Тер.мех. - методичка

ности, и не взаимодействует с силовым центром (θ = π), и второй случай, когда частица прилетает прямо на силовой

центр(θ = 0).

θ [0; π] 0 ≤ 2θ ≤ π2

В первом квадранте все тригонометрические функции положительны, следовательно модуль можно убрать. Тогда

Формула Резерфорда. Тропинка в атомную физику :).

Т.к. тут альфа в квадрате, то эта формула справедлива как для притяжения, так и для отталкивания.

Существовало две конкурирующие модели атома. Представление первое было следующее. Было некоторое положительно заряженное желе, в которое как изюминки вкраплены электроны (модель атом Томпсона). и планетарная модель атома Резерфорда.

Теорема вириала.

Рассмотрим систему, состоящую из N частиц. Рассмотрим

Преобразуем: Пусть имеется функция f(t), тогда среднее будет:

τ - какое-то характерное для системы время. Производим операцию усреднения.

)* + ,

12

Рис. 33: 1-модель атома Томсона. 2-модель атома Резерфорда.

Была некоторая неопределенность, какую из моделей выбрать. Был вопрос, атом это желе или ядро. В экспериментах Резерфорда атом представлял собой силовой центр.

Дело в том, что электрон и атом это квантовые объекты, которые должны подчиняться законам квантовой механики. А опыт Резерфорда был выведен из классической механики. Но все таки формула из классической механики совпала с формулой квантовой механики. Это удивительное совпадение позволило создать атомную физику и квантовую механику.

Если процесс периодический с периодом τ, то G(τ) = G(0). Действительно, если ri(t) и pi - периодические функции то:

ri(τ) = r(0) pi(τ) = pi(0)

То и G(t) будет периодической. Для периодических процес-

+ , dG

сов: = 0 и τ = 0. dt

G(τ) = G(0) следовательно это будет справедливо для ограниченных функций. |G(t)| < ∞ Т.к.

G = ripi; pi = mivi, mi < ∞, |v| c,

i

То функция G будет ограничена только при |ri(t)| < ∞, а это справедливо для финитного движения.

Итак для периодического и финитного движения

+ ,

dG

dt

= 0. Тогда:

)*

2 + = 0

T Firi

i

Пусть

)*

Для механических систем, совершающих периодическое, или финитное движение с характерным временем равным бесконечности, средняя кинетическая энергия система

равна ее вириалу.

Рассмотрим простейший случай N = 1 (одна частица). Имеем:

Рассмотрим частный случай центральных полей, когда потенциал U(r) является степенной функцией от r.

U(r) = arn, n = 0, n = ±1, ±2, . . .

Случай n=-2 особый, его рассматривать не будем. В случае степенного поля:

dUdr r = n · arn−1 · r = n · U(r)

В этом случае:

< T >= n2 < U(r) >

Видим: в среднем кинетическая энергия является какая то частью от потенциальной энергии.

степенные потенциальные поля для физики очень важны. Например, два значимых потенциала:

1)U(r) = - αr , n = -1, a=α - Кулоновкий потенциал

2)U(r) = k2 r2, n =2, a = k2 - Квазиупругий потенциал.

1

Для них : T = − 2 U и T = U соответственно. Полная энергия распределяется между кинетической

и потенциальной E = T + U, причем полная энергия механической системы сохраняется: E=const. Встает вопрос - какая доля полной энергии приходится на кинетическую и потенциальную энергию в среднем?

Раз энергия сохраняется, то:

Рассмотрим те два случая для кулоновского и квазиупругого потенциала.

Кулоновский потенциал:

n = −1, U = 2E, T = −E

Видим: E < 0. Это потому, что в кулоновском поле фиктивное движение происходит по эллипсу и окружности, где E<0 (мы показывали ранее). А это означает что исходя из условий применения вириала знак E получился правильным. Кроме того

U

= 2

T

т.е. в кулоновском поле на потенциальную энергию в среднем приходится 2 кинетических. Квазиупругий потенциал:

энергия в среднем распределяется между кинетической и потенциальной энергией поровну.

Это общее свойство гармонических колебаний.

Понятие связей, их классификация, и степени свободы механической системы.

1. Рассмотрим механическую систему, состоящую из N частиц, заключенных в сосуд в форме куба. Пусть в такой системе на движение каждой частицы существует ограничение, задаваемое неравенствами:

0 = xi = ;

0= yi = ;

0= zi = ; (i = 1, . . . , N)

l

0l

Рис. 34: Куб, нарисованный как квадрат.

Наличие стенок куба приводит к тому, что мы имеем некие соотношения на каждую координату.

2. Рассмотрим две материальные точки, которые соединены жестким невесомым, нерастяжимым стержнем. Какими бы мы силами на систему не действовали, расстояние между частицами останется неизменным:

m2

m1 l

Рис. 35: Закрепленные частицы.

Это условие задается уравнениями:

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 = 2

3. Пусть имеется некая плоскость, и пусть имеется какой то шарик на этой плоскости (материальная точка). В случае если мы шарик толкнем, то при своем движение у шарика будет одно ограничение : z = 0

и в принципе связи должны задаваться дифференциальными уравнениями, содержащими

˙ ¨

ri, ri, ri.

Связи делятся на: неудерживающие (≤) и удерживающие (=).

В свою очередь удерживающие связи делятся на голономные и неголономные. Неголономными называются

связи, уравнения которых задаются следующим образом:

( ˙ ¨ ) = 0, и дифференциальное решение которых не сво- f r, r, r, t

дится к виду голономных связей.

Голономными называются связи, уравнения которых записываются или сводятся к виду: f(r1, . . . , rN , t) = 0. Это алгебраические уравнения в которые не входят производные. Например случай 2 и 3 - пример голономных связей, но если в случае 3 мы поднимем и отпустим шарик, то плоскость

будет неудерживающей.

Голономные связи делятся на реаномные (нестационарные, т.е. зависят от времени.) и склерономные (стацио-

нарные, т.е. не зависят явно от времени f(r1, . . . , rN ) = 0). Запишем уравнение голономной связи через координаты:

f (x1, y1, z1, . . . , xN , yN , zN , t) = 0,

= 1 . . . , k, k - число уравнений связи.

Для свободных систем (в которой связи отсутствуют) для описания движения понадобилось бы 3N уравнений. (N - число частиц системы).

Рассмотрим теперь систему на которую наложено k голономных реаномных связей. То есть уравнение связи имеет вид (23). Из него можем найти

x1 = ϕ(y1, z1, . . .),

т.е выразить одну координату через две другие. Таким образом, каждое уравнение связи уменьшает на 1 число независимых переменных. А если у нас k уравнений связи, то число независимых переменных будет n = 3N − k. Число n называется числом степеней свободы, а независимые переменные - степенями свободы. Возьмем производные по времени от уравнения (23).

Это выражение можно переписать в виде:

ϕ (r, r,˙ t) = 0.

Если мы возьмем вторую производную:

Движение механической системы при наложенных связях. Принцип Д-Аламбера.

Рассмотрим механическую систему, которая состоит из N частиц и на которую наложено k голономных реаномных связей, т.е. связи, которые задаются следующим уравнением:

f1(r1, . . . , rN , t) = 0

Посмотрим, какие силы действуют в этой системе. Вернемся к первому примеру из предыдущего параграфа, где мы рассматривали куб. Пусть внутри куба находятся заряженные частицы, на которые действует сила Лоренца. Или рассмотрим третий пример из предыдущего параграфа, где шарик лежал на плоскости. Пусть на этот шарик действует сила тяжести.

Раз появляются еще связи, то появляются еще дополнительные силы, которые действуют на частицу со стороны связей. Посмотрим как возникают эти силы в третьем примере с шариком. Поместим эту частицу в однородное поле тяжести (мы рассматриваем голономную связь z=0). Раз частица находится в равновесии, то возникает сила, которая равна

= − . В результате получаем условие равновесия:

R mg

+ = 0 mg R

Виртуальными перемещениями называются бесконечно малые перемещения частиц системы, удовлетворяющие связям в фиксированный момент времени. Рассмотрим пример.

Допустим есть лифт. Пусть лифт двигается вверх вдоль оси z, и пусть на полу лифта находится шарик. Имеем одну степень свободы:k = 1,

Z V0

Рис. 37: Движение шарика в лифте.

Силы, которые действуют на тела со стороны связи - это силы реакции, которые возникают из за наличия других

сил. Силы которые действуют на систему независимо от связей называются активными силами.

Итак, силы:

1) Активные, которые имеются в системе, даже если связи отсутствуют (например диссипативные силы, квазиупругая сила, кулоновская сила, сила Лоренца и.т.д.)

2) Силы реакции связи, которые возникают благодаря дей-

ствия активных сил. Если бы не было активных сил то, не было бы реакций связи. Силы реакции связей - то пассивные силы.

Итак, имеются два типа сил: активные и пассивные. Запишем закон Ньютона:

(надо найти).

Закон Ньютона нужно рассматривать вместе с уравнениями

Тогда уравнение связи будет: z = v0t, или f(z, t) = z − v0t. Пусть прошел бесконечно малый промежуток времени dt, тогда лифт поднимется на какую-то высоту. Действительное перемещение шарика совершается как благодаря движению лифта, и благодаря активным силам, действующим на шарик. Действительному перемещению с точки зрения математики соответствует полный дифференциал: dr = r(t + dt) − r(t).

Чтобы рассмотреть виртуальное перемещение мы должны зафиксировать время. Дальше, эти перемещения должны удовлетворять связям, то есть в нашем примере шарик не может подпрыгнуть с лифта.

Светло-серым цветом на рисунке изображено виртуальное перемещение. То есть это не физические, а только лишь геометрические перемещения. Итак, виртуальным перемещения:

1)любые перемещения шарика, которые возможны когда z = const, т.к. t = const;

2)должны быть бесконечно малыми;

3)не совершаются под действием сил, а носят геометрический характер.

Изохронная вариация:

Если имеются реальные перемещения, которые описываются дифференциалом радиусов векторов: dr = r(t + dt) − r(t), то полный дифференциал функции F (r1, . . . , rN , t) равен

N

∂F ∂F dF = i=1 ∂ri dri + ∂t dt

Изменение всех функций мы находим простым дифференцированием.

Если движение виртуально, и мы хотим рассмотреть какую-то функцию перемещения мы должны рассматривать изохронную вариацию.

N

∂F δF = i=1 ∂ri δri

При взятии изохронной вариации время не варьируется. Виртуальные перемещения ri = ri + δri удовлетворяют уравнениям связи:

f (r1 + δr1, . . . , rN + δrN , t) = 0

где δri - бесконечно малые величины. Разложим в ряд:

0 = f (. . . , ri + δri, . . .) =

N

∂f

= f (. . . ri, . . . , t) + i=1 ∂ri δri + · · · − (пренебрежем)

Первое слагаемое в правой части равняется нулю, т.к. оно удовлетворяет уравнению связи. Получаем:

N

∂f

i=1 ∂ri δri = 0

Это означает что изохронная вариация функции f будет равна нулю.

N

∂f

δf (r1, . . . , rN , t) = i=1 ∂ri δri = 0

Можно записать это выражение через компоненты виртуаль-

Не все компоненты виртуальных перемещений называются независимыми. Всего 3N компонент виртуальных перемещений, из них k штук будет зависимыми, то есть могут быть выражены через все остальные. Следовательно число независимых компонент перемещений будет 3N - k, а это равно числу степеней свободы.

Т.е. независимых виртуальных перемещений столько же сколько и степеней свободы.

Введем понятие идеальных связей. Для этого введем понятие виртуальной работы, обусловленной этими силами

Fi :

N

=

ðA Fiδri

i=1

Перечеркнутая δ потому, что у ðA не является полной вариацией.

Связи называются идеальными, если элементарная виртуальная работа сил реакции связи равна нулю:

Выясним смысл данного определения в частном

случае. Пусть имеется система с N = 1 и k = 1 (одна частица, одна связь). Имеем: f(r, t) = 0, ∂f∂r δr = 0 , δr ∂f∂r .

f

dr

R^ r

dr R

R||

Рис. 38: Голономная связь.

Связи голономные а направлена произвольным об-

R

разом.

Запишем условие того, что связи идеальные (см.рис. 38):

= 0

R

Касательная составляющая идеальной связи

R равно

нулю. Присутствует только нормальная .

R

Но - это то сопротивление, которое оказывает дви-

R

жение частицы связь, если частица движется по поверхности связи. Т.е.

= − Идеальная связь направлена по нормали.

R R

Т.е. идеальные связи - это связи без трения. Если не учитывается сила трения в идеальных связях, это означает что

она учитывается в активных силах i

F .

Уравнения Лагранжа первого рода.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из N частиц на которые наложено k голономных реаномных связей. Си-

Принцип Д’Аламбера.

Рассмотрим механическую систему на которую наложены идеальные голономные связи. Уравнения движения:

Умножим 31 на δri и просуммируем по индексу i. Обозначим

Запишем последнюю группу уравнений в компонентах:

{r1, . . . , rN } → {r1, r2, r3, . . . , r3N }

(которая называется неопределенным множителем Лагран-

Среди 3N компонент независимых виртуальных перемещений δrα имеется 3N −k = n независимых и k зависимых. Выберем k неопределенных множителей Лагранжа λ так, чтобы коэффициенты перед зависимыми δrα обращались в нуль. Получили выражение (28). Тогда в (27) останутся только независимые δrα. Но тогда выражение (27) выполняться, если будут равны нулю коэффициенты при независимых δrα. Снова приходим к выражению (28) будет выполняться для

В векторном виде:

i

- виртуальная абота сил инерции Д’Аламбера, а

iδri = ðAA

F

i

- виртуальная работа активных сил. В результате получаем

ðAD + ðAA = 0

Это принцип Д’Аламбера: для реального механического движения с идеальными голономомными связями на любых виртуальных перемещениях сумма элементарных виртуальных работ сил Д’Аламбера и активных сил равна нулю.

Аналитическая механика.

Принцип Гамильтона

Если имеется система из N частиц, на которую наложено k голономных, в общем случае, реаномных идеальных связей, то действительное движение такой системы удовлетворяет принципу Д’Аламбера, согласно которому для реального движения механической системы:

ðAD + ðAA = 0

где ðAD - элементарные виртуальные работы Д’Aламбера, построенных на силах инерции Д’Aламбера:

Виртуальная работа активный сил:

δAe = −δUe + ðAn

ðAA = ðAin + ðAe = −δ (Uin + Ue) +ðAn

r

ðAA - виртуальная работа активных сил. (Активные силы - это которые действуют на систему материальных точек, даже если силы реакции отсутствуют)

Тогда:

ðAA = ðAin + ðAe,

- элементарная виртуальная работа внутренних сил aik,

e = e

ðA Fi δri

i

- элементарная виртуальная работа внешних сил. Рассмотрим

t1 t2 t

Рис. 39: Концы закреплены.

Пусть имеется система частиц, которая совершает движение из одной точки в другую. Эти точки зафиксированы, условие закрепленности концов:

δr(t1) = δr(t2) = 0

Система может двигаться между точками А и В как угодно, если это движение удовлетворяет условиям связей. Проинтегрируем (32) от начала до конца движется

Отсюда можно получить уравнение движения. Преобразуем (33). Рассмотрим первый член в (33)

(..δri = ri (t) − ri(t))

rik - относительный радиус вектор, а

rik − rik = δrik

- вариация относительно радиус-вектора (изохронная вариация).

ðAin = −δUin

Первое слагаемое равно нулю в силу закрепленности концов: δri(t1) = δri(t2) = 0 что означает, что начальная и конечная точки закреплены.

I = − miIi =

Обозначим L = T − U.Функция L называется функцией Лагранжа механической системы. Тогда

Выведем знак вариации за интеграл. Вариация δL = L (t) − L(t) есть разница между двумя бесконечно близкими функциями. Имеем:

(t2 (t2

δLdt + ðAndt = 0

t1 t1

/t2

Обозначим S = δ Ldt - функционал действия механической

t1

системы.

Отображение множества функция на множество функций - это оператор.

Отображение множества функций на множество чисел - это функционал.

В нашем случае функционал линейный.

Принцип Гамильтона: для действительного движения механической системы сумма вариации действия и интеграла по времени, взятого от начала до конца движения от элементарной виртуальной работы непотенциальных сил равна нулю:

(t2

δS + ðAndt = 0

t1

На (Рис.39) можно провести множество виртуальных кривых по которым возможно движение. Принцип, по которому находится та единственная траектория, по которой на самом деле движется система материальных точек и есть принцип Гамильтона.

Если ðA = 0 то δS = 0 - принцип наименьшего действия. Возможен когда отсутствуют непотенциальные силы.

С механической точки зрения принцип наименьшего действия это частный случай принципа Гамильтона. Хотя с физической точки зрения это не так, поскольку в микромире все силы и все взаимодействия могут быть учтены в функ-

В механике было получено что функция Лагранжа

равна L = T − U. Системы, для которых это выражение справедливо называются натуральными механическими си-

стемами. Системы для которых функция Лагранжа не рав-

на разности кинетической и потенциальной энергий, называются ненатуральными. Для ненатуральных систем функция

Лагранжа является просто функцией от координат, скоростей и времени.

Например релятивистская физика имеет дело с ненатуральными механическими системами.

Обобщенные кооридаты. Скорость. Кинетическая энергия, и функция лагранжа в обобщенных координатах.

Рассмотрим механическую систему с идеальными голономными связями. Если N - число частиц в системе, а k - число связей , то такая система имеет n = 3N − k степеней свободы, т.е. для описания движения такой системы понадобится ввести n независимых переменных (координат).

Введем независимые координаты: q1, . . . , qn, и потребуем чтобы эти координаты удовлетворяли условиям:

(1)ri = ri(q1, . . . , qn, t) радиус-векторы должны одинаково выражаться через qα и t.

(2)Эти координаты должны обращать в тождество уравнение связи f (ri, . . . , rN , t) = 0. Т.е. при подстановке (1)

вуравнения связи должно получаться тождество:

f (. . . , ri(q1, . . . , qn, t) . . . , t) ≡ 0, то есть qi - другими словами функции (1) являются решением уравнений связи.

В этом случаем независимые переменные q1, . . . , qn, которые удовлетворяют условиям (1) и (2) называются обобщенными координатами.

z

m

l

y

x

Рис. 40: Сферический маятник с одной степенью свободы.

На практике обобщенные координаты выбираются исходя из симметрии системы. Пример: Рассмотрим систему - сферический маятник. Система имеет сферическую симметрию, поэтому перейдем к сферическим координатам:

x = sin θ cos ϕ

y = sin θ sin ϕ

z = cos θ

Две координаты θ, ϕ - сферические, - через которые однозначно выражаются x, y, z.

Утакой системы две степени свободы : N = 1, k = 1

n = 3N − k = 2. Уравнение связи

f(r) = x2 + y2 + z2 − 2 = 0

Легко проверить, что если подставить наши координаты в это уравнение то мы получим тождество. Т.е. θ и ϕ удовлетворяют условиям (1) и (2), т.е. являются обобщенными координатами. Скорость:

vi = dri dt

Перейдем к координатам

qα = qα(t), α = 1, . . . , n

Тогда

n

vi = ∂ri q˙α + ∂ri ∂qα ∂t

=1

Таким образом выражения для скорости в обобщенных координатах дает:

где

∂ri(q, t) . ∂q

Величины q˙α называются обобщенными координатами. Отметим, что в обобщенных координатах скорость:

1)является линейной неоднородной формой по обобщенным скоростям;

2)зависит не только от q˙α но и от q и t:

j

Можно заметить, что T (q, q,˙ t) - неоднородная квадратичная форма от обобщенных скоростей. . Если связи стационарны, то f (r1, . . . , rN ) = 0 , и в выражении для T будут равны нулю T0 = 0, b = 0 T1 = 0 а a j = aj (q). Таким образом в случае стационарных связей: T = T2(q, q˙) =

1 a j (q)q˙ q˙j .