Ч 1 Алгебра интернет-материалы 1

При разложении по элементам первой строки для определителя 3 –го порядка имеем,

ПРИМЕР:

Вычислим определитель 3-го порядка разложением по элементам первой строки:

В к а ч е с тв е с л е д с т в и я и з п р и ве д ё н н о й вы ш е те о р е м ы п о л у ч а - е м с л е д у ю щ е е с в о й с т в о :

С в о й с т в о 10. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

1.2.3 Методы вычисления определителей произвольного порядка

Методы вычисления определителей n-го порядка основаны на рассмотренных выше свойствах определителей, справедливых для определителей любого порядка: определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.

Тем самым определитель n-го порядка мы выражаем через определители (n-1)- го порядка, те – через определители (n-2)-го порядка, и т.д., пока не дойдем до определителей 3-го или 2-го порядка, правила вычисления для которых заданы.

1. Метод разложения по строке или столбцу (метод понижения порядка):

n

det A A aik Aik ai1 Ai1 ai2 Ai2 ...ain Ain .

k 1

ПРИМЕР. Вычислим определитель 4-го порядка

2 1 0 1

0 1 1 2

A

3 1 3 2

3 1 1 6

методом понижения порядка.

12

2 16 8 8 12 12 6 6 0.

Вычисления можно упростить, преобразовав определитель так, чтобы в строке или столбце было как можно больше нулевых элементов. Приведем определитель к виду, в котором a11 1 , а остальные элементы первого столбца равны нулю. Для этого переставим первый и четвертый столбцы, при этом определитель изменит знак. Обозначим строки определителя через 1, 2 , 3 , 4 и обратим в нули элементы первого столбца во второй, третьей и четвертой строках

В полученном определителе третьего порядка переставим первую и вторую строки (определитель сменит знак) и вычтем из новых второй и третьей строки

первую, умноженную, соответственно, на 3 и 7:

13

020 2

2.Метод приведения к треугольному виду.

Используя свойства определителей, добьемся такой структуры определителя, при которой все его элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю. Тогда определитель будет численно равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

ПРИМЕР. Вычислим определитель 5-го порядка

1 0 2 1 3

методом приведения к треугольному виду.

Решение:

14

1.3 Обратная матрица

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица A n–го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, |A| = 0, и невырожден-

ной, если |A| 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица A–1 называется обратной к квадратной матрице A, если

A A 1 A 1 A E .

Один из методов вычисления обратной матрицы A–1 – метод присоеди-

ненной матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица AV , составленная из алгебраических дополнений

15

понированная присоединенная матрица. Доказательство теоремы проводится непосредственной проверкой того факта, что A A 1 A 1 A E .

Второй метод – метод элементарных преобразований строк.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

1)перестановка строк (столбцов);

2)умножение строки (столбца) на число 0;

3)прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой

строки, умноженных на некоторое число; Для нахождения обратной матрицы посредством элементарных преобразо-

ваний строк применяется следующий алгоритм:

1)к квадратной матрице А приписываем справа единичную матрицу того же порядка, отделив от исходной матрицы чертой;

2)к полученной расширенной матрице применяем элементарные преобразования строк, добиваясь, чтобы матрица, стоящая слева от черты, стала единичной;

3)после таких преобразований справа от черты получим обратную матрицу.

16