Тер.мех. - методичка

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

{rik × Fik} = 0

[(ri − rk) × Fik] =

{rik × Fik} = 0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

1.17 Mб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

. .

. !

. $% .

$&! .

&! .

. ' % . ( ) . * . !

' % .

+ ' %

' %

, . ! .

. (-- & , ' % .

& .

, & . + , , . & . !

& . + ,

& ,

. & .

. --, '-- . + .

/ ! 0-.

- , .

)

. &

. ,

. ! ,

& * . $ . &

7 % . # 7 % & % . + , & ) .

! " . 8) )* . - %! , & .

' % ) )* . + , & 9 .

# 7 % .

8) )* . & ) )* . & -! ,

0 .

-! ,

7 % .

8) )*-& ,

. 8) )*

& , .

8) )*

&! .

) )* %

&! .

8) )* ' % .

) )* ' %

. ; & .

. + ! % .

7 %- . ) & ) . ! ) .

! *

) & ) . #

) % ) . <& ! . ! ! *

) & ) . 0 . < % ) . )

) . )

) .

# . /! , 9 .

# 9 .

& .

7 ! . $% 9 .

% .

)

( )

% , -! ,

). 9 . < )

) +! . ! .

+! (

% ).

& , &

" %

+ *

-! ,

& ) .

& * -! , .

#-$. -! ,

))*

&! -! , . # 9 -@ ) . @ ) .

A .

. 0 &

-@ ) . + "

-!% ".

% " .

<) . &

& . = & )

) % . ) % & . #% . %

' % % .

&! % .

% & . ! ( . #%

( . ! ( . ) * % !% %

. #

) % *

/! , 7 %

! , , .

. ( %

Ksi-Group

Содержание

Теоретическая механика.

Механика системы материальных точек.

Кинематика

Кинематика - это раздел механики, который изучает движение в геометрическом смысле (линии по которым движется частица), не интересуясь причинами движения (взаимодействиями между телами)

Чтобы задать движение мы должны выбрать систему отсчета, выберем начало отсчета, и зададим декартову систему координат x,y,z:


r = xi	+ yj	+ zk

Если частица движется, то радиус вектор меняется с течением времени. Зависимость r = r(t) называется законом движения, а кривая, которую описывает частица - называется траекторией.

Рис. 1: Радиус-вектор в декартовой системе координат.(i,j,k - базисные векторы.)

Введем кинематические характеристики: скорость v и ускорение w

	dr	˙		d2r	¨	˙
v =		= r;	w =		= r;	w = v
	dt			dt2

Часто более удобны бывают криволинейные системы координат (например сферические или цилиндрические).

Декартовы координаты выражаются через криволинейные:

x = x(q); y = y(q); z = z(q)

q = qα, α = 1, 2, 3

Криволинейные координаты (изменяются вдоль некоторых кривых, называемых координатными линиями).

Способ задания координатных линий q1, q2, q3 . Зададим координатные поверхности, на которых каждая из криволинейных координат постоянная:

Рис. 2: Криволинейная система координат.

Рассмотрим производные: ∂r , которые направлены

∂qα

по касательным к координатным линиям в точке А. По этим касательным можем задать базис. Очевидно что базисные вектора сонаправлены с производными:

dr	eα;	\|eα\| = 1.
dqα

Эти три вектора e не обязательно ортогональны друг

другу.

Условие ортогональности:

eαeβ = 0; α = β, β = 1, 2, 3

∂r ∂r

= 0;

∂r

∂x

∂y

∂z

∂qα ∂qβ

∂qα

∂x

∂y

∂z

= 0.

(1)

∂qα ∂qβ

Выражения (1) задают 3 условия ортогональности в 3-мерном пространстве и одно - на плоскости.

Два сонаправленных вектора сонаправлены dr = dqα

Hαeα, где Hα > 0 - коэффициенты Ламе. Поскольку |eα| = 1

получаем:

= Hα,

dqα

Hα(q1, q2, q3) =

∂qα

∂x

∂y

∂z

Найдем скорость v в криволинейной системе координат. Имеем:

v = dr =

∂r q˙1

+ ∂r q˙2

+ ∂r q˙3

∂r q˙α. (2)

∂q1

∂q2

∂q3

α=1

∂qα

Воспользуемся:

∂r

= Hαeα Тогда:

∂qα

Hαq˙αeα, vα = Hαq˙α,

v =

vαeα.

Если криволинейный базис ортогонален, и ортонормирован, то тогда можно найти квадрат скорости по формуле:


v2	= Hα2 qα2 .

qα(x, y, z) = cα, cα = const

Тогда пересечение двух координатных поверхностей

wα

даст координатную линию вдоль которой меняется третья

координата. Например, пересечение координатных поверхно-

стей q1 = c1 и q2 = c2 даст

координатную

линию q3.

si-Group

Найдем компоненты ускорения:

˙		1			∂r
= wαeα, w = v, eα =							;
= wαeα, w = v, eα =			Hα ∂qα				;
				1			˙	∂r
	wα =					v ·
	wα =				Hα	v ·		∂qα

Рассмотрим производную:

v ∂qα

= v˙ ∂qα + v dt ∂qα .

∂r

Тогда

v ∂qα

− v dt

∂qα .

wα = Hα

∂r

Из (2) получаем:

∂v

∂r

∂q˙α

∂qα

Дифференцируя

∂r

по времени, а v по qα, получаем:

dt ∂qα

∂qα

∂qα q˙1 + ∂q2∂qα q˙1

+ ∂q3∂qα q˙1,

= ∂q1

d ∂r

∂2r

∂v

∂ r

∂qα =

∂q1∂qα q˙1

+ ∂q2∂qα q˙1 +

∂q3∂qα q˙1.

∂v

dt dqα

∂qα

Поскольку : v

∂v

∂

и v

∂v

∂ v2

, v2

= v2

∂qα

∂qα 2

∂q˙α 2

Получаем:

∂q˙α

−

wα = Hα

∂qα

(3)

∂

Выражение (3) задает компоненты ускорения в криволинейной системе координат.

Динамика материальной точки.

Динамика описывает движение с физической точки зрения, т.е. в процессе взаимодействия между телами.

Мерой взаимодействия между телами является сила. Дадим определение.

Сила - это векторная величина, которая является мерой взаимодействия между телами, и являющаяся причиной их ускорения.

Свойства силы:

1)сила зависит от точки приложения к телу. В случаем материальной точки сила прикладывается к центру масс тела, моделью которого является материальная точка.

2)справедлив принцип суперпозиций сил: если на тело действуют силы -


F1	, F2	, . . . FN ,

то их равнодействующая равна их сумме:

	N
	i	(4)
F	= Fi	(4)
	=1

Динамика материальной точки основывается на 3-х законах Ньютона. Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчета (ИСО): существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, в которых тело двигается равномерно и прямолинейно ( т.е. по инерции), если оно не взаимодействует с другими телами, или эти взаимодействия взаимно скомпенсированы. Другими словами, в ИСО тело будет двигаться по инерции, если на него не действуют силы или равнодействующая сил равна нулю.

Сила может зависеть от времени t, координат r и ско-

рости v, но не зависит от ускорения w			(r, v, t)
	. F	= F

Второй закон Ньютона утверждает, что ускорение получаемое телом в результате действия силы пропорциональ-

но этой силе:
w =	1		(5)
	m	F ,

где m - инертная масса тела - мера сопротивления ускорению. Инертная масса показывает как быстро тело будет наращивать скорость, ускоряться под действием силы.

Втакой формулировке второго закона Ньютона необходимо сделать оговорку.

А именно, данном случае считаем что масса не зависит от времени: m = const.

Вслучае если это не выполняется ( масса зависит от времени), вместо (5) необходимо писать:

	d		(6)
	dt	(mv) = F	(6)
		p = mv
где р - импульс частицы.
В случае m = const
В случае m = const		в (6) принимает форму mw = F ,

которая совпадает с (5)

Третий закон Ньютона утверждает, что силы взаимодействующие между двумя частицами равным по величине и противоположны по направлению:

= −

Fik Fki,

ik - сила действующая на частицу со стороны где F i

частицы , а ki - сила, действующая на частицу k со k F

стороны частицы i.

Ksi-Group

Система материальных точек. Силы в механике.

Системой материальных точек называется совокупность тел, каждое из которых является материальной точкой, и взаимодействие между которыми существенно для решения рассматриваемой задачи. Понятие системы, как и понятие самой материальной точки, вводим по отношению к какой то определенной задаче.

Сточки зрения механики различия между частицей

иматериальной точкой нет. Поэтому далее термины частица

иматериальная точка считаем синонимами.

Каждая частица системы описывается с помощью законов Ньютона. В частности второй закон Ньютона:

= miwi Fi

где i - масса i - той частицы системы, i - ее ускорение, i m w F

- сила, действующая на i - ю частицу.

		, . . . , rN , v1, . . . , vN , t),
Fi = Fi(r1

где ri, vi - радиус-векторы и скорости частиц.

Кроме частиц системы есть другие частицы, которые мы не включили в систему. И иногда эти частицы влияют существенным образом на движение частиц системы. То есть мы делим тела на те которые входят в систему (внутренние тела), и которые не входят (внешние тела). Рассмотрение динамики системы материальных точек основано на приближении внешних сил. Приближение внешних сил позволяет нам сформулировать достаточно адекватные модели, которые позволяют описывать движение частиц системы при взаимодействии с внешними телами. Это приближение состоит

вследующем:

1.Мы выделили систему мат.точек и внешние тела.

2.Мы задаем силы, которые действуют внутри системы, т.е. силы, действующие между частицами системы, считаются известными.

3.Воздействием частиц системы на внешние тела мы пренебрегаем. (это воздействие мало).

4.Действие внешних тел на материальные точки системы, считается заданными (известным).

Пример:

Рассмотрим задачу о взаимном движении системы Земля - Луна. Приближение внешних сил в этом случае заключается в следующем:

1.Считаем Луну, Землю и Солнце материальными точками. Земля и Луна образуют систему материальных точек, а Солнце является внешним телом. Действием других планет солнечной системы на систему материальных точек ( Земля - Солнце) пренебрегаем.

2.Силы, действующие внутри системы - это силы гравитации, описываемые законом всемирного тяготения Ньютона .

3.Воздействие Земли и Луны н движения Солнца мало, поэтому им пренебрегаем.

4.Действие Солнца на систему Земля - Луна известно - это все тот же закон всемирного тяготения Ньютона.

Далее будем рассматривать динамику системы материальных точек в этом приближении, и с точки зрения приближения внешних сил. В этом приближении, когда мы вы-

деляем систему материальных точек, мы разделяем силы на

e			in	):
2 класса (внешние Fi	и внутренние Fi			):
		in	e
	Fi = Fi		+ Fi

Мы пока не рассматриваем третий тип сил - силу ре-

акции связи.

Связи - это дополнительные тела, которые ограничивают движение частиц системы. Силы реакции связи - это силы, с помощью которых связи оказывают воздействие на частицы системы.

Системы в которых отсутствуют связи - называ-

ют свободными механическими системами. Если же связи

Ksi-Group

в системе имеются, то такие системы называют связными системами, или системами со связями. Системы со связями будут рассматриваться нами в дальнейшем.

Внешние силы ie принято делить на 2 класса - по-

тенциальные и непотенциальные силы. Потенциальную силу можно представить в виде:

e	= −	∂Uie(ri, t)		e	(7)
Fi		∂ri	= − iUi

-где Uie(ri, t) - внешняя потенциальная энергия частицы. Потенциальные силы не зависят от скорости частицы.

Примеры потенциальных сил:

1. Сила тяжести : ig = mig. Надо найти такую функ-

цию Uie, градиент которой, со знаком минус, будет равен mig. Очевидно эта функция имеет вид:

Uie = −migri

2. Закон Гука. Для одномерной пружинки он имел вид

= −k(x − x0), где x0 - положение равновесия пружинки.

Тогда F

−

, откуда U

k(x − x0)

В более общем случае, имеем квазиупругую силу:

упр

∂Uie

(ri ri0) ,

упр

−ki(ri − rio),

−

− ∂ri

где ki - квазиупругие коэффициенты, ri0 - положения равновесия частиц системы.

Отметим, что при нахождении функций Uie(ri, t) мы пренебрегаем аддитивными константами интегрирования, поскольку потенциальная энергия определена с точностью до постоянной: Uie Uie + const . Это является следствием определения потенциальных сил (7) так, что при дифференцировании аддитивной постоянной значение силы не изменяется.

Если силы не зависят от времени, то такие силы называют стационарными. Сила тяжести и квазиупругая сила являются стационарными. В общем случае внешние поля не стационарны, они изменяются во времени, так как внешние тела движутся. Стационарными также являются внешние поля, задаваемые стационарной силой. В таких полях

e	e	e	e
Ui	= Ui (r)	и Fi	= Fi (ri) зависят только от радиус-вектора
ri	частицы. Непотенциальные силы все те, которые нельзя
			e		∂vie(ri, t)
представить в виде: Fi				= −			∂ri			эти силы зависят от
скорости.
	Пример: Сила Лоренца:
		e				1
		Fi	= ei(Ei	(ri, t) +			c	[vi	× H(ri, t)])

ei - заряд i-ой частицы, которая движется в электромагнит-


ном поле E(ri, t) ; H(ri, t).
Магнитная часть силы Лоренца:
	H	ei
	Fi	=	c	[vi × H(ri, t)]

- пример гироскопической силы. Особенности этой силы:

1) пропорциональна скорости частицы. (линейна по

		vi.
скорости): F	e
			e	vi.
2) эта сила перпендикулярна этой скорости: Fi

Непотенциальными являются также диссипативные силы - силы, которые приводят к убыли полной механической энергии системы в процессе движения этой системы.

Отметим, что энергия бывает не только механической, но и другой, например можно говорить об энергии электромагнитного поля, и.т.д. Если имеются диссипативные силы, то механическая энергия переходит, например, в энергию молекулярно кинетического движения.

Частным случаем диссипативных сил является сила трения. Для однородных сред эту силу можно представить в

виде:			vi
	d	= −Fi	vi		(8)
	Fi	= −Fi	(vi)	vi	(8)

Рис. 3: Сила сухого трения.

где vi -скорость i-ой частицы, относительно среды, в

которой происходит	диссипация, и vi = vi		, Fi =	\|	d		\|	.
					F
	d	\| \|				i
Очевидно, что Fi		↑↓ vi. Рассмотрим движение, когда

vi относительно малы. Тогда мы можем разложить функцию

Fi :		vi=0 vi + . . .
	dFi
Fi(vi) = Fi(0) − dvi
Возможны два принципиально			случая:
	разные

1) Fi(0) κi = 0; κi ≥ 0. Тогда следующим членом разложения можно пренебречь.

Физический смысл этой полезной математической операции состоит в следующем:

Частицы всегда взаимодействуют попарно. Значит в

двойную сумму входит как ik, так и ik. Но в силу III За-

F F

кона Ньютона эти силы взаимно компенсируют друг друга.

Рис. 4: Попарное взаимодействие.

Итак мы получили важный результат: главный вектор внутренних сил (т.е. равнодействующая всех внутренних сил, действующих на систему) равен нулю:

		N			N
in			in
Fi	=		Fi	=	Fik = 0
		i=0			ik=1

Для этого случая:	vi
d
Fi	= −κi
		vi

Это сила сухого трения. Она возникает, например, при скольжении тела по поверхности.

2) Fi(0) = 0. Тогда		vi=0 ,
Fi = αivi; αi = dvi
	dFi


В результате чего

Общий вид сил взаимодействия между материальными точками определяется общими свойствами пространства: однородностью и изотропностью.

Рис. 5: Частицы.

Fi = −αivi

Получили силу вязкого сопротивления среды, αi -

Прежде всего отметим, что сила взаимодействия меж-

коэффициенты вязкости.

ду частицами может зависеть также от времени. Это проис-

Отметим еще раз, что это все справедливо в том слу-

ходит, если что-то меняется внутри частицы. Но мы дого-

чае, когда скорости частиц, относительно среды малы. В об-

ворились что материальные точки это геометрические точ-

щем случае нужно использовать формулу (8).

ки наделенные лишь скалярными характеристиками:массой

Перейдем теперь к рассмотрению внутренних сил. Fiin

и зарядом. Следовательно, изменения внутри частиц долж-

Сила действующую на частицу системы i со стороны

ны приводить к изменению во времени их массы и заряда.

N частиц, поэтому равнодейству-

Но последнее мы условились считать постоянным - не изме-

k - Fik. Система состоит из

ющая будет являться суммой от 1 до N ;

няющимся ни в пространстве, ни во времени. Но если мас-

са и заряд не изменяются во времени, то это значит, что и

внутренние характеристики частиц не изменяются во време-

Fik

ни, любо эти изменения никак не сказываются на массе и

k=1

заряде частиц. В любом случае, все это означает, что силы

При суммировании случай k = i не учитывается,

взаимодействия между частицами не зависят от времени

= 0

и, в силу однородности времени (эквивалентности всех мо-

Fii

ментов времени), это свойство сил сохраняется на протяже-

Что означает отсутствие воздействия частицы самой

нии всего времени взаимодействия между частицами. Кроме

на себя ( отсутствие самодействия).

того, можно полагать ( это доказывается в релятивистской

Найдем силу, действующую на всю систему - главный

механике), что для движущихся частиц, поправки в силах

вектор внутренних сил:

взаимодействия за счет скорости движения частиц будут по-

F in =

рядка (v/c)2 1 и ими можно пренебречь при малых скоро-

Fiin.

стях v. Т.е. силы взаимодействия не зависят также и от

скоростей частиц. В результате получаем, что силы взаимо-

действия Fik между частицами являются функциями только

Главный вектор внутренних сил.

координат:

Fik =

Fik(ri, rk)

F in = ik=1 Fik =

Fik + ik

Остаются вопросы:

(Индексы суммирования немые - их можно обозначать

1. Каким образом силы взаимодействия Fik зависят от

радиус-векторов частиц ri и rk?

как угодно. Переобозначим i на k и наоборот k на i: i ↔ k)

2. Каково направление векторов Fik в пространстве?

Fki =

Ответ на первый вопрос получим используя однознач-

ность пространства (равноправность всех точек и областей

Fik + ki

пространства), на второй - изотропность пространства (рав-

(Воспользуемся тем, что результат суммирования не

ноправие всех направлений).

Возьмем обе частицы, и сдвинем их на один и тот

зависит от порядка слагаемых в сумме:

. . . = . . . и при-

же вектор a

в пространстве. Изменятся координаты ча-

стиц(сдвинутся на один и тот же вектор a, а силы останутся

меним третий Закон Ньютона: Fik − Fki )

неизменными, так как пространство однородно. Т.е. перенос

Ksi-Group

системы 2-х частиц как целого в другую область простран-

(Fik − Fik) = 0

ства

не приведет к изменению силы взаимодействия между

частицами системы:

Fik(ri, rk) = Fik(ri + a, rk + a)

это равенство для любых векторов a может выпол-

няться только в случае, если ik зависит от i и k как от

F r r

= − : = ( )

разности rik ri rk Fik Fik rik . Вектор rik называется относительным радиус-вектором частиц.

В силу изотропности пространства, все направления эквивалентны. Если же в нем есть какое-то выделенное направление - прямая, соединяющая две материальные точкиri и rk, то сила взаимодействия должна быть направлена

вдоль вектора i ik ik

. F r .


C

Рис. 6: Вектор rik
Самый общий вид взаимодействия сил:
			(9)
	Fik = fik(rik)nik
rik
где rik = \|rik\|; nik =		- единичный вектор вдоль оси rik, а
	rik
fik(rik) - силовая функция.

Силы задаваемые выражением (9) являются центральными. Их свойства:

1) центральные силы направлены вдоль прямой, соединяющей частицы;

2)их величина |Fik| = fik(rik) зависит только от взаи-

модействия между частицами.

Поскольку:

rik = −rki,

|rki| = |rik|,

То fik(rik) = fki(rki).

Действительно:

Fik = fik(rik) rik

= −fik(rik) rki

fik(rik) =

rik

rki

rik

= fki(rki)

Fki =

−

Fik =

−

fik(rik)

rik

Потенциальная энергия взаимодействия

i-ой и k-ой ча-

стицы.

dUik

fik = −

drik

Uik(rik) = Uki(rki), функция расстояния зависящая только от расстояния между частицами rik.

Пример:

Кулоновская сила вполне удовлетворяет структуре (9): Даны заряды eiek Тогда сила притяжения или отталкивания между ними будет равна:


	eiek rik
Fik =	rik2	rik
Силовая функция: fik =	eiek
	rik2
Потенциальная энергия: Uik =			eiek
			rik
Все силы удовлетворяющие равенству (9) называются

центральными.

Центральные силы - это силы, величина которых за-

висит только от взаимного расстояния между частицами, а
направление совпадает с направлением прямой проходящей
si-Group

через эти частицы.

С центральными силами связаны поля. Центральным полем будем называть такое поле, в котором потенциальная энергия взаимодействия зависит только от взаимного расстояния между этими частицами. Преобразуем частицу Uik

		dUik rik
Fik = −			drik			rik
Имеем:

rik = ri − rk = xiki					+ yikj		+ zikk,
	xik = xi				xk,
yik = yi				−yk,
				−	zk,
zik = zi				−	zk,
				−

∂rik

∂

∂rik

∂xik

i +

∂yik

∂zik

k rik,

rik =

xik2 + yik2 + zik2

∂xik rik =

∂xik xik2 + yik2

+ zik2 =

∂

2xik

xik

rik

xik2 + yik2 + zik2

Итак получили:

∂

rik =

xik

;

∂

rik =

yik

;

∂xik

rik

∂yik

rik

Тогда:

rik

xiki

+ yikj + zikk

rik

∂rik

rik

= nik

∂rik

rik

Продолжим теперь выражение для Fik :

dUik rik

dUik ∂rik

∂Uik

Fik =

= −

drik

rik

drik

∂rik

Fik - есть градиент от потенциальной энергии взаимо-

действия:

∂Uik(rik)

Fik = −

∂rik

Сила взаимодействия является потенциальной.

Уравнения движения системы материальных точек. Интегралы движения.

Рассмотрим систему состоящую из N материальных точек. Уравнение движения i-ой материальной точки:

	˙	˙
mir¨i = Fi(r1	, . . . , rN , r1	, . . . , rN )

Это система дифференциальных уравнений 2-го порядка. N - векторных уравнений и, т.к. ri = (xi, yi, zi), то получается 3N уравнений относительно компонент.

Для однозначного решения необходимо 3N × 2 = 6N начальных условий (Задача Коши).

Решение этого дифференциального уравнения:

ri = ri(t, c1, c2, . . . , c6N )

Где c1, c2, . . . , c6N - определяется из начальных усло-

вий:

t = t0ri(t0) = ri0

˙ = ˙

ri ri0

(Задали 6N начальных условий). Из начальных условий нужно найти константы cj . Имеем:

r˙i = r˙i(t, c1	, c2	, . . . , c6N )
ri = ri(t, c1	, c2	, . . . , c6N )

Система из 6N алгебраических уравнений относительно констант c. Решение:

˙		˙
cj = fi(t0, r10, . . . , rN0, r10	, . . . , rN0)
Тогда закон движения:
˙		˙
ri = ri(t, t0, r10, . . . , rN0, r10		. . . , rN0)

Принцип причинности: если задано состояние в начальный момент времени то будет известно состояние в любой момент времени. (в силу теоремы единственности решения задачи Кош)и.

Первый интеграл движения - это функция, которая зависит от всех координат, всех скоростей частиц системы и времени, которая не изменяется в процессе движения механической системы.

˙	˙
f(r1, . . . , rN , r1	. . . , rN , t) = const

Сколько вообще у системы может существовать интегралов движения? Возьмем общее решение в момент t:

ri = ri(t, c1, c2, . . . , c6N )

˙ = ˙ ( )

ri ri t, c1, c2, . . . , c6N

Решая это уравнение относительно c получим похожее решение.

˙	˙
cj = fj (t0, r1, . . . , rN , r1	, . . . , rN ), j = 1, . . . , 6N

Получили 6N интегралов движения.

Интегралы движения для каждой конкретной системы свои. Часто бывает, что одни и те же интегралы движения будут возникать в разных системах, если мы эти системы будем ставить в одинаковые физические условия. Например возьмем замкнутые системы. Мы сразу же получим, что в этих системах будут сохранятся импульс, момент импульса и энергия.

Законы изменения и сохранения механического импульса системы материальных точек: (m = const)

˙ = mivi Fi

Импульс материальной точки. pi = mivi

˙ = ; pi Fi

(Выражение вида A = B - будем называть законом измене-

ния величины А.)

Проссумируем по i:

pi;

Fi;

= F ,

i=1

где P - полный импульс системы, а F - главный вектор всех

сил.

Рассмотрим:

Fi = Fi + Fi

т.к. Fi

= 0

= F

где F

= F

(t, r, . . . , rN , r1, . . . , rN )

Закон изменения полного импульса механической си-

стемы:

= F

P = pi =

miri

= 0

Если F

тогда pi

= 0 P = const - закон сохра-

нения полного механического импульса.

= const

Pz = const

Есть ситуации когда

не весь главный вектор внешних

сил равен константе.
e	= 0 px = const
Например: Fx
Интегралом движения называется такая функция f,
что	˙	˙

	f(r1, . . . , rN , r1	. . . , rN , t) = const

В данном случае f = Pα, α = 1, 2, 3, и закон сохранения импульса является общим случаем интеграла движения.

e	= 0 В случае за-
1) Случай, когда P сохраняется: F

мкнутой системы (по определению на которую не действуют

			e	e	=	N e
внешние силы), т.е. Fi				= 0 Fi	=	i Fi = 0. В замкнутых
системах	полный механический импульс сохраняется.
системах	e						i
2) Если F			= 0, но силы скомпенсированы. (					Fi = 0)
Пример:		i
Электронейтральная система состоит из N зарядов, и

находится в постоянном электрическом поле. Найдем силу


действующую на i-ую частицу. E = const
Fie = eiE F e = i	Fie = E · i	ei

Так как система электронейтральна, то i ei = 0

e = 0

F .

d
	(mivi)	=	Fi;
dt	Ksi	-	Group

Законы изменения и сохранения момента импульса механической системы.

Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек. Второй закон Ньютона (закон изменения импульса материальной точки):

˙		(10)
pi = Fi
	˙	(11)
где pi = miri

Умножим (10) векторно слева на r и воспользуемся (11). Имеем:


[ri × Fi] = Ni - момент сил, действующих на i - ую
частицу;			d
˙			d		˙	˙
[ri × pi	] =			[ri × pi]	= [ri × pi] + [ri	× pi].
[ri × pi	] =	dt		[ri × pi]	= [ri × pi] + [ri	× pi].
Поскольку			˙		˙
			˙		˙
			[ri × pi] = mi[ri × ri] = 0,
а [ri × pi] =						i- ой частицы, то
а [ri × pi] =				Li - момент импульса		i- ой частицы, то
получаем				˙
				˙		(12)
				Li = Ni.		(12)

Просуммируем обе части выражения (12) и обозначим

= = [ × ]

L Li ri pi

-момент импульса системы материальных точек (полный момент импульса системы),

= = [ × ]

N Ni ri Fi

-момент сил, действующих на систему (полный момент сил).

Тогда получаем:		˙
		˙

	L = N.
					e	in	и подставим это
Воспользуемся тем, что Fi					= Fi	+Fi	и подставим это
выражение в полный момент сил. Имеем
		e			in
N = N				+ N
Ne = i			[ri × Fie]
- момент внешних сил,
Nin = i				[ri × Fie]
- момент внутренних сил.							in	. Посколь-
- момент внутренних сил.				Преобразуем N				. Посколь-
ку
			N
in
Fi		=			Fik

k=1

-сила, с которой действует k -ая частица на i-ую, то

in = [ × e] = [ × ] =

N ri Fi ri Fik

	i	ik
= 2 ik [ri × Fik] +		ik [ri × Fik] =
1

(индексы немые, так что их можно переназначать как удобно; [i ↔ k])

	= 2 ik [ri × Fik] +					ki [rk × Fki] =
		1
(порядок	суммирования нам не важен						ik	=	ki	.)
(порядок	=		1	ik			ik		ki
	=		2	ik	[ri × Fik] + [rk × Fki]				=

- центральные, т.е. направлены вдоль

Т.к. силы Fik

одной прямой между i - ой и k - ой частицей то Fik rik, где

(ri − rk) = rik. Тогда

[rik × Fik

] = 0

Отсюда

= N

- момент внеш-

- закон изменения момента импульса, где N

них сил; r

и r - совокупность всех радиус-векторов и скоро-

стей частиц системы.

= const - закон

В случае когда N

= 0, L

= 0 L

сохранения момента импульса. В компонентах:

Lx = const

Ly = const

Lz = const

В частном случае не обязательно

сохраняться всем 3-м ком-

понентам L.

= 0, то только Lx = const (сохра-

Например, если Nx

няется только Lx).

Если система замкнутая т.е Fi = 0, то полный момент

импульса сохраняется:

Ne = i

[ri × Fie] = 0 L = const

Еще раз: замкнутых системах сохраняется полный мо-

= 0. В данном

мент импульса. Система не замкнута, если F

случае все моменты компенсируют друг друга, если Fi ri.

Тогда

= [ri

× Fi ] = 0

Тогда N

= 0 L = const. Пример: система планет в поле

звезды.

Воспользовавшись третьим законом Ньютона (Fik = −Fki) получаем:

Законы изменения и сохранения механической энергии.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из N частиц. Второй закон Ньютона:

mivi

= Fi

Домножим обе части этого выражения на vi. Имеем:

˙ dvi

d mivi2

mivi

Обозначим

Ti =

mivi2

- кинетическая энергия частицы.

- мощность сил, действующих на i-ую частицу.

Firi = Wi

Поскольку

Fidri

ri =

Wi =

где ðAi =

- элементарная работа сил, действующая

Fidri

на i-ую частицу.(когда мы пишем df подразумеваем, что df является полным дифференциалом, но элементарная работа не обязана быть полным дифференциалом, поэтому ðf.

Wi − ðdtAi

Таким образом:

	˙

	Ti = Wi
Переходим к системе частиц. Суммируем по всем ча-
стицам системы. Имеем:
N		N		mivi
i					− ;
i			2
T =	Ti =	i=1	2
=1		i=1
	N			N
	i				˙
W =	Wi =				˙
W =	Wi =			Firi
	=1		i=1

- мощность всех сил действующих на систему материальных точек.

		W =	N	ðAi	=	ðA
		W =	N		=
			i
			=1	dt dt
			=1
где ðA =		i ðAi - Элементарная работа всех сил, действую-
щих на	систему.
щих на

Если W = 0, то кинетическая энергия T будет сохраняться T = const. Это закон сохранения кинетической энергии. В частности T = const, когда система замкнута и частицы системы не взаимодействуют друг с другом. С учетом того, что все силы делятся на внешние и внутренние:

		e		in
Fi = Fi				+ Fi
W = W e + W in
				N
		e		i	e ˙
W			=		Fi ri
				=1
				N
				i
w	in	=		in ˙
w		=		Fi ri
				=1

Преобразуем: in = ;

Fi k Fik

				˙	1		˙		˙
	in			˙	1		˙		˙
W		=	Fikri =		2	Fikrik +		Fikrik		=
			ik			ik		ik

Применим известный мат. способ:

1)[i k], 2)

3)Fik = −Fki,

кроме того:4)r˙i

r˙k

(ri

rk) =

rik;

−

˙ ˙

Fik(ri − rk) =

Fikrik =

(так как силы Fik центральные и потенциальные):

= −

∂Uik(rik)

Fik

∂r

Ksi-

Group

= − 2	ik	∂rik	dt			= − dt		2	ik	Uik
1		∂Uik	drik				d	1
Обозначим Uin =				1		Uik - полная потенциальная
Обозначим Uin =			2			Uik - полная потенциальная
энергия системы.			2		ik
энергия системы.

Воспользуемся тем, что полная производная по времени от потенциальной энергии.

	d	Uik =	∂Uik drik

dt			∂rik dt

Смысл множителя 1/2			: если имеется 2 частицы i и k,

то Uik = Uki. Тогда энергия взаимодействия входит в сумму дважды, а 1/2 снимает удвоение.

Итак,

= W e + W in

- Закон изменения кинетиче-

ской энергии, где

mivi2

T =

W e = i

Fier˙i;

Win = −

Uin

Uin =

Uik

Пусть Ein = T + Uin -полная внутренняя механиче-

ская энергия. Тогда

dEin

-Закон изменения полной внутренней энергии.

= W e

Поскольку

W edt = i

Fiedri = ðAe

то dEin = ðAe -Полная внутренняя работа изменяется за счет работу внешних сил. (По сути это первый закон термодинамики без учета теплоты. Теплота не механическая категория)

Из закона изменения полной внутренней энергии очень просто получить закон сохранения полной внутренней энергии, если мощность внешних сил равна нулю (W e = 0) То:

	dEin		= 0 E	in	= const;
		dt
e	1) Это происходит в замкнутых системах, где:
	= 0 -внешние силы равны нулю.
Fi						˙
					e
	2)Внешние силы - гироскопические: Fi					ri. Напри-

мер магнитная часть силы Лоренца.

Полная внутренняя энергия зависит от скоростей частицы, координат, и времени. Мы получили, что какая-то функция от координат, скорости и времени не изменяется в процессе движения. Это частный случай интеграла движения. Рассмотрим выражение для мощности внешних сил. Запишем:

−

∂Uie(ri, t)

∂ri

fi(ri, ri, t)

Тогда:

Непотенциальные

Потенциальные

! "

= − i

∂Uie

r˙i + i

fir˙i

∂ri

Здесь

W Неп. = i

fir˙i

- мощность непотенциальных сил.

Когда мы берем полную производную по времени считаем, что ri зависит от времени. Поэтому

d e

∂Uie

dri

∂Uie

(ri, t) =

∂ri

W e = −

Uie(ri, t) +

∂

Uie(ri, t) + W Неп.

∂t

+ W Неп.

Подставим	dEin	= W e в закон изменения внутрен-
	dt

ней энергии. Величина E = Ein + Ue - полная механическая энергия системы. Тогда получаем

dE = ∂Ue dt ∂t

- закон изменения полной механической энергии. Рассмотрим теперь диссипативные силы. Диссипатив-

ные силы не потенциальные (приводят к убыли полной механической энергии). Чтобы убедиться в последнем надо рассмотреть случай, когда:

Движение центра масс механической системы.

Рассмотрим систему состоящую из N частиц. Полный импульс такой системы равен:

	N
	i
P =	˙
P =	miri
	=1

Умножим и разделим это выражение на полную массу механической системы:

M = mi

∂Ue

= 0,

i=1

Имеем:

∂t

fi = −Fi(vi)

, Fi(vi) > 0, vi > 0

P = M

miri

M = M

i miri

i mi

Неп.

= − Fi(vi)vi < 0

Определим радиус вектор центра масс:

Видим, что мощность диссипативных сил отрицатель-

на, поэтому

miri

dEdt = W Неп. < 0

Rc =

Из этого выражения следует, что убывает с течени-

Тогда

ем времени. Следовательно диссипативные силы приводят к

убыли полной механической энергии, что и требовалось до-

P = MRc

казать. В случае, когда (вязкая диссипативная среда)

Скорость центра масс:

Fi = αivi.

Если мы подставим это выражение в W Неп., получим:

Rc = vc

Рассмотрим закон изменения полного импульса:

W Неп. =

αivi2

= F

Введем диссипативную функцию Релея

Подставим сюда предыдущее выражение:

D =

αivi2

i Она похожа на кинетическую энергию, если заменить

MRc

= F

mi на αi и наоборот:

Движение центра масс удовлетворяет второму закону

зависит от радиус-векторов ri и скоростей

mi αi

Ньютона. Сила F

W Неп. > 0 Закон сохранения пол-

ri частиц, а так же от времени:

Видим, что D = −

ной механической энергии.

= F

(r1, . . . , rN , r1, . . . , rN , t)

Неп.

Радиус-векторы и скорости частиц изменяются под

= −

+ W

= 0

= 0 E = const

действием внутренних сил. Т.е. внутренние силы также ока-

При каком процессе может выполнятся вот такое ра-

зывают влияние на движение центра масс ( через аргументы

венство? Например внешние поля стационарны:

= 0. Отсюда можно полу-

функции F

). Если F

= 0 Rc

∂Ue

чить закон движения центра масс:

= 0,

W Неп. = 0

= v0

= const

Если силы гироскопические.

А когда каждое слагаемое не равно нулю, а сумма рав-

Rc = v0t + R0

= 0, то

на нулю?

Т.е., если главный вектор внешних сил F

центр масс движется равномерно и прямолинейно. Это про-

Допустим у нас непотенциальные - это диссипативные

исходит, например, когда на систему не действуют внешние

силы. Диссипативные силы приводят к убыли полной меха-

= 0;

нической энергии. Тем не менее полная энергия сохраняется.

силы.(система замкнута), F

Внешние поля должны накачивать энергию в систему!

= 0

Механические системы в которых E = const называ-

ются консервативными системами.

Выражение

можно переписать в виде:

(13)

Rc − v0t = R0.

Здесь Rc - линейная функция от радиусов векторов,

а R0 -начальная координата центра масс. Получили что

некоторая функция от радиусов векторов и времени не из-

меняется. Следовательно мы получили интеграл движения.

Также интегралы движения называются кинематическими.

Кинематические интегралы движения, связаны с движением

центра масс.

Если

система

замкнута то

центр масс

движется

Ksi-Group

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20256.13 Mб1ТЕПЛОПЕРЕДАЧА изменённый вариант (вариант WORD...docx
#
15.11.2019447.49 Кб4Теплотехника-к.р.1,2.doc
#
23.11.20192.84 Mб64Теплофизика для магистров.doc
#
21.04.2019541.24 Кб15Теплофизика металлургически процессов (Денисов)....docx
#
22.02.2015347.61 Кб13теплофизика.docx
#
23.02.20151.17 Mб27Тер.мех. - методичка.pdf
#
22.02.201544.54 Кб25термех.doc
#
22.02.201513.69 Кб48Термех.docx
#
26.04.2019396.7 Кб33ТЕРМЕХ.docx
#
27.09.2019759.89 Кб9Термех.docx
#
13.03.2016822.92 Кб51термех.pdf