Формулы ТВ

Для двумерной с.в. (X ,Y ) дискретного и непрерывного типа функции рас-

пределения соответственно равны

-¥ -¥

3)f (x, y ) = Fxy¢¢ (x, y );

4)вероятность попадания случайной точки (X ,Y ) в область D равна

P{(X ,Y ) Î D} = òò f (x, y )dxdy

D

Случайные величины X и Y называются независимыми, если

F ( x, y) = FX ( x) × FY ( y) .

Для непрерывных независимых с.в. двумерная плотность вероятности f ( x, y) = f X ( x) × fY ( y) .

Математические ожидания и дисперсии случайных величин X и Y , вхо-

дящих в двумерную величину, определяются по формулам

Средние квадратичные отклонения случайных величин X и Y

s (X ) = s X = D (X ) , s (Y )= sY = D (Y ).

Точка (mX , mY ) называется центром рассеивания двумерной случайной ве-

личины (X ,Y ) и описывает положение средней точки, около которой груп-

пируются случайные точки (X ,Y ) Дисперсии D (X ) , D (Y ) и соответст-

336

вующие СКО описывают степень рассеяния случайных точек.

-¥ -¥

Для вычисления ковариации удобно использовать формулу

KXY = cov (X ,Y ) == M (XY ) - M ( X )× M (Y ).

Свойства ковариации

1.Ковариация симметрична: KXY = KYX .

2.Постоянный множитель можно выносить за знак ковариации:

cov (cX ,Y ) = c × cov (X ,Y ) = cov ( X ,cY ) .

3.Ковариация не изменится, если к случайным величинам добавить постоян-

ные: cov (X + a,Y ) = cov (X ,Y + b) = cov ( X + a,Y + b) = cov (X ,Y ).

4.Дисперсия с.в. есть ее ковариация с самой собой, DX = K XX .

5.Дисперсия суммы (разности) двух с.в. равна сумме их дисперсий плюс (минус) их удвоенная ковариация:

D ( X ±Y ) = DX + DY ± 2KXY .

6. Если случайные величины X и Y независимы, то KXY = 0 .

Ковариация двух с.в. по абсолютной величине не превосходит произведения их средних квадратичных отклонений,

зывают некоррелированными. Из независимости следует некоррелированность, обратное утверждение неверно, из некоррелированности независи-

мость не следует.

Из определения ковариации видно, что она описывает и степень рассеяния с.в. X и Y , и связь между этими величинами. Для того, чтобы исключить влияние рассеяния и оценить только степень зависимости, вводят

Свойства коэффициента корреляции

337

1.rXY £ 1.

2.Для независимых с.в. rXY = 0 .

a< 0 .

4.Если rXY = 1, то с.в. X и Y связаны линейной функциональной зависимостью.

Коэффициент корреляции rXY является мерой линейной связи между случайными величинами: если с.в. независимы, rXY = 0 , если rXY = 1, с.в. связаны линейной зависимостью, при rXY ¹ 1 зависимость носит иной характер. Чем больше rXY , тем больше связь между X и Y похожа на линейную. При

rXY > 0 говорят о положительной корреляции между X и Y , при rXY < 0 – об отрицательной корреляции.

Условные законы распределения

Если с.в. X и Y , образующие двумерную с.в. (X ,Y ), зависимы, для характеристики этой зависимости вводят понятие условного распределения. Напом-

P (AB)

ним определение условной вероятности: P (B A) = P (A ) .

Условным законом распределения с.в. X , входящей в систему с.в. (X ,Y ), на-

зывается ее закон распределения, найденный при условии, что вторая с.в. Y приняла определенное значение (или попала в определенный интервал).

Для дискретной двумерной случайной величины X = {x1 , x2 ,..., xk },

Y = {y1, y2 ,..., ys }, pij = P(X = xi ;Y = yj ), i =1,2,...,k; j =1,2,...,s .

Безусловные вероятности компонент:

338

Условное математическим ожидание M (X y ) является функцией y :

M (X y ) = j ( y ),

которую называют функцией регрессии X на Y .

Аналогично определяются условное математическое ожидание M (Y x ) и

функция регрессии Y на X M (Y x) =y (x ).

Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии. Метод наименьших квадратов

Рассмотрим двумерную с.в. (X ,Y ), где X и Y – зависимые с.в. и пред-

ставим одну из величин как функцию другой. Подобное представление в общем случае может быть только приближенным. Ограничимся простейшим случаем линейной зависимости:

Y @ g(X )= aX + b,

где a и b – параметры, подлежащие определению. Чаще всего для этого используется метод наименьших квадратов.

Функция g (X ) = a X + b называется наилучшим приближением Y в смысле метода наименьших квадратов(МНК), если математическое ожи-

g (X ) называют среднеквадратической регрессией Y на X .

Используя МНК, найдем коэффициенты уравнения регрессии. Рассмотрим математическое ожидание квадрата отклонения

MéY - g (X )ù2 = M [Y -a X - b ]2 = F (a ,b ),

ë û

которое зависит от неизвестных параметров a и b . Обозначим M (X ) = mx ,

Исследование F (a ,b ) на экстремум приводит к системе:

F (a ,b ) минимальна.

340

Центральная предельная теорема (ЦПТ)

Группа теорем, устанавливающих связь между функцией распределения суммы с.в. и ее предельной формой– нормальным законом распределения. Ниже приведен простейший вариант ЦПТ.

Пусть с.в. X1 , X 2 ,..., X n ,... независимы, имеют одинаковое распределение, ко-

нечные математическое ожидание M (Xi ) = a и дисперсию D (X i ) = s 2 . Распределение стандартной (т.е., центрированной и нормированной) суммы этих величин Zn при n®¥ стремится к стандартному нормальному:

тическим отклонением ns . Иными словами этот факт выражают так: при

n

n®¥ с.в. åX i асимптотически нормальна.

i=1

Существуют варианты ЦПТ, не требующие одинаковости слагаемых.

342