vektor
.pdfВариант 19
1.Даны три точки О, А и В, не лежащие на одной прямой. Принимая за базисные векторы OA и OB , найдите координаты вектора ON , если точка N лежит на прямой АВ вне отрезка АВ и AN : BN m : n .
2.Пусть отличные от нуля векторы a č b ортогональны. При каком значении параметра вектор a b ортогонален вектору a b ?
3.Вычислите высоту параллелепипеда, построенного на трех векторах
a 3p 2q 5r, b p q 4r и c p 3q r , если за основание взят
параллелограмм, построенный на векторах a и b . Кроме того,
известно, что p, q č r - взаимно перпендикулярные орты.
4.Найдите координаты вершин треугольника, если даны уравнения двух его сторон AC : x 2y 3 0 , AB : x 2y 5 0 и двух его высот:
2x 4y 6 0, 2x y 9 0.
5.Постройте кривую y 3 4 x2 4x 5 .
3
6.Приведите кривую 5x2 23 xy 7 y2 1 0 к каноническому виду.
7.Найдите точку, симметричную точке M 2,1,0 относительно плоскости P : y z 2 0.
8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку
M0 1,2, 1 перпендикулярно к двум плоскостям:
2x 4y 3z 7 0 , z 0.
9.Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую
|
x 1 |
|
y |
|
z 3 |
перпендикулярно к плоскости x y 4z 0. |
||||||||
3 |
0 |
|
||||||||||||
|
2 |
|
x 1 |
|
|
y 0.5 |
|
z |
|
|||||
10. Найдите угол между прямыми L : |
|
|
|
и |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0.5 |
10 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 2y 2z 1 0,
L2 :
3x 2y 3z 4 0.
11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра
C (1;0;1) и то, что плоскость 3x 2y 5z 8 0 касается сферы.
12.Найдите уравнения линий пересечения поверхности z x2 y 2 1 с координатными плоскостями.
141
Вариант 20
1.Дан правильный шестиугольник OABCDE со стороной ОА = 3.
Обозначим OA m, AB n и BC p . Установите зависимость между ними. Выразите через m и n векторы OB, BC, ED, OD, DA.
2.Докажите, что если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.
3.Найдите длину вектора a 3c d , если c 2, d 6, а угол между векторами c и d равен 60 .
4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника если даны две его вершины А (-1, 2), В (-11, 7) и точка М (19/3;8/3) пересечения его медиан.
5.Постройте кривую y 5 3 2x .
6.Приведите кривую 10x2 43 xy 6 y2 0 к каноническому виду.
7.Найдите точку, симметричную точке M 1;2;0 относительно плоскости P : 4x 5y z 7 0.
8.Найдите угол между плоскостями 6x 2y 4z 17 0 ,
9x 3y 6z 4 0 .
9.Вычислите кратчайшее расстояние между прямыми:
x |
|
y 3 |
|
z 2 |
, |
x 1 |
|
y 2 |
|
z |
. |
1 |
2 |
|
0 |
|
|
||||||
|
0 |
|
1 |
|
2 |
5x 4y 3z 3 0,
10. Составьте уравнения проекции прямой на
4x y z 2 0,
плоскость 5x 3y 2z 5 0.
11.Составьте уравнение сферы, если известно, что точки
M1 2;3;3 ,M2 2;1;1 ,M3 0;3;1 ,M4 2;3; 1 лежат на сфере.
|
x2 |
|
y2 |
|
12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности |
|
|
|
3z |
|
4 |
|||
6 |
|
|
с координатными плоскостями.
142
Вариант 21
1.Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. В базисе из векторов OA, OB, OC найти координаты вектора OK , если К –
середина стороны AD.
2.Найти направляющие косинусы вектора a 1; 2; 2 .
3.Составляют ли векторы a 1; 1; 1 , b 2; 1; 3 , c a, b
ортогональный базис трехмерного пространства?
4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны три его вершины А (1; -2), В (-9; 3), С (-5; -5).
5.Постройте кривую x 2 15 y2 2 y.
6.Приведите кривую 6x2 43 xy 10y2 1 0 к каноническому виду.
7.Найдите точку, симметричную точке M 2; 1;1 относительно плоскости P : x y 2z 2 0.
8.Точка M 2;1; 3 служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составьте уравнение этой плоскости.
9.Найдите проекцию точки М (2;1;0) на плоскость P: y + z + 2 = 0.
10. Докажите, что прямая L : x y 2 z лежит в плоскости
1 2 1
x y 3z 2 0.
11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра
C (1;-2;0) и радиус R = 3.
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
||||
9 |
25 |
|
|
с координатными плоскостями.
143
Вариант 23
1.Даны 3 точки A x1; y1; z2 , B x2 ; y2 ; z2 , C x3; y3; z3 , не лежащие на одной прямой. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника АВС.
2.Найдите направляющие косинусы вектора a 2b , если
a 2i 3 j 4k, b i j k .
3.Вычислите: 1) a b, 2a 2b 3a 3b, 4a 4b ;
2) |
[[a b, 2a 2b], |
[3a 3b, 4a 4b]] |
. |
|
|
|
|
4.Найдите уравнения и длины сторон треугольника, если даны две его вершины А(1; 2), В(21; -8) и точка К(13; 8) пересечения его высот.
|
|
4 |
|
|
|
|
5. |
Постройте кривую x 2 |
|
y2 2y 10. |
|||
|
||||||
|
3 |
|
|
|
6.Приведите кривую 11x2 23 xy 9y2 1 0 к каноническому виду.
7.Найдите точку, симметричную точке M 1;2;3 относительно плоскости P : 2x 10y 10z 1 0.
8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2x 2y 2z 1 0,
3x 2y 3z 4 0.
x 5y 2z 5 0,
9.Докажите, что прямая пересекает ось ординат.
x y z 1 0
10.Составьте уравнения прямых, образованных пересечением плоскости 3x 5y z 4 0 с координатными плоскостями.
11.Составьте уравнение сферы, если известно, что точки M1 1; 2;5 и
M2 3; 2; 1 - концы ее диаметра.
12.Найти уравнения линий пересечения поверхности x2 y2 z2 1L :
25 16 9
с координатными плоскостями.
145
8. ПРИМЕР ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Векторная алгебра
1. |
На векторах a 3i j, b 5i 2k построен параллелограмм. Найдите площадь |
|||||||||
параллелограмма и длины его диагоналей. |
|
|||||||||
2. |
Найдите прb a, если a 2e1 e2 , b e1 e2 , где |
|
e1 |
|
1, |
|
e2 |
|
2, e1 |
e2 600. |
|
|
|
|
|||||||
3. |
Вычислите объем тетраэдра: A 3,2,4 , B 2, 3, 4 , C 2, 2,3 , D 0, 2,1 . |
|||||||||
4. |
На плоскости заданы векторы e1 2,1 , e2 1,1 , a 5,2 . Можно ли взять |
|||||||||
|
e1, e2 за новый базис на плоскости? Если да, то найдите разложение вектора a |
|||||||||
по базису и запишите соответствующее разложение. |
|
|||||||||
5. |
Убедитесь, что векторы a 4i 3 j, b 5k могут быть взяты за ребра куба. |
Найдите третье ребро c.
Аналитическая геометрия
1.Найдите расстояние от точки М 0 до плоскости, проходящей через точки
М1,М2,М3 , если М1 (-3,4,-7), М2 (1,5,-4), М3 (-5,-2,0), М0 (-12,7,-1).
2.Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку A(1,0,-2) перпендикулярно вектору BŃ , если известны координаты точек B(2,-1,3),
C(0,-3,2).
3.Найдите угол между плоскостями x – 3y + 5 = 0 и 2x – y + 5z – 16 = 0.
4.Найдите координаты точки A(0,0,z), равноудаленной от точек B(5,1,0) и
C(0,2,3).
5.Напишите каноническое уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости 2x + y + z – 2 = 0 и 2x – y – 3z + 6 = 0.
x 2 y 3 z 1
6.Найдите точку пересечения прямой 1 1 4 и плоскости x+2y+3z-14 = 0.
7.Установите, какую кривую второго порядка определяет уравнение 4 x2 +3 y2 – 8x + 12y – 32 = 0. Найдите для эллипса и гиперболы
координаты центра, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис, для параболы – координаты вершины и величину параметра p .
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
2 |
z2 |
|
|
8. Найдите |
точки пересечения поверхности |
|
y |
|
1 |
и прямой |
|||||
|
9 |
||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||
|
x 3 |
y 1 |
z 6 |
|
|
|
|
|
|||
|
3 . Укажите тип поверхности. |
|
|
|
|
||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
148