Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тер.мех. - методичка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

прямолинейно и равномерно.	Tc - Кинетическая энергия центра масс, τ -собственная ки-
	нетическая энергия системы. Получили вторую теорему
	Кёнинга:
	T = Tc + τ

Рис. 7: Лабораторная система отсчета.

Введем инерциальную систему отсчета.

Пусть имеется центр масс, и мы свяжем с этим центром масс другую систему отсчета.


ri = Rc + ri
		равен нулю.
В центральной системе отсчета Rc
Rc =	mi ri
	i i mi	= 0

Если система замкнута, то центральная система отсчета является инерциальной.

Полный момент импульса в лабораторной системе от-

счета:

= [ri × miri] =

= i

)] =

[(Rc + rc ) × mi(Ri + r˙i

mir˙i =

miri = 0 , #Rc × i

mir˙i $ = 0

= i

mi[Rc

× Rc] + i

[Rc × mir˙i ]

+ [ri × miRc] + [ ri × mir˙i

]

× ! " c

m r˙ ]

L = [R

MR ] +

× P

] -Момент импульса центра

Обозначим Lc

= [Rc

масс.

[ ri

× miri] - собственный момент импульса

механической системы. Момент импульса системы, относи-

тельно центра масс.

первая теорема Кёнинга. Выра-

Тогда L

= Lc +

жение для кинетической энергии:

T = i

mi ri

= i

(Rc + r˙i)

mi Rc

+ i

mi r˙i Rc +

mir˙i

Поскольку

mi ri

= 0, то

r˙ 2

M R

T =

i i

! "

Ksi-Group

Задача двух тел.

Задачей двух тел называется задача о движении замкнутой

системы, состоящей из двух материальных точек. = 2, ie =

0, i =1,2.

Движение происходит только за счет внутренних сил, которые являются центральными.

					∂U12(r12)
F12	= −F21	;	F12	= −	∂r12

Нам нужно ввести систему отсчета. Поскольку система материальных точек замкнута, следовательно центр масс будет двигаться прямолинейно и равномерно относительно любой системы отсчета. Выберем в качестве системы отсчета центральную систему.

Рис. 8: Центральная система отсчета.

Центр масс в начале координат,r1, r2 радиус-векторы первой и второй частицы, соответственно. Так как центр масс в начале координат, то:

= m1r1 + m2r2 = 0

Можем ввести относительный радиус вектор r = r1 −r2. Отсюда получаем систему уравнений из которой мы можем выразить r1 и r2 :

m1r1 + m2r2 = 0

r1 −

Имеем:

r1 = −

r2 = −

(r1 − r),

m1 + m2

r1 =

(14)

r2 = −

−

(15)

Рассмотрим закон сохранения полного момента:

= i

i = [r1 × m1r˙1] + [r2 × m2r˙2] =

= m1 % M2

+ m2 % M1 &

[r × r˙]

m1m" 2

μ(Приведенная масса.)

μ = m1m2

m1 + m2

μ[r × r] = const

= [r×μr] - Момент импульса некоторой фиктивной частицы

массы μ.

Момент импульса системы из двух материальных точек равен моменту импульса фиктивной частицы.

Т.к. внешние силы отсутствуют, то E = Ein. Тогда

Ein =

m1r1

m2r2

+ Uin,

{U12(r) + U21(r)} − U(r),

U =

Uik =

i,k=1

Т.к. U12(r) = U21(r) = U(r).

Подставим 14, 15 и

в Ein

Ein = m1 % M2

˙ 2

+ m2 % M1 &

2 + U(r)

˙ 2

Ein =

μ r

+ U(r) = const = E

Закон сохранения энергии фиктивной частицы массы

μ.

Поле, потенциал которого зависит только от расстояния до силового центра называется центральным полем.

1)¨ =

m1r1 F12

2)¨ =

m2r2 F21

Домножим первое на уравнение на m1, а второе на m2 и вычтем из 1-го 2-е.

¨	¨			1		1
r1	− r2	=	m1		+	m2	F12

! "

1/μ

¨	¨		¨
μ (r1	− r2) = F12		μr	= F

II закон Ньютона для частицы массы μ

Общий вывод: движение системы из двух материальных точек мы можем свести к движению одной фиктивной частицы в центральном поле, силовой центр который находится в центре масс. Если m2 m1 то:

μ =	m1m2		m1m2		= m1
	m1 + m2			m2

r1 =	m2	r	r
	m1 + m2
	m1
r2 = m1 + m2		r	≈ 0

т.к. m1 ≈ 0 m2

Если одна частица очень тяжелая, а вторая легкая, то в главном приближении фиктивная частица совпадает с реальной частицей m1.

Рис. 9: Фиктивная частица.

Ksi-Group

Движение в центральном поле.

Пусть имеется некоторое центральное поле, и в нем движется частица. Тогда потенциальная энергия этой частицы буде равна U = U(r).

Движения этой частицы будет удовлетворять закону

сохранения импульса, и закону сохранения энергии.
	= μ[r		˙		(16)
	= μ[r		× r] = const		(16)
		˙2
E =		μ r	+ U(r) = const		(17)
E =	2		+ U(r) = const		(17)
	2
			˙
Из (16) следует, что r, r				= const, т.е. движение

фиктивной частицы будет происходить в плоскости, перпен-

дикулярной вектору .

Вывод: движение в центрально поле - это плоское движение.

Перейдем в полярную систему координат.

Обозначим Uc(r) = 2μr2 - центробежный потенциал

(центробежная энергия). Она получилась из r2ϕ˙2 -это угловая часть кинетической энергии. Потенциал называется центробежный потому, что это потенциал отталкивания. Введем эффективный потенциал.

Ueff = Uc(r) + U(r) =

+ U(r)

2μr2

Тогда

E =

μr˙

+ Ueff (r)

dt = ±'

μ (E − Ueff )

dt = ±'

(

E Ueff

− dr

t − t0 = ±'

(

2E − Ueff

Радиальная часть закона движения.

t − t0 = g(r) r = r(t) (18) Уравнение траектории:

Рис. 10: Полярная система координат.

r = |r| = x2 + y2

Вычислим момент импульса:

x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

i j k

= μ x		y	z = μ(xy˙ − yx˙ ) k = = const
				(0 ! "
	x˙	y˙	z˙	(0 ! "
	x˙	y˙	z˙
					,0, )
					,0, )

dϕ =

(

μr2

dϕ = ± √2μ (

E − Ueff (r)

dr/r2

(

dr/r2

(19)

ϕ −

ϕ0 = ±

√

= f(r)

2μ

E − Ueff (r)

ϕ − ϕ0

= f

ϕ = ϕ(r)

)

Подставляя (18) в (19) находим

ϕ = ϕ(t)

(20)

Выражения (18) и (20) дают закон движения.

e = μ2 (x˙ 2 + y˙2) + U(r) = const

l= μ[r cos ϕ(vecr˙ sin ϕ + r cos ϕϕ˙) − −r sin ϕ(r˙ cos ϕ − r sin ϕϕ˙)] = μr2ϕ˙

= μr2ϕ˙

x˙ = r˙ cos ϕ − r sin ϕϕ˙

y˙ = r˙ sin ϕ + r cos ϕϕ˙

x˙ 2 + y˙2 = (r˙ cos ϕ − r sin ϕ)2 + +(r˙ sin ϕ + rϕ˙ cos ϕ)2 = r˙2 + r2ϕ˙2

Квадрат скорости частицы в полярной системе координат. Тогда система (16) и (17) принимает вид:

= μr2ϕ˙ E = 2 (r˙2

+ r2ϕ˙2) + U(r)

ϕ˙ =

μr2

E =

μr˙

μr2

+U(r)

μ2r4

Uc(r)
Ksi-Group

Качественный анализ движения в центральном поле.

Ранее получили:



		ϕ˙ =			,
		ϕ˙ =		μr2	,
E =	μr˙	2	+ Ueff ,

	2
	2		m1m2
μ =			m1m2
μ =		m1 + m2
		m1 + m2

Ueff = Uc(r) + U(r) - эффективный потенциал

Uc(r) = 2μr2 - центробежная энергия. Имеем:

1) ϕ˙ = μr2 ≥ 0

если стоит знак (>) то угол увеличивается если (ϕ˙ = 0, ϕ = const, = 0);

2) E − Ueff (r) =	μr˙	2	≥ 0
	2

Движение происходит в тех областях изменения r, где

E ≥ Ueff (r)

Точки в которых Ueff (r) = E называются точками поворота траектории. Таких точек может быть несколько

r1, r2, . . . , rn

в этих точках r˙ = 0.

Рис. 12: Инфинитное движение.

Эффективный потенциал складывается их слагаемых

Ueff (r) − Uc(r) + U(r):

Рис. 13: Эффективный потенциал.

Центробежный потенциал всегда имеет вид, изображенный на (13)

Такого типа потенциалы - это потенциалы отталкивания, так как они не дают приближаться к силовому центру.

Каким же должно быть U(r) чтобы общий эффективный потенциал имел такой вид, как на (13). Например:

Рис. 11: Движение в центральном поле.

Частица, материальная точка не может одновременно находится во всех этих областях, т.к. она находится только в одной из областей.

Характер движения определяется начальными условиями системы (начальными координатами, начальным положением механической системы. Можем сказать: когда мы "сажаем"частицу в первую область область, движение происходит только в этой области (11):

0 ≤ r ≤ r1

Соответственно если во II области:

r2 ≤ r ≤ r3

Движение, которое происходит в ограниченной области пространства называется финитным.

В области r ≥ r4 частица может улететь в бесконечность. Это движение инфинитное.

В случае когда частица достигает начала координат: r = 0 считается, что частица упала на силовой центр.

Ksi-Group

1. U = −	α	, α < 0
	r

Имеется одна точка поворота. Движение инфинитное. (14). Существует запретная зона, в котором движение невозможно.

Рис. 14: Запретная зона.

2. Случай, когда есть потенциальная яма:

Рис. 15: Потенциальная яма.

Частица не может приблизиться к силовому центру, и эти траектории финитные. Имеем две точки поворота

rmin, rmax . Движение происходит в области ограниченной окружностями радиусов rmin, rmax.

rmin ≤ r ≤ rmax;

Ueff ≤ E

- Розетка Роземфельда. В общем случае эта траектория равномерно заштрихует это кольцо полностью (16).

Рис. 16: Розетка Роземфельда.

Однако, существуют случаи когда траектория замыкается. Найдем условие замкнутости траектории. Имеем:

				dr/r2
dϕ = ±	√

		2μ		E − Ueff
Когда угол меняется от 0 до			ϕ то, rmax → rmin → rmax
(17).

Рис. 18: Сильный потенциал притяжения.

Энергии могут быть положительными и отрицатель-

ными.

rmax - Максимальное расстояние траектории до силового центра.

Движение происходит в 0 ≤ r ≤ rmax

Когда r=0, мы говорим что в этом случае происходит падение частицы на силовой центр.

Найдем условия на потенциал U(r), чтобы было возможно падение на силовой центр.

Движение происходит в области:


E ≥ Ueff =				2	+ U(r);
E ≥ Ueff =			2μr2		+ U(r);
Отсюда		≥ r→0		2μ
r→0		≥ r→0		2μ		r
2		lim		2		+ U r	2
lim r	E	lim				+ U r

Предел как раз соответствует падению частицы на силовой центр (r = 0). Т.к. Е=const,

Следовательно мы получаем:

0 ≥ 2 + lim(r2U(r)) 2μ r→0

2		2
lim(r	U(r))
lim(r	U(r))	≤ − 2μ
r→0		≤ − 2μ

Рис. 17: Замкнутая траектория.

ϕ = √2μ	rmax	E Ueff
ϕ = √2μ	(	E Ueff
2		dr/r2
	rmin	−

Множитель "2"возникает из-за того, что участки (1, rmin) и (rmin, 2) равны (симметричны). А модуль берем чтобы угол был положительным.

Траектория будет замкнутая, когда ϕ = k2π

Теорема Бертрана: Замкнутые траектории возможны только для двух видов потенциалов:


1)	U(r) =	kr2		− Квазиупругий потенциал.
		2
		α
2)	U(r) = −			, α > 0
			r

-условие на потенциал U(r), когда возможно падение частицы на силовой центр. Должно выполняться U(r) < 0. Характер траектории: (19) - падение по спирали.

Рис. 19: Падение по спирали.

-Кулоновский потенциал притяжения. 3. Сильный потенциал			Второй возможный тип движения:(20) - падение по
притяжения.(18)		дуге	кривой.
	Ksi-Group

Рис. 20: Падение по дуге.

Третий возможный тип движения - радиальное движение. Оно реализуется когда = 0, ϕ˙ =, ϕ = const:

Рис. 21: Радиальное движение.

Задача Кеплера.

Задача Кеплера это задача о движении частицы в кулонов-

ском поле.

U(r) = − αr

Кулоновское поле - центральное поле, потому U(r) зависит только от расстояния.

Частица может быть реальная или фиктивная. Если эта частица фиктивная, то ее масса:

μ = m1m2 m1 + m2

В случае m2 m1 у нас легкая частица движется в поле, создаваемым тяжелой частицей.

Кулоновский потенциал возникает при взаимодействии электрических зарядов в электростатике. В классической теории гравитации это потенциал взаимодействия двух тяготеющих тел.

Возможны 2 разных случая, которые характеризуются знаком α.

1) α > 0 - имеем дело с притяжением. Эффективный потенциал:

Ueff (r) =	2	−		α
	2μr2			r
В случае, когда U(r) потенциал			отталкивания. График
Ueff (r) имеет вид (22)


!		"
!		#
	%& '
	%& '

!$ "

Рис. 22: Потенциал отталкивания.

Эффективный потенциал получается при сложении

двух этих графиков Uc(r) =	2	и U(r) = −	α	. Когда
	2μr2		r

Кулоновский потенциал - это потенциал притяжения - эффективный потенциал имеет явный минимум в точке p.

2) Второй случай, когда α < 0 (23). В этом случае Кулоновский потенциал - это потенциал

отталкивания, и центробежный потенциал тоже потенциал отталкивания.

Рис. 23: Кулоновский потенциал отталкивания.

В этом случае возможно движение при r ≥ rmin. Рассмотрим случай потенциала притяжения (22). Найдем точку минимума.

dUeff

= −

= 0

μr3

Ksi-Group

−

+ α = 0

μr

p =

В результате окончательная формула принимает вид

μα

Получили точку минимума эффективного потенциа-

ла. Найдем значение эффективного потенциала в точке p.

−

ϕ − ϕ0 = ± arccos

U0 =

;

2μα p

− p

− 2p

U0 = −

e ≥ 0; p > 0

Получим уравнение для траектории частицы.

Воспользуемся формулами, которые рассматривались для

−

cos(ϕ

− ϕ1)

центрального поля:

ϕ − ϕ0 = ±

2μ (

Ueff (r)

1 + e cos(ϕ − ϕ1)

dr/r

r =

−

Выберем ось х так, чтобы ближайшая точка траекто-

Чтобы посчитать такой интеграл нужно преобразо-

рии rmin лежала именно на этой оси x.

вать подкоренное выражение. Выделим полный квадрат:

E − Ueff (r) = E −

= E −

pα 1

(rmin, ϕ = 0); cos(ϕ − ϕ1) = 1

2μr2

2 r2

rmin = 1 + e ;

cos ϕ1 = 1 ϕ1 = 0

= E −

r12

− 2 p r

pα

1 1

Добились того, что ϕ1 = 0. Тогда уравнение траекто-

(Добавим и вычтем

рии имеет вид:

r =

1 + e cos ϕ

pα

Траектория - конические сечения,

= E −

−

p - параметр конического сечения,

pα

e- Эксцентриситет конического сечения.

−

pα

e = '

Преобразуем:

1 + 2E α

где e =

'1 + 2e

Траектории в различных случаях разные:

+ pα = p2 ,

1) E > 0, e > 1 - гипербола (имеет асимптоты);

2) E = 0, e = 1 - парабола;

e =

1 +

3) E < 0, 0 < e < 1 - эллипс;

Эксцентриситет

|U0|

Получаем:

4) E = U0 < 0, e = 0 - окружность.

E − Ueff (r) = #p2 − r

− p

pα

Подставим это выражение в интеграл, и найдем траекторию.

Поскольку

2α

pα

2μα

получаем

−

ϕ − ϕ0 = ±' 2

(

pα − e2

1 2

pα

−

z =

−

Рис. 24: Траектории движений.

= ± (

= ± arcsin

;

μv2

μv∞2

p2 − z2

Полная энергия E =

2 + U(r) =

(U(∞) = 0)),

arcsin β =

arccos β

−

v∞

= '

−

;

−

ϕ0

−

arccos

Можно сделать отсюда вывод, что в случае параболы

α < 0.

(E=0) скорость частицы на бесконечности будет равна нулю

ϕ1

= ϕ0

Рассмотрим потенциал отталкивания.

Ksi-Group

Рис. 25: Потенциал отталкивания. Инфинитное движение.

В данном случае движения инфинитное. Найдем траекторию движения. Движение возможно только при положительных энергиях E > 0.

U(r) = − αr ; α < 0

U = |αr|

При замене α → −|α| - получаем потенциал отталкивания. Тогда

P = − 2 = −|p|

μ|α|

Рассеяние.

Имеется две частицы, отведенные на бесконечность, расстояние между которыми так же бесконечность. Если частицы находились на бесконечном расстоянии друг от друга, то энергия взаимодействия равна нулю. В процессе движения, частицы начинают сближаться до минимального расстояния, и потом снова частицы уходят на бесконечное расстояние и взаимодействие обращается в ноль. В этом состоит процесс рассеяния.

Можно задать начальную скорость частицы. Возникает 2 задачи. Если потенциал взаимодействия неизвестен, то мы можем по известной конечной скорости найти потенциал взаимодействия U(r). Это обратная задача рассеяния. Нетрудно догадаться что такое прямая задача рассеяния (известен потенциал).

Рассеяние называется упругим, если в процессе этого рассеяния не изменяется внутреннее состояние частиц. Это эквивалентно тому, что сохраняется полная механическая энергия E=const.

Существует не упругое рассеяние, когда полная энергия будет изменяться (E= const), но, например, импульс будет сохраняться. В случае упругого рассеяния отсутствуют внешние диссипативные силы, а частицы рассматриваются как материальные точки, т.е. их внутреннее состояние не меняется.

Рассмотрим рассеяние на неподвижном центре. Это означает, что в задаче двух тел

e =

1 + 2E

|p|

M = m2

m1 = m, μ = m

−

V–

ϕ1

arccos

− p

Если ближайшая точка траектории лежит

на оси x, то мы

E=const

можем записать.ϕ1 = 0

jm x

ϕ =

arccos

|p|

V+

r =

|p|

min

−1 + e cos ϕ

-выражение для траектории, в случае потенциала отталки-

Рис. 27: Рассеяние на неподвижном центре.

вания т.к. r ≥ 0, то движение возможно только при e > 0

Траектория - гипербола. Реализуется дальняя ветвь гипер-

Вектор начальной скорости v− задает асимптоту тра-

болы.

ектории.

mv2

Известные величины: v−, E =

+U(r) = E(t = ∞),

Найти v+ - конечную скорость.

Мы знаем, что движение в центральном поле являет-

ся плоским, т.е. происходит в плоскости, перпендикулярной

моменту импульса.

Есть 2 вектора, которые лежат в одной плоскости v−

и v+. В моменты времени ±∞ U(r) равна нулю, а скорость

равна v±

E(t = ∞) =

m(v−)2

E(t = ∞) =

m(v+)2

(v−)2 = (v+)2; v− = v+ = v∞

Осталось найти направление вектора v+. Введем углы

Рис. 26: Ветвь гиперболы.

(см.рис.27).

θ - угол рассеяния (между первоначальными и конеч-

ными векторами скоростей).

ϕm - угол между асимптотами. В нашем случае они

равны, так как рассеяние упругое. Эти углы называются -

углами падения

и углами отражения.

Ksi-Group

Найдем угол θ :

Описываем процесс рассеяния в полярных координатах. (r, ϕ - отсчитывается от оси x).

Когда угол ϕ = 0 r − rmin Если ϕ = ϕm r = ∞ Вспомним предыдущие лекции:

dϕ = ±		E − Ueff (r)
dϕ = ±	2μ	E − Ueff (r)
2			dr/r2

Проинтегрируем:

ϕmdϕ =

∞

dr/r2

ϕm =

(21)

2μ

(

−

Ueff (r)

rmin

Берем модуль т.к. нас не интересуют знаки. Из рисунка видно, что 2ϕm + θ = π. Отсюда

θ = π − 2ϕm,

ϕm =

π − θ

∞

dr/r2

(

2μ

−

Ueff (r)

rmin

В физике вводят понятие - прицельное

расстояние:

ρ. Мы можем провести прямую, проходящую через силовой центр и параллельную асимптоте. Это прицельное расстояние, которое является еще одной геометрической характери-

стикой процесса рассеяния. Характеристики рассеяния: ρ, θ, v∞

Энергия частицы в начале рассеяния: E = няется в процессе рассеяния.

Момент импульса частицы:


L = m[r	× v] = L(t = ±∞).

	= \|L\| = (mrv sin α)\|t=−∞

mv∞2	-не изме-
2

(r sin α)\|t→−∞ ;	v\|t→−∞ = v∞
		V–
	m	r
M	r	a
M	b	x
r	V	x
	V

Из данного выражения можно найти rmin, которое определяется из выражения

Ueff (r) = E.

Тогда

E − Ueff (r) = 0,

ρ2	+	U(r)	= 1
r2		E

rmin = rmin(ρ, v∞)

Окончательно

∞

−

(22)

(

U(r)

rmin(ρ,v

)

− r2

−

mv2

∞

Формула (22) позволяет найти ρ = ρ(θ, v∞). Экспериментально измеряется dσ - дифференциаль-

ное эффективное сечение рассеяния. Например, эксперимент по рассеянию позволяет определить структуру кристаллической решетки твердого тела.

Атом кристаллической решетки твердого тела, в этом случае будет силовым центром.

Детектор частиц

V–

Рис. 29: Рассеяние на атоме кристалла.

Дифференциальное эффективное сечение рассеяния:

dσ = dNn

Рис. 28: Рассеяние.

α + β = π

r → −∞

α = π − β

v → v−

sin α = sin β

β → 0, r → 0

(r sin β)|t→−∞ = ρ

m2v∞2 ρ2

mv∞2

= E · ρ

2μ

Вычислим подкоренное выражение в (21). Имеем.

Ueff =

+ U(r)

2μr2

Ksi-Group

ρ2

U(r)

E − Ueff = E 1 −

−

где dN - число частиц, которые рассеиваются в единицу времени в интервале углов [θ, θ + dθ].

n - число частиц, которые пролетели через единичную площадку перпендикулярную начальному потоку частиц в единицу времени. Другими словами n - плотность потока частиц пучка.

dσ - величина, которая измеряется на эксперименте. Размерности

[dN] =	1	,	[n] =	1	,

	T			T · d2
d- длина, T - время.

[dσ] = d2 − площадь

dN - число частиц, рассеявших в единицу времени в интер-

вале (θ, θ + dθ) : Это те же частицы, которые до рассеивания
находились в интервале (ρ, ρ + dρ). Отсюда

r+dr

Рис. 30: Через эту площадку в единицу времени проходит n частиц.

dN = ndS = 2πρdρ · n

И это же число частиц рассеивается в угле (θ, θ+dθ), поэтому:

dσ = dNn = 2πρdρ

	dρ
dσ = 2πρ				dθ
dσ = 2πρ		dθ		dθ
	dρ2
dσ = π			dθ
dσ = π	dθ		dθ
	dθ

Ввести телесный угол: Ω = 2π sin θdθ.(мы считаем что R=1 - рассматриваем сферу единичного радиуса).

q+dq

Рис. 31: Сфера единичного радиуса.

1	dρ2	dΩ
dσ = 2	dθ	sinθ

Проинтегрируем по всем углам и получим полное эффективное сечение рассеяния:

((

σ =	dσ(θ) = dσ(Ω)
(θ)	Ω

Случай, относящийся к центральному полю.

Пусть имеется центральное поле U(r), r0 - характерное расстояние на котором центральное поле спадает.

Т.е. считаем, что поле имеет характерный радиус воздействия, равный r0

− r

U(r) = U0e r0

dσ = 2πρdρ; ρ [0, ∞] ≈ ρ [0, r0]

(r0

dσ = 2πρdρ = πr02

Представляет собой площадь окружность радиуса r0, где происходит эффективное взаимодействие рассеиваемой частицы в центральном поле.

В тех случаях, когда r0 → ∞ σ → ∞

Примером таких взаимодействий может быть Кулоновское поле.

Ksi-Group

Формула Резерфорда.

Рассматриваем рассеяние в Кулоновском поле, потенциал ко-

торого:

U(r) = − α α > 0 − притяжение

rα < 0 − отталкивание

Чтобы рассмотреть рассеяние в Кулоновском поле мы должны рассмотреть рассеяние по гиперболе (в которой известная начальная скорость).

a>0	V	–	a<0 m
m	V	r
m		r
	M		jm
			jm x
			q

V+

Рис. 32: Рассеяние по гиперболе.

		p	+	притяжение
	±	1 +\|e\|cos ϕ	− −
r =		1 +\|e\|cos ϕ	−отталкивание
Параметр
			p	=	2\|
			\| \|		m	α	\|
					\|		\|

(m → μ − Для задачи 2-х тел)

Эксцентриситет

e2 = 1 + 2 ||pα| E

Запишем эти формулы через параметры рассеяния. v∞, ρ, θ

В центральном поле момент импульса и энергия рав-

ны

mv2

= mv∞ρ; E =

2∞

Отсюда

m2v∞2 ρ2

mv∞2

|p|

m|α|

|α|

e2 = 1 + 2

mv∞2

ρ2

mv∞2

= 1 +

m2v∞4

ρ2

|α|2

α2

Формула квадрата эксцентриситета.

Посчитаем dσ, для этого надо найти ρ(θ) Поступаем так, как сделал Резерфорд:

Рассмотрим рассеяние частицы: когда r → ∞ в этом случае ϕ = ϕm . Из выражения

|p|

r = ±1 + e cos ϕ ,

Получаем r → ∞, когда ±1 + e cos ϕm = 0: Отсюда

e2 =	1			,
e2 =				,
cos2		ϕm
θ + 2ϕm = π; ϕm =	π − θ
		2
e2 =		1
e2 =	sin2		θ
			θ

		2

Приравняем эту формулу с предыдущей для ρ2 получаем:

sin2 θ	= 1 +	α∞	ρ2
1		mv2	2

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202599 Кб5теплотехника кп.doc
#
15.11.2019447 Кб5Теплотехника-к.р.1,2.doc
#
23.11.20193 Мб79Теплофизика для магистров.doc
#
21.04.2019541 Кб19Теплофизика металлургически процессов (Денисов)....docx
#
22.02.2015348 Кб14теплофизика.docx
#
23.02.20151 Мб30Тер.мех. - методичка.pdf
#
01.07.2025756 Кб1терия менеджмента ответы.docx
#
22.02.201545 Кб26термех.doc
#
22.02.201514 Кб51Термех.docx
#
26.04.2019397 Кб39ТЕРМЕХ.docx
#
27.09.2019760 Кб9Термех.docx