫

′

∫

′

ψ y ψ

y dy

−

y f ψ y ψ

y dy

−∞

= ∞∫(ϕ(x))2 f (x)dx − ∞∫ϕ(x)f (x)dx 2 .

−∞

Моменты

Начальный момент порядка k случайной величины Y:

(

)

∞

(

)

∞

(

)

∫

′

= M Y

g (y)dy = y

f ψ (y)

(y)dy =

ϕ(x) f (x)dx .

−∞

52	Лекции 3-5
Центральный момент порядка k случайной величины Y:
µk = M ((Y − M (Y ))k )= ∞∫(y − M (Y ))k g (y)dy =
−∞

= ∞∫(y − mY )k f (ψ (y)) ψ′(y)dy = ∞∫(ϕ(x)− mY )k f (x)dx.

−∞

5.3. Распределения, связанные с нормальным

Рассмотрим некоторые распределения, функционально связанные с нормальным, которые далее будут широко использоваться в задачах математической статистики.

5.3.1. Распределение χ2 (Пирсона)
Рассмотрим совокупность независимых случайных	величин
Х1 ,Х2 ,...,Хn , у которых математическое ожидание равно нулю,	а среднее

квадратическое отклонение – единице. Сумма квадратов этих величин распределена по закону, называемому «хи – квадрат с n степенями свободы»:

χ2 = ∑Xi2 . i=1n

Если эти величины связаны одним линейным соотношением, например,

n
∑Xi = n		, число степеней свободы уменьшается, k = n −1.
∑Xi = n	X	, число степеней свободы уменьшается, k = n −1.
i=1
Плотность этого распределения
		0,								x ≤ 0,
					1
		f (x)=			1		−x 2	x	−1
						e		x2		, x > 0,
			2	n 2	Γ(n 2)	e		x2		, x > 0,
			2		Γ(n 2)

Распределение Пирсона зависит от одного параметра – числа степеней свободы. С увеличением числа степеней свободы распределение приближается к нормальному, что можно наблюдать на приведенных ниже графиках.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202594 Кб1Темы сочинений ЛИТЕРАТУРА на курсах.doc
#
01.04.202525 Кб0Темы-цитаты к сочинениям Сениной.docx
#
06.12.2018477 Кб8теолит Билеты.doc
#
01.05.2025317 Кб0Теор грамматика.doc
#
01.07.202551 Мб2Теор мех-2013 УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Е.В. Потапова, Л....doc
#
23.02.2015904 Кб16Теор_Вер.pdf
#
01.07.202569 Кб0Теор_жур.docx
#
23.02.20151 Мб48Теоретическая механика, решение задач.pdf
#
01.03.2025188 Кб1ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ экзамен.docx
#
01.03.202588 Кб1Теоретическая часть.docx
#
05.09.201949 Кб2Теоретические вопросы второго этапа.docx