Ч 1 Алгебра интернет-материалы 1

2.2.Решение систем n линейных уравнений

сn неизвестными методом Крамера

Рассмотрим систему вида

лителем системы линейных уравнений и обозначается символом .

Теорема. Если главный определитель системы (2) не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:

меной i -го столбца на столбец свободных членов.

ПРИМЕР: Решите систему:

2x1 3x2 2x3 9,

x1 2x2 3x3 14,

3x1 4x2 x3 16.

По формулам Крамера:

Посчитаем значения неизвестных:

З а м е ч а н и е. Формулы Крамера могут быть получены при решении системы

(2) матричным способом. Если 0, существует обратная матрица A 1 , и ре-

22

шение системы (1) можно записать в виде X A 1 B ; i -я строка этого матричного равенства выглядит как

так как выражение в скобках – разложение определителя i по i -му столбцу.

2.3.Схема отыскания решения системы m линейных уравнений

сn неизвестными

Отыскание решения системы линейных уравнений вида (1):

a11x1 a12 x2 a1n xn b1,

a21x1 a22 x2 a2n xn b2 ,

am1x1 am2 x2 amn xn bm .

начинается с исследования совместности этой системы. Необходимые и достаточные условия совместности определяются теоремой:

Теорема. (Кронекера Капелли). Для того чтобы система линейных уравнений

(1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы:

rang A B 2 ,

по теореме Кронекера – Капелли система несовместна.

23

После установления совместности, схема отыскания решения выглядит следующим образом: пусть rang(A) rang A B r и r min m,n . Тогда лю-

бой отличный от нуля минор, составленный из элементов матрицы A порядка r , можно выбрать в качестве базисного, при этом неизвестные xi , имеющие своими коэффициентами элементы базисного минора, называются базисными неизвестными, а остальные неизвестных свободными. Свободные неизвестные могут принимать произвольные значения. Без ограничения общности

1)Выделяем базисные и свободные неизвестные.

2)Отбросив последние m r уравнений системы (1), записываем укороченную систему:

4) Решаем систему (4).

З а м е ч а н и е. Система (4) является следствием исходной системы (1) и ее решение может быть найдено по формулам Крамера, матричным способом или методом Гаусса, который будет изложен ниже. При этом базисные неизвестные

x1, x2 , ..., xr выражаются через свободные неизвестные. Если свободные неизвестные принимают значения

24

то базисные неизвестные являются линейными функциями c1, c2 , ..., cn r

Общее решение неоднородной системы A X B можно записать в виде матрицы–столбца:

Поскольку свободные неизвестные могут принимать произвольные числовые значения, то исходная система имеет бесконечно много решений.

2.4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений являются следующие:

1)перемена местами двух любых уравнений системы;

2)умножение любого уравнения системы на произвольное число k 0 ;

3)прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на произвольное число k 0 .

Элементарным преобразованиям уравнений соответствуют элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы A B . Заметим, что эле-

ментарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных, при этом матрица, соответствующая базисному минору (см. систему (4)), преобразуется к треугольному виду элементарными преобразованиями строк:

Наиболее удобен метод Гаусса – Ньютона, в котором матрицу, соответствующую базисному минору, приводят не к треугольному, а к единичному виду. При этом сразу получается решение системы уравнений:

25

Заметим, что в полученной слева матрице некоторые диагональные элементы могут быть не единицами, а нулями. В этом случае, если справа выражение не равно нулю, то система несовместна.

x1 x2 x3 6

ПРИМЕР: Решите систему 2x1 x2 x3 3 .

x1 x2 x3 0

Запишем и преобразуем расширенную матрицу системы:

2.5. Однородные системы

Однородная система имеет вид:

что в матричном виде записывается как O .

Однородная система всегда совместна, так как r(A) r A B , поскольку

нулевой столбец не меняет ранг матрицы; всегда существует нулевое решение

(0, 0, ..., 0) .

Теорема. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А был меньше числа столбцов r(A) n .

26

Следствие. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы 0 .

Если r n , то заведомо 0 и тогда возникают свободные неизвестные c1, c2 , ..., cn r , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.

Теорема. Если X1 и X2 нетривиальные решения системы (5), то их линейная комбинация X c1 X1 c2 X2 также является решением системы (5).

Доказательство. A c1 X1 c2 X2 c1 AX1 c2 AX2 O O O .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решения однородной системы линейных уравнений, которые получаются из её общего решения

если последовательно полагать значения параметров равными 1, 0, ,0 ,

0,1, ,0 ,…, 0, 0, ,1 образуют фундаментальную систему решений од-

нородной системы.

Теорема. Общее решение X при r n может быть записано в матричном виде следующим образом:

X c1 X1 c2 X2 ... cn r Xn r , где решения

X1, X2 , ...Xn r принадлежат фундаментальной системе решений.

Запись общего решения в виде линейной комбинации решений, принадлежащих к фундаментальной системе, называется разложением общего решения по фундаментальной системе решений.

x1 4x2 2x3 0,

ПРИМЕР: Решите систему 2x1 3x2 x3 5x4 0,

3x1 7x2 x3 5x4 0.

Рассмотрим матрицу системы:

27

Следующая теорема устанавливает связь между общими решениями произвольной неоднородной системы и ее приведенной системы.

Здесь матрица–столбец X0 есть частное решение неоднородной системы, а

X1, X2 , ...X n r составляют фундаментальную систему решений приведенной системы.

x1 4x2 2x3 1,

ПРИМЕР: Решите систему 2x1 3x2 x3 5x4 7,

3x1 7x2 x3 5x4 8.

Рассмотрим расширенную матрицу системы:

28

Следовательно, r(A) r(A B) 2 , поэтому система совместна и не определена.

Выберем x1 и x2 в качестве базисных неизвестных и запишем преобразованную систему:

x1 5 2x3 4x4 ,x2 1 x3 x4 .

Полагая x3 c1 , x4 c2 , где c1 и c2 произвольные числа, получаем общее решение системы

Частное решение получено при условии c1 c2 0

29

3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

3.1. Определители второго и третьего порядка и их свойства

30