vektor
.pdf28
29
30
j ,i k |
j ,i |
j ,k |
k i , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k ,i j k |
k ,i |
k , j |
j k , и искомая |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
сумма равна
k j k i j i 2k 2i 2(k i ) .
Векторы a , b , |
c , d связаны соотношением |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a,c |
|
|
. Докажите, что векто- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
a,b |
|
c,d , |
|
b ,d |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ры ( a d ) и ( b |
c ) коллинеарны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a,c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
a d ,b c |
|
a,b |
d ,b |
d ,c |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
,d |
b,d |
|
b ,d |
c ,d |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
значит, эти векторы коллинеарны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Вычислите площадь параллелограмма, построен- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ного на векторах a и b , если a p 3q , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 3p q , |
|
|
p |
3, |
q |
5 , p,q |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ďŕ đ |
a b |
|
|
p 3q 3p q |
|
|
75 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
p p |
p |
q 9 q p |
3 q |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
, |
|
|
|
|
0 , |
p q q p , |
||||||||||||||||||||||||||
Так как p p |
|
q q |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Sďŕđ |
10 p q |
|
10 |
p |
q |
|
|
10 3 5 |
|
|
75 3 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
В треугольнике с верши-
нами A 1, 1, 2 ,
B 5, 6, 2 , C 1, 3, 1
найдите высоту |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
h |
BD |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
РЕШЕНИЕ: |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Площадь S |
|
|
|
|
AB, AC |
|
|
h |
AC |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
AB, |
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61
31
32
33
Найдем AB 4, |
5, |
0 , |
AC 0, 4, 3 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
15, 12, 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
AB, |
AC |
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
225 144 256 625 25,
AC 02 42 32 5 h 5 .
Найдите расстояние от точки B с координатами |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(5, 6, 2) до прямой, проходящей через точки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A(1, 1, 2) |
и C(1, 3, 1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Построим треугольник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ABC и опустим высоту |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
h | BD | |
из вершины B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на основание AC (или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
его продолжение). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда искомое расстояние равно h | BD |, и задача |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
свелась к предыдущей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Докажите, что в треугольнике ABC с биссектри- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сой CC |
выполняется со- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
CB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CA |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
|
|
|
sin |
C |
|
|
|
CC |
|
|
|
|
|
|
CB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
CB C |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
BC |
|
CH |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
SCAC |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CH |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
SC B C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CC |
|
|
|
|
|
|
|
|
CB |
|
|
|
|
|
BŃ |
|
|
|
|
|
|
|
CH |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
CAC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CH |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
CB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BŃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CA |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
CA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
AC |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Смешанное произведение векторов |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Докажите, что при любых a,b,c векторы a b , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c a компланарны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b c |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Вычислим смешанное произведение векторов a b , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b c и c a : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
a b b c c |
a |
ab bb ac bc c |
a |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
abc |
bbc acc |
bcc |
aba |
bba |
aca bca |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
abc |
bca abc abc 0, это означает, что векторы |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
компланарны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Докажите тождество a c b a b abc . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
34 |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a c b a b a c , b,a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a, |
|
|
c, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
b,a |
|
b,a abc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Даны векторы a1 1, 1,3 , |
a2 |
2, 2,1 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
a3 3, 2,5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) вычислите объем параллелепипеда, построенного |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
на этих векторах; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
б) вычислите объем тетраэдра, построенного на этих |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
векторах; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в) определите, будут ли векторы a1 , a2 , a3 компла- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
нарны; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) определите, образует ли тройка a1 , a2 , a3 |
базис |
7, |
|
||||||||||||||||||||||||
|
в трехмерном пространстве; |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
, |
||||||||||||||||
35 |
д) определите, будет ли тройка a1 a2 a3 |
правой. |
|
6 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нет, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
да, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
левая |
|||||||||||
|
а) Vďŕđ |
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
7 |
|
7 , |
|
|
|
|||||||||||||
|
a1a2a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) V |
|
|
1 |
V |
|
|
7 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
тетр |
|
6 |
|
пар |
|
6 |
|
|
некомпланарны, так как V 0 , |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
в) векторы a1 , a2 , a3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
г) тройка a1 , a2 , a3 |
образует базис в трехмерном про- |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
странстве, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
д) тройка a1 , a2 , a3 – левая, так как a1a2 a3 |
7 0 . |
|
|
63
36
37
38
В тетраэдре с вершинами в точках A 1,1,1 , B 2,0, 2 ,
C 2, 2, 2 , D 3, 4, 3 вычис-
лите высоту DE h .
РЕШЕНИЕ:
AB 1, 1,1 , AC 1,1,1 ,
AD 2,3, 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
V |
|
S |
|
h |
|
|
|
|
|
|
AB, AC |
|
|
|
h ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
осн |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V |
6Vпар |
6 |
AB, AC |
|
, AD |
; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
h |
|
|
AB, AC |
, |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
AB, |
|
AC |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите расстояние от плоскости, проходящей через точки A(1,1,1) , B(2,0,2) , C(2,2,2) , до точки
D(3,4, 3).
3 2
РЕШЕНИЕ:
Построим тетраэдр ABCD и найдем его высоту
| DE | 32 , как в предыдущей задаче.
Длины базисных векторов e1 ,e2 ,e3 в пространстве равны соответственно 1, 2, 2 , а углы между ними:
|
|
|
|
o |
|
|
|
o |
|
|
|
o |
. Вычис- |
|||||
e1 |
,e2 120 |
|
, e1 |
,e3 |
|
45 |
, e2 |
,e3 |
135 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лите объем параллелепипеда, построенного на век- |
||||||||||||||||||
торах, имеющих в этом базисе координаты |
|
|
||||||||||||||||
a 1,0,2 , b 1,1,3 , c 2, 1,1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
V | abc | |
|
e1 2e3 |
,e1 e2 |
3e3 ,2e1 |
e2 |
e3 |
|
|
|
|
||||||||
10 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
e1 ,e2 |
3 e1 ,e3 2 e3 ,e1 |
2 e3 |
,e2 |
2e1 e2 e3 |
|
e1e2e3 3e1e3e2 2e3e1e2 4e3e2e1
e1e2e3( 1 3 2 4 ) 10 e1e2e3 .
Осталось найти | e1e2e3 |. Выберем декартову систему координат так, чтобы ось Ох была направлена по e1 , e2 лежал в плоскости oxy , тогда
e1 1,0,0 ,
o o
e2 2 cos120 , 2sin120 ,0 1, 3,0 .
64
Найдем e3 . Предположим, что он имеет декартовые координаты e3 ( x,y,z ). Воспользуемся известными углами между векторами e1 , e2 , e3 и их
|
|
длинами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
( e1 , e3 ) 1 |
|
2 cos 45 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(e1 ,e3 ) e1xe3x e1y e3 y e1ze3z 1 x 0 y 0 z x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x 1; (e2 ,e3 ) 2 |
|
|
2 cos135 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
С другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(e2 |
,e3 ) 1 x 3y 0 z x 3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 1x |
|
|
|
y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x 1 1 |
|
y |
|
y |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Так как | e3 | |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
. Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
|
V 10 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| e1e2e3 | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Дайте алгебраическое доказательство того, что сме- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
шанное произведение трех компланарных векторов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
равно нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Даны три компланарных вектора a , |
b , c . Докажем, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
что |
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a,b ,c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,c 0. |
||||||||||||
Если a коллинеарен b a,b |
0 a,b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Если a неколлинеарен b , то они образуют базис на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
плоскости, поэтому в силу компланарности a , |
|
b , c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеем c |
a b . Найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
, a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
a,b |
|
a,b |
|
a,b |
,b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
a,a |
,b |
b,b |
,a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Докажите, что четыре точки A 1,2, 1 , |
B 0,1,5 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
40 |
|
C 1,2,1 , D 2,1,3 |
|
лежат в одной плоскости. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65
|
Точки A,B,C,D лежат в одной плоскости тогда и |
|
|||||||||||||
|
только тогда, когда векторы AB, AC,AD компла- |
|
|||||||||||||
|
нарны, то есть AB AC AD 0. Вычислим |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
0 |
2 |
|
2 12 8 2 0 , |
|
|||||||
|
AB AC AD |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
что и требовалось доказать. |
|
|
|
|||||||||||
|
Дан параллелограмм ABCD . Докажите, что его |
|
|||||||||||||
|
площадь в два раза меньше площади параллело- |
|
|||||||||||||
|
грамма A1B1C1D1 , противоположные стороны кото- |
|
|||||||||||||
|
рого соответственно параллельны и равны диаго- |
|
|||||||||||||
|
налям AC и BD исходного параллелограмма. |
|
|||||||||||||
41 |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если AB a,AD b , то. |
|
|
|
|
||||||||||
|
SABCD | a,b |
|. Диагонали |
|
||||||||||||
|
параллелограмма ABCD |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
равны d1 a b и |
|
|||||||||||||
|
d2 b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
SA B C D |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|[a b,b a] | 2 |[a,b] | 2SABCD . |
|
|||||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66
|
|
|
|
|
|
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Плоскость |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
Задание |
|
|
|
Ответ |
|||
|
Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через |
|
|||||||
|
точку M 0 (3, 2, 7) параллельно плоскости |
|
|||||||
|
P1 : 2x 3z 5 0 . |
|
|
||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
||||
|
В качестве нормального вектора |
|
|
||||||
|
искомой плоскости Р можно вы- |
|
|
||||||
1 |
брать нормальный вектор плоско- |
|
2x 3z 27 0 |
||||||
сти P1 |
n1 {2,0, 3} и уравнение |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
плоскости Р может быть записано в |
|
|
||||||
|
виде уравнения плоскости, проходящей через точку |
|
|||||||
|
M 0 (3, 2, 7) с нормальным вектором n1 |
{2,0, 3}: |
|
||||||
|
2(x 3) 3(z 7) 0 . После приведения к виду общего |
|
|||||||
|
уравнения плоскости это уравнение принимает вид: |
|
|||||||
|
P : 2x 3z 27 0 . |
|
|
||||||
|
Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через |
|
|||||||
|
точку M 0 (1,1,1) |
перпендикулярно прямой |
|
||||||
|
L: |
x 1 |
|
y 2 |
|
z 1 |
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
||||
|
В качестве нормального вектора |
|
|
||||||
2 |
искомой плоскости выбираем на- |
|
5x 2y z 6 0 |
||||||
правляющий вектор прямой L, |
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
|
имеющий компоненты a {5,2, 1} |
|
|
||||||
|
из канонических уравнений дан- |
|
|
||||||
|
ной прямой L. Уравнение плоскости, проходящей че- |
|
|||||||
|
рез точку M 0 (1,1,1) с нормальным вектором n {5,2, 1} , |
|
|||||||
|
имеет вид: |
|
|
|
|
||||
|
5(x 1) 2( y 1) (z 1) 0 5x 2y z 6 0 . |
|
|||||||
|
Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через |
|
|||||||
|
точку M 0 (1,1, 1) перпендикулярно двум плоскостям |
|
|||||||
|
P1 : 2x y 5z 3 0 и P2 : x 3y z 7 0 . |
|
|
||||||
3 |
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
2x y z 2 0 |
||||
По условию n1 {2, 1,5}, n2 {1,3, 1} . |
|
||||||||
|
|
|
|||||||
|
Нормальный вектор искомой плоскости должен быть |
|
|||||||
|
перпендикулярен нормальным векторам плоскостей |
|
|||||||
|
P1 |
и P2 . |
|
|
|
|
67
4
5
6
В качестве такого вектора можно выбрать их векторное произведение:
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
2 |
1 |
5 |
||||||||
n n1 |
n2 |
14i 7 j 7k. |
||||||||
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение искомой плоскости имеет вид:
14(x 1) 7( y 1) 7(z 1) 0 2x y z 2 0 .
Составьте уравнение плоскости Р , проходящей через |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
три точки M1 (3, 1,2), M 2 (4, 1, 1), M 3 (2,0,2). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Если M(x,y,z) - текущая координата плоскости, то |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение плоскости получается как следствие ком- |
3x 3y z 8 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
планарности векторов MM1, M1M 2 , M1M 3 , то есть ра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
венства нулю их смешанного произведения: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
MM1 M1M 2 M1M 3 |
|
x 3 |
|
y 1 |
z 2 |
|
0 3x 3y z 8 0. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
0 |
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
Найдите отрезки, отсекаемые плоскостью |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3x 4y 24z 12 0 |
|
на координатных осях. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Приведем уравнение плоскости к виду уравнения |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
плоскости "в отрезках": |
|
|
|
|
|
|
-4; 3; 0,5 |
|||||||||||||||||||||||||
|
3x |
|
|
|
4 y |
|
24z |
1 |
x |
|
|
y |
|
z |
1, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
12 |
|
|
4 3 1/ 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
a 4, b 3, c |
1 |
|
|
|
отрезки, отсекаемые |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
плоскостью на осях ox, oy, oz |
соответственно. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Составьте уравнение плоскости Р, параллельной век- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
тору p {2,1, 1} и отсекающей на координатных осях |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
отрезки a 3 |
и |
b 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Уравнение искомой плоскости "в отрезках" имеет вид: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
z |
1. Приведение его к общему виду |
|
|||||||||||||||||||||
3 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 3y z 6 |
||||||||
|
2cx 3cy 6z 6c 0 дает плоскость с нормальным |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
вектором n { 2c,3c, 6}. Из условия перпендикулярно- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
сти векторов n |
и |
|
p : (n p) 4c 3c 6 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
c 6, |
|
n {2, 3,1} , и уравнение плоскости принимает |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
1 2x 3y z 6 . |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68
7
8
9
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (1,7, 5) и отсекающей от осей координат по-
ложительные и равные отрезки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Уравнение плоскости, отсекающей от осей координат |
2x 3y z 6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
положительные и равные отрезки a , имеет вид: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x y z |
1. Так как плоскость проходит через точ- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ку M 0 (1,7, 5) , |
a 1 7 5 3 и уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
плоскости принимает вид: x y z 3 x y z 3 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Найдите угол между плоскостями P1 : x y |
|
z 6 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
и P2 : y 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Один из двух смежных углов (острый) между плоско- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
стями равен углу между их нормальными векторами |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и находится из их ска- |
60 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
n1 {1, 1, 2} |
|
и n2 {0,1,0} |
|||||||||||||||||||||||||||||
лярного произведения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 1 1 |
|
2 0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos |
|
(n1 |
n2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n1 |
|
|
n2 |
|
|
12 12 ( |
2)2 |
|
02 12 02 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
60 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдите уравнение плоскости, проходящей через точ- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ки M (2, 1,4) и N(3,2, 1) перпендикулярно к плоскости |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x y z 3 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Составим систему уравнений. Первое уравнение |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
представляет уравнение плоскости, проходящей через |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
точку М с нормальным вектором n {A, B,C} . Второе – |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
условие прохождения этой плоскости через точку N. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Третье – условие перпендикулярности этой плоскости |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
и заданной плоскости с нормальным вектором |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n1 {1,1,1} . Получили однородную систему уравнений |
4x 3y z 7 |
||||||||||||||||||||||||||||||
для определения А, В, С: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A( x 2 ) B( y 1) C( z 4 ) 0,
|
A 3B 5C 0, |
|
|
|
A B C 0. |
|
Условие существования решения системы
|
x 2 |
y 1 |
z 4 |
|
|
1 |
3 |
5 |
0 приводит к уравнению иско- |
|
1 |
1 |
1 |
|
мой плоскости: 4x 3y z 7 0. РЕШЕНИЕ 2.
69
|
|
|
|
|
|
, |
|
Вектор нормали ищем в виде n MN N |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где N |
|
i |
j |
k |
|
|
|
1,1,1 . Тогда n |
1 |
3 |
5 |
8i 6 j 2k . |
|||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем уравнение плоскости
4 x 2 3 y 1 z 4 0 .
Приведите уравнение плоскости 2x y 2z 3 0 к нормальному виду и объясните смысл коэффициентов при неизвестных.
РЕШЕНИЕ:
Внормальном уравнении плоскости
xcos ycos zcos p 0.
коэффициенты представляют собой направляющие косинусы единичного вектора нормали к этой плоскости, р – расстояние от начала координат до плоскости.
10 |
Общее уравнение плоскости Ax By Cz D 0 с нор- |
2x y 2z 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
мальным вектором n {A,B,C} приводится к нор- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
мальному виду путем умножения на нормирующий |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
множитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, знак которого противо- |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 B2 C2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
положен знаку D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
В данной задаче |
1 |
|
и уравнение плоскости при- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
нимает следующий нормальный вид: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
x |
1 |
y |
2 |
z 1 0 или |
|
2x y 2z 3 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Найдите расстояние от заданной точки M 0 ( 2, 4,3) до |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
плоскости 2x y 2z 3 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Расстояние от точки M0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости с нор- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
мальным вектором {A,B,C} равняется |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
Ax0 |
By0 Cz0 D |
|
|
. |
3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 B2 |
C2 |
|
||||||||||||
|
Здесь |
2( 2) ( 4) 2 3 3 |
|
|
|
9 |
3 0 , то есть на- |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
чало координат и точка M 0 находятся по одну сторо- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ну от плоскости. Искомое расстояние равно |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
Составьте уравнение плоскости, которая делит попо- |
4x 5y z 2 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|