Теоретическая механика, решение задач

радиусаресфгладкойпощейся

тяжестиполеоднородномв

)

а

дек в

системе

координат

системе сферической в б

)

а .

;

)

6.6.

Материальная

-

сиполеоднородномвсядвиже

поверхности

-

лы

внутреннейпо

распологоризонтально

тяжестиЛагранжа

точкиположенияфункциикаксвязейреакциисилы

.

множители неопределенные Найти точка радиуса линдра ц женного

координ ртовой: R

.

= 2aλ = −3mg cosϕ + const .

Ответ

r

6.7.

потяжестисилыполеоднородномвдвижетсяТочка

,

α

радиусацилиндругладкому

угобразуеткоторогоось

с

вертикалью

силуНайти

пфункциюкаксвязейреакции

оже

.

.

ол

-

точкиния

:

как

z = ae

−γ t .

ϕ + const .

Ответ

-

6.8.

7.точка движется

тяполе

плоскостиойМатериальнаягладкой

ведвижущейсяоднородном

по жести

сферы гладкой неподвижной

адиуса

копопересечениюгоризонтнаправлении

силытикальномдвижениязаконНайти

связей реакции

,

времени функции

.

ЛагранжаМетод

40

,

изсостоящую

N

томатериальных

-

,

системуРассмотрим

.

k

киедвиженачек

наложеноторой

голономныхштук

огоачоднозДля

ния опис

просвязейсистемычастицположения

н

n = 3N − k

-

н

а

переменнезависимых

-

зеобходимостранстве

дать

qα :

ных

q1

,Kqn .

Числоi

n

называется1 n

свободыстепенейчислом

i

механической2)

системыq

.

Потребуем

,

чтобы

координаты

qα (α = 1,Kn)

:

условиямследующимудовлетворяли

R

1)

-

ri

должны

-

системычастицвекторырадиус

однознач

через выражаться образом ным

(7.1)

R

R

r

= r (q ,Kq , t) ;

α

должны

координаты

ет

тождественнотановкеодсппри

удовлетворять

связейуравнениям

опнодолж

-

, . .

(7.1)

(6.1)

.

∂qα

лучаться тождество dt ∂qα

Переменные

qα

,

условиямэтимщиеудовлетворяю

,

-

называ

.

инатамиордкообобщеннымиются

dt

-

В обобщенных координатах движение∂r

описыва системы

:

Лагранжауравненийпомощьюсется

α

d

∂L −

∂L = Q d

,

(7.2)

&

α

L = L(q, q, t) –

, qα =

dqα

–

&

&

диссипа

системыобобщенныеЛагранжафункцияскоростигдеобобщенные

R

d

R

i

d

, Qα =

∑Fi

∂q

–

-

i

41

( F d

– «

»

).

,

силытивные

i

обычные

ы

случаеВ

когда

F α = −α v

,

пативная диссипативные обобщенная

сила Q d

R

R

i

i

α

т мож

быть особе

й величин выражена ност

через

диссипативную

функцию

е

∂D

N

R

&

d

= −

, D =

∑

αi ri

,

&

как

qα

-

D :Qα

ri

∂qα

2

где

функция

&

получает

i=1

&

(7.1). От-

времениподифференцированияпутемся

зависитневидеговыражения

,

уравнениечто

ковариантно

(7.2)

, . .

координатобобщенныхвыбораогоконкретметим

.

г

–

кцияФу

Лагранжа

строится, U –сходя

из

-

, V = V (q, qсистемы, t) –

ерримнап

,

физическихте -

ли

характеризующих( ,

ловий

.

-

систему: инвариантностип Для обоб

н

.

.).

-

натуральныхщенно

ическиханмех

функция

Лагранжа

имеет

вид

dt ∂qα

∂qα

-

:

систем

Тде

L = T − U − V ,

(7.3)

емысистэнергиякинетическая

энертенциальнаяпо

&

ия

потенциалыйнобобщен

натакзадающий

силыпотенциальныеобобщеннозываемые

~

d

∂V

−

∂V

Qα =

&

.

(7.4)

Примером

общенно

-

сил

силаявляется

ординатах Лоренца

равен

щенный

ко Если декартовых в которой потенциальных

R

б обо

FL ,

-

V = eϕ

e

R

R

d ∂V

∂V

−

R

=

R −

c

dt

∂v

∂r

42

-

,

-

тотсутствуюсилыпотенциальныеобобщенно

Лафункция

L

= T − U

,

равнасистемыгранжа

( Q d =0), Lто такая система

-

Функция Лагранжа определена не однозdt начноназываетсяточно

.

натуральной

,

-

-

стьюУравнениядо полной производной(7.2)по времени от произвольной функ-

координат

f (q, t) :

L

↔ L

+ df ;

-

ции

времении

когда

отсутствуютсилытивные

точнодиссипаиещеопределена

α

dt

:

L ↔ cL + df ,

=const.

множителянногопостодостью

с

Лагранжа

могут∫

принциизполученыбыть

-

,

Гамильтонапа

двидействительногодлякоторомуносогла

с

темысимеханическойжения

t2

′

δS +

∫δ A

dt = 0 ,

(7.5)

t1

δS –

S =

t2

′ d

Ldt ,

–

а

δ A

где

действиявариация

α

t1

элементарная

ртуальнаяв

диссипативных

сил

.

Если

диссипативные

,

механическойдвижениедействительноетоотсутствуютлы

си

воряетработаудовле

:

стемы

наименьшего

действия

систеНэнергияобобщеннаяобразомпринципуимпульсыследующимОбобщенныеопределенымы

δS =

0 .

p

-

=

∂L

=

&

− L .

pα

, H

(7.6)

∑ pα qα

∂qα

α

&

,

,

,

-

связиЕсли

наложенdHные

∂Lсистему стационар ы либо от

вовсесутствуют

система

свободна

),

то

энергия

(

обобщенная

энергии

системы

,

-

полнойравна

H

= T + U = E .

(

изменениязаконравнавременемсоНизмененияСкорость

)

энергии обобщенной

= −

d

&

(7.7)

dt

∂t

i

Переменнаяt,

иназывается

циклической

если функция Ла:

.

(

Q d

=0)

й переменн этой от явно зависит не гранжа

Если

при

α

L

координаинтеграломq ,

-

в переменной циклической

является

α

со то

импульсобобщенныйейпряженный

pα

будет

-

дви

:

pα = const;

L

жения7.1.

еслиmц клической переменной в

является-

время

Нэнергияобобщеннаябудетжениядвинтеграломто

=const.

.

Задачи

випоСоставитьоднородномнаходящегосявравенренияержня

без прямого движется гладкого коэффициент массы вдоль Шарик жидкости тяжести вязкой ле

Н

вязкости

,

(

α).

44

,

п

,

ь

системыЛагранжа

если;

стержень-

оинтегрирова. горизоуравнениятальной: z=0;

y − xtgω t = 0 .

вращается

т

угловой скоростью,

ω

)

оянпосс

–

)

вертикальнойвокруг

,

неизменныйней

б

составляяоси

β.

угол

. ( ).

-

Решение

выбекоординатсистемыдекартовойНачало

правим

в

вертикальной

плоскости

уосьпричем

поляпротив

рем

точке

вокруг

хосивращениепроисходитторой

нау

тяжестиодну

связейУравнения

имеетСистема

ыодсвобпень

координатыобобщеннойствечекаВ

ρ

возьмем

: n=1.

-

частиположениядокоординатначалаотрасстояние

цы

текущийT =

момент( x + y

.

x = ρ cosω t,

)времени= (ρ + Тогдаρ ω )

(7.6)

y = ρ sin

ω t

(

,

обобщеннойвыбортакойчто

проверитьлегко

координаты

тождественно

удовлетворяет

).

связейуравнениям

:

&

&

ω t − ρ ω sin ω t ,

Находим

ω t + ρ ω cosω t .

:

&

&

y = ρ sin

энергия Кинетическая

m & 2

&

2

m

& 2

2 2

2

2

:

ергиянэПотенциальная

RR

= mgy = mgρ sin ωt

U = −mgr

тоЛагранжаФункциястационарные

времениотявнозависит

, . .

-

кт

несвязи

,

L =

1

&

2

+ ρ

2

ω

2

) − mgρ sin ωt .

2

45

D =

α

&

2

& 2

)

РелеяфункциятивнаяипаДисс

2

( x